quées de même dans un espace plein. D'où l'on voit non Teulement que le rapport des forces, qui cauferoit l'équilibre dans le vuide, le cauferoit auffi dans le plein où elles auroient de femblables applications; mais encore que la ceffation de ce rapport, ou de la reffemblance des applications de ces forces, qui cauferoit la rupture de l'équilibre dans le vuide, la cauferoit auffi dans le plein avec cette feule difference que le mouvement qui en réfulteroit, fe feroit plus lentement dans le plein que dans le vuide, à moins que cette difference de forces ne fût au deffous de la moindre réfistance poffible du plein. Donc en fait d'équilibre, il feroit inutile de demander s'il fe fait dans le plein ou dans le vuide, pour avoir (du moins à une petite difference près) le rapport des forces qui le caufent, & reciproquement. Ceft pour cela qu'à l'exemple de tout ce qu'il y a eu d'Auteurs qui ont traité cette matiere, nous ne parlerons plus de cette difference des milieux.

II. Quant aux frottemens des corps les uns contre les autres, l'accrochement (pour ainfi dire) que l'afperité de leurs furfaces peut cauler entr'eux par l'engrenement des parties de ces furfaces les unes dans les autres, faifant (comme le peu de résistance du plein) la fonction d'une force ou puiffance qui retiendroit ainfi les corps les uns contre les autres, & toûjours en faveur des plus foibles contre les plus fortes qui leur feroient appliquées, pourroit fort bien aider à les retenir en équilibre, fans que ces autres puiffances fuffent entr'elles dans le rapport qu'il faudroit dans le vuide pour cela fi ces frottemens n'étoient d'aucune réfiftance, quoique ni eux, ni la résistance du plein ne puiffent l'empêcher quand ce rapport s'y trouvera. C'est ce qui nous fera négliger dans la fuite ces frottemens avec la réfistance du plein, comme s'ils n'en faifoient aucune; fauf à y compter fuivant l'Ax. 2. & la Demand. 1. tout ce qu'ils en ont, en le prenant pour une puiffance d'une force ou réfiftance qui lui foit égale, quand on l'aura connu.

Les Géometres à qui les trois Lemmes précedens avec leurs Corollaires, fe prefentent tout d'un coup, feront fans doute furpris de la maniere fcrupuleufe dont je viens de les démontrer, & du grand détail que j'en viens de faire: auffi auroisje fuppofé tout cela comme connu, fi je n'avois eu affaire qu'à eux; mais j'écris pour des Commençans, à qui il faut tout expliquer, & ce d'autant plus ici, que c'eft fur ces trois Lemmes, & fur le principe general qu'eft fondé tout ce qu'on va voir des proprietez des Machines.

LEMME I V..

Plufieurs puiffances étant appliquées à autant de cordons attachez enfemble par un feul & méme nœud commun que rien autre chofe ne retienne; l'équilibre eft impoffible entre ces puiffances (quelles qu'elles foient, & quel qu'en foit le nombre) lorfqu'elles font dirigées de maniere qu'un plan puisse paffer par le neud commun de leurs cordons fans paffer entre elles, & fans qu'elles foient toutes dans ce plan.

DEMONSTRATION.

If eft manifefte qu'un plan qui rencontreroit ainsi tous les cordons des puiffances fuppofées, auroit toutes ces puiffances tirantes d'un feul côté par rapport à lui, ou quelques-unes tirantes vers ce côté-là pendant que toutes les autres tireroient fuivant fa direction. Donc (Corol. 6.du Lem. 2. & Corol. 10. du Lem. 3.) de quelque maniere qu'on combine toutes ces puiffances, il ne réfultera du concours de toutes qu'une impreffion totale vers le côté qu'il y aura des puiffances hors le plan fuppofé. Donc (princ. gener.) il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre toutes ces puiffances. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I

Donc quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient) attachez tous enfemble par un feul & même nœud, & quelques puif

fances qu'on leur applique, une à chacun ; l'équilibre entr'elles fera impoffible.

1o. Dans le cas de tous leurs cordons en même plan, fi la direction de quelqu'un d'eux ne divife pas quelqu'un des angles que les autres cordons font entr'eux ; puifqu'un autre plan que le leur, mené fuivant ce cordon-là, les rencontreroit alors tous en leur noeud commun, fans paffer à travers d'eux.

2o. Dans le cas des mêmes cordons en plans différens, fi quelqu'un de ces plans prolongé ne paffe non plus à travers des cordons des autres plans, puifque celui-là fera lui-même, alors un plan qui rencontrera auffi tous ces cordons en leur nœud commun, fans paffer à tra→ vers d'eux.

COROLLAIRE II.

