pendiculaire auffi fur CF, eft pareillement appellé Sinus de chacun des angles droits CAB, BAF, ou de chacun des quarts de cercle BC, BF de cercle BC, BF, & comme ce Sinus AB eft le plus grand de tous, on l'appelle Sinus total, fur lequel fe mefurent tous les autres. D'où l'on voit que fon égal AD doit auffi être pris pour Sinus total, dont DE foit un des Sinus partiaux. De forte que,

COROLLAIRE I.

Dans le triangle rectangle AED, en prenant AD pour le Sinus total, ou de l'angle droit E, l'on aura DE pour le Sinus de l'angle DAC ou DAF; & par la même raifon l'on aura auffi AE pour le Sinus de l'angle ADE.

COROLLAIRE IL

On voit auffi que deux angles DAC, DAF, complemens l'un de l'autre a deux droits, c'est-à-dire, dont la fomme vaut deux droits, ont chacun le même Sinus DE, en prenant toûjours AD pour le Sinus total.

DEFINITION X.

Si à l'extrêmité C du rayon AC, on mene une perpendiculaire, ou tangente CM, laquelle foit rencontrée en G par l'autre côté AD prolongé de l'angle CAD; la partie CG de cette perpendiculaire, eft appellée Tangente de cet angle CAD, ou de l'arc CD. De même fi a l'extrêmité F du rayon AF, on mene une perpendiculaire FN, laquelle foit rencontrée en H par l'autre côté DA prolongé de l'angle FAD complement du premier CAD à deux droits; la partie FH de cette feconde perpendiculaire fera auffi appellée Tangente de ce complement FAD ou de l'arc FD.

COROLLAIRE.

Les lignes CG, FH, étant égales entr'elles, de même que le font les autres côtez AC, AF, des triangles ACG, AFH( conftr.) femblables on voit que les tangentes des

deux

deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits, font toûjours égales entr'elles, de même que leurs finus le font toûjours ( Déf. 9. Corel. 2.) entr'eux; c'est-àdire, que deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits, ont toûjours la même tangente & le même sinus. Il en eft de même de AG, AH, qu'on appelle leurs

Secantes.

DEFINITION XI.

Lorfqu'un angle à force de devenir aigu, s'évanouit en parallelisme de ses côtez entr'eux, foit qu'ils foient ou non confondus en un, on l'appelle infiniment aigui & lorfqu'à force de devenir obtus, fes deux côtez deviennent (comme bout à bout) en ligne droite, on l'appelle infiniment obtus.

COROLLAIRE.

On voit de-là qu'un angle infiniment aigu en a toûours un infiniment obtus pour complement à deux droits, & reciproquement.

LEMME IV.

A l'instant qu'un angle rectiligne s'évanouit à force de diminuer, fes côtez deviennent paralleles entr'eux.

DEMONSTRATIO N.

Car le parallelifme de ces deux lignes entr'elles (dont la réduction de ces mêmes lignes en une, eft une efpece) naiffant de l'évanouiffement du dernier, c'est-à-dire, du plus petit des angles qu'elles puiffent faire entreelles, la fin de ce dernier angle doit être le commencement de ce parallelifme, & comme le terme où ils fe touchent, pour ainfi dire; par confequent à l'instant de cet évanouiffement il doit y avoir tout à la fois entre ces deux lignes & angle finiffant, & parallelifme naiffant. Donc à l'inftant que leur angle s'évanouit à force de diminuer, elles deviennent paralleles entr'elles. Ce qu'il falloit démontrer,

G

COROLLAIRE I

Cet angle finiffant ainfi ( Définit. 11.) par l'infiniment aigu, il s'enfuit que deux lignes droites arrivées à ce terme, le font auffi à leur parallelifme, & confequem ment que lorfqu'elles ne font plus entr'elles qu'un angle infiniment aigu, elles peuvent à la rigueur paffer pour paralleles, & reciproquement puifqu'elles n'ont plus de chemin à faire pour paffer de cet angle au pa--rallelifme.

COROLLAIRE II.

Si de deux points fixes partent deux lignes droites. mobiles chacune autour du fien, lefquelles faffent entr'elles un angle qui devienne aigu de plus en plus par l'éloignement continuel de fon fommet ; ces deux lignes feront (Corol. 1.) paralleles entr'elles lorfque ce fommet fe trouvera infiniment éloigné de leurs points fixes, l'angle qu'elles feront entr'elles, fe trouvant alors infiniment aigu. COROLLAIRE III.

Si au contraire d'un même point fixe partent deux lignes droites dont l'angle compris entr'elles, devienne enan infiniment ai u; alors ces deux lignes devenuës (Corol. 1.) parallèles entr'elles, pallant (Hyp.) par un même point, fe confondront en une feule & même ligne droite, & la bafe de l'angle fini qu'elles faifoient auparavant entr'elles, fe trouvera alors anéantie ou réduite en un point, fi ces deux lignes étoient égales, ou égale à leur difference pareillement confondue avec elles, fi elles étoient inégales; reciproquement ces deux lignes feront égales ou inégales entr'elles, felon leur angle infiniment aigu rendra cette base nulle ou non.

que

COROLLAIRE IV.

Deux lignes droites qui font entr'elles un angle infiniment aigu d'un côté, en faisant toujours un Corol. Déf.11)

infiniment obtus de l'autre ; il fuit que puifqu'elles fe difpofent parallelement ( Corol. 2.) ou fe confondent en une (Corol. 3.) du côté de l'angle infiniment aigu, elles doivent se disposer en fens directement contraires parallelement, ou en ligne droite bout à bout du côté de l'angle infiniment obtus.

LEMME VII.

De quelque maniere que la ligne droite AD divife l'angle F1·0, 15: rectiligne BAC, le finus de cet angle total BAC fe trouvera égal à la fomme des finus des angles partiaux BÁD, BAC, lorfque ce même angle total fera infiniment aigu.

DEMONSTRATION.

Du centre A, & d'un rayon quelconque AE, foit l'arc de cercle EFO, qui rencontre AD, AC, en F, O; des points E, F, foient EH, FK, perpendiculaires en H, K, fur AC, la premiere EH rencontrant AD en L, & du point E la droite EG perpendiculaire auffi en G fur AD. Cela fait, fi l'on prend AE, ou fon égale AF pour finus total, l'on aura (Def. 9. Corol. 1.) EH, FK, EG, pour les finus des angles BAC, DAC, BAD.

Je dis donc que lorfque l'angle total BAC fera devenu infiniment petit, fon finus ĚH fe trouvera égal à la fomme des finus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC; c'est-à-dire, qu'alors on aura EH-EG-+FK.

Pour le voir, il n'y a qu'à confiderer que lorfque l'angle total BAC fera infiniment aigu, les deux partiaux BAD, DAC, le feront auffi ; & confequemment (Corol. 1.du Lem. 6.) que les trois droites BA,DA, CA, feront alors paralleles entr'elles de l'une ou de l'autre des deux manières marquées dans les Corol. 2. 3. du Lem. 6. Donc les angles (Hyp.) droits en H, K, G, rendront alors EH, FK, EG, perpendiculaires à chacune de ces trois paralleles; ce qui confondant EL avec EG, & LH avec FK, donne alors EG-+FK-EL+LH EH. Donc le finus EH de l'angle total BAC fetrouve alors égal à la fomme

des finus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC. ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I

Donc auffi pour lors le finus de celui qu'on voudra de ces deux angles partiaux BAD,DAC, fera égal à la difference dont le finus de l'autre fera furpaffé par le finus EH de l'angle total BAC; c'est-à-dire, qu'alors EG-EH-FK, & FK-EH-EG..

COROLLAIRE II..

Or en prolongeant DA, CA, vers M, N, l'on aura auffi (Déf. 9. Corol. 2.) EG, EM, FN, pour les finus des angles BAM, BAN, MAN; & lorfque l'angle BAC fera infiniment aigu, fon complement (à deux droits) BAM fera infiniment obtus, & MAN infiniment aigu. Donc lorfqu'un angle BAM infiniment obtus fera divifé en deux, dont un MAN foit infiniment aigu, le finus de l'angle total BAM fera toûjours égal à la difference dont le finus du plus grand BAN des partiaux furpaffera le finus du plus petit MAN; puifqu'alors ( Corol. i.) l'on aura toûjours EG—EH-FK.

Quoique dans le Corol. 2. les angles BAM, BAN, infiniment obtus, foient infiniment grands par rapport à l'infiniment aigu MAN, l'étant auffi par rapport à leurs comple mens infiniment aigus BAD, BAC, qui ont (Déf. 9. Curol. 2.) les mêmes finus qu'eux; leurs finus EG, EH, feront infiniment petits, & demême genre que celui EK de l'angle MAN & confequemment EG-EH-FK fera ici d'une valeur réelle, quoiqu'infiniment petite. C'est pour rendre de La plus grande univerfalité poffible les propofitions & les Corollaires des fections fuivantes, que nous en venons ici jufqu'aux infiniment petits, dont l'idée feule fuffira fans en fçavoir le calcul: idée à la portée de tout le monde, avec un peu d'attention. Par infiniment petit, on n'entend qu'une grandeur moindre que quelque affignable que ce foit, laquelle, au langage des Anciens, s'appelleroit quantitas minor quavis data.