Il fuit encore de ce Lemme-ci, quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient encore) attachez tous enfemble par un feul & même nœud, qui foit regardé comme le centre d'un cercle au d'une fphere; que fi ces cordons ne font pas répandus en plus d'un demi-cercle, lorfqu'ils font tous en même plan, ou en plus d'une demi-fphere, lorfqu'ils. font en plans differens ; quelque puiffance qu'on leur applique, une à chacun, elles ne pourront jamais être en équilibre entr'elles fuivant ces directions: puifqu'on pourra toûjours alors faire paffer un plan par plan par le noeud commun de ces cordons, fans le faire paffer entr'eux, & fans qu'ils foient tous dans ce plan.

Il eft vifible que chacun de ces Corollaires fuit auffi del'autre, & qu'ils fe prouvent mutuellement tous deux.

LEMME V.

I. Lorfque tous les cordons iffûs d'un même næud, font dirigez fuivant un même plan, & répandus en plus d'un demi cercle, il n'y en a aucun qui prolongé par delà ce nœud com--mun, ne paffe entre les autres cordons.

Car s'il n'y paffoit pas, il feroit le diamétre terminant d'un demi-cercle dans lequel feul lui & les autres cordons feroient alors tous répandus; ce qui eft contre l'hypothese. Donc, &c.

II. Dans la méme hypothefe de tous les cordons dirigez fuivant un même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle, quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine furce plan par le naud commun de tous ces cordons, fans paffer le long d'aucun d'eux, elle paffera toûjours de part & d'autre de ce nœud, à travers deux des angles que ces cordons feront en

treux.

Car fi elle ne paffoit à travers aucun de ces angles, elle feroit le diamétre terminant d'un demi-cercle dans lequel feul tous ces cordons feroient alors répandus; ce qui eft contre l'hypothefe. Et fi cette ligne droite ne paffoit à travers que d'un des angles de ces cordons, les deux cordons voifins à droite & à gauche de cette ligne droite du côté où elle ne pafferoit à travers aucun de leurs angles feroient en ligne droite terminante auffi un demicercle, dans lequel feul tous ces cordons feroient alors répandus; ce qui eft contre l'hypothese. Donc toute ligne droite mene fur le plan & par le noeud commun de tous ces cordons, paffera toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de ce noeud. Ce qu'il falloit dé

montrer

III. Lorsque ces cordons font dirigez fuivant des plans differens, & répandus en plus d'une demie-sphere; il n'y a aucun de ces plans qui prolongé par de-là le nœud commun de ces cordons, ne paffe entre les cordons des autres plans.

Car s'il n'y paffoit pas, il feroit le plan d'un grand cercle terminant une demie-fphere, dans laquelle feule tous les cordons feroient alors répandus ; ce qui eft contre l'hypothese. Donc, &c.

SCHOLIE.

La raifon qui vient de faire voir (Part. 2.) que toute ligne droite menée par le noud, & fur le plan commun

de plufieurs cordons qui y feroient tous répandus en plus d'un demi-cercle, fans le faire paffer le long d'aucun de ces cordons, pafferoit toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de leur noeud commun: cette railon, dis-je, fera voir de même que tout plan mené par le noeud commun de plufieurs cordons répandus en plus d'une demie-sphere, fans le faire paffer le long d'auGun d'eux, pafferoit auffi toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de leur noeud commun.

Les Figures de ces deux derniers Lem. 4. 5. étant faciles à imaginer, on a negligé de les ajoûter ici, & ce dautant qu'il y auroit fallu exprimer des plans à angles differens avec celui de la Planche, plus difficiles à tracer, & à reconnoître Sur elle, qu'à fe les reprefenter fur le difcours que l'embarras de ces Figures n'auroit fait que rendre plus long & moins clair.

AVERTISSEMENT.

a

Jufqu'ici nous n'avons employé de Géometrie que quel que chofe des fix premiers Livres, & de l'onziéme des Élemens d'Euclide. Voici prefentement quelques Lemmes de pure Géometrie, qui n'en fuppofe pas davantage: c'eft pour rendre plus univerfelle l'application du précedent principe general aux machines, & pour faire qu'aucun cas n'échappe à la generalité de nos propofitions, lefquelles n'exigeant dans le Lecteur que la valeur de ces fept Livres d'Euclide, feront (ce me semble ) à la portée des Commençans attentifs : c'est pour eux que j'ajoûte les Définitions fuivantes, qui ne fe trouventpoint dans Euclide.

DEFINITION IX.

Si d'un point quelconque D de la demi-circonference F1G1 CDF d'un cercle, dont A foit le centre, on laiffe tomber une perpendiculaire DE fur le diametre CF en E; cette : perpendiculaire DE est également appellée Sinus des an- gles CAD,DAF, ou des arcs CD, DF, mefures de ces angles. Suivant la même dénomination le rayon BA per