ment aigus, & les deux autres (Corol. de la Déf. 11.) ABD, ADC, infiniment obtus. Or fi du centre D, & des rayons DB, DC, on a conçû deux arcs circulaires BQ, CP, variables comme leurs rayons par l'éloignement continuel de leur centre D, on verra qu'à mefure que ce centre D s'éloigne, comme le point A, des points fixes B, C, ces deux arcs deviennent moins courbes de plus en plus, jufqu'à devenir lignes droites perpendiculaires à MN, & aux deux régles de chacun des points B, C, bout à bout en lignes droites paralleles à MN, lorfque les points A, D, font infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, & que les lignes PA, PD, CA, CD, QA,QD, BA, BD, ainfi changées en infinies PM, PN, CF, CH, QM,QN, BE, BG, paralleles entr'elles, feront pour lors PA-PM-CF CA, PD=PN=CH CD, QA=QM BF BA, & QD=QN=BG=BD. Donc alors la diagonale infinie AD ( PA÷PD) ➡CA +CD, & AD (QA+QD) =BA-BD; c'est-à-dire, dans ce cas-ci des points fixes B, C, comme dans celui (art. 1.)de ces deux points mobiles, que la diagonale AD d'un parallelogramme quelconque ABDC elt toûjours égale à la fomme de fes côtez CA, CD, our BA, BD, lorfque l'angle BAC, ou BDC en est aigu.

III. Les angles ABD, ACD du parallelogramme ABDC, devenant obtus comme dans le précedent art. 2. par l'écartement vers M, N, de leurs côtez autour de leurs fommets fixes B, C, on voit que la diagonale BC ne change point pendant que l'autre diagonale AD, & tous les côtez de ce parallelogramme changent comme dans cet art. 2. jufqu'à devenir infinis par cet écartement fait jufqu'au parallelisme de ces lignes entr'elles. D'où l'on voit que ce cas des angles ABD, ACD, devenus infiniment obtus par un tel mouvement de leurs côtez autour de leurs fommets fixes B, C, n'eft point compris dans la Part. 2. de ce Lemme-ci ; & qu'ainfi la démonstration qu'on a donnée ci-deffus de cette Part. 2. en comprend Toute l'étendue.

F10.22.23.

Quant à la part. 1. elle comprend les deux cas des fommets B, C, fixes ou mobiles des angles ABD, ACD, & outre la démonstration qu'on en a donnée d'abord dans toute cette étendue, les deux précedens art. 1. 2 en fourniffent encore une nouvelle plus sensible de la même étendue.

LEMME X.

Soit un parallelogramme quelconque GICE, avec une li 24. 25. 26. gne droite HP,pofée comme l'on voudra par rapport à lui, dans le même ou dans differens plans, il n'importe. Si des quatre angles ou pointes G, I, C, E, de ce parallelogramme an mene à volonté quatre plans exprimez en profil par GL, IP, CH, EV, tous paralleles entr'eux; & que de ces quatre pointes jufqu'à HP, on tire le long de ces plans autant de lignes droites GL,IP, CH, EV, lesquelles rencontrent HP en L, P, H, V, de quelque maniere que ce foit: je dis que la partie de celle-ci, par exemple, HL, comprise entre deux GL, CH, de celles-là, lesquelles partent des points GC, diagonakment oppofez, eft toûjours égale à la fomme de fes autres partics HV, HP, lorfque les points V, P, Je trouvent du même côté de H, comme dans les Fig. 21. 2.2. ou à la difference de ces mêmes parties HV, HP, lorsque ces points V, P, fe trouvent de differens côtez de H, comme dans les Fig. 23.24.2.5. c'est-à-dire, HL HVHP, dans le cas des Fig. 21. 22. & HL HV-HP, comme dans celui des Fig. 23. 24. on HL HP-HV, comme dans la Fig. 25.

DEMONSTRATION. Menez les diagonales IE, GC, qui fe coupent chacune par la moitié en K; & après avoir conduit par ce point K un plan encore parallèle à ceux qu'on a fuppofé l'être par les pointes du parallelogramme GICE, faites tomber de ces quatre pointes ou angles G, I, C, E, quatre lignes GR, IM, CS, EN, toutes paralleleles à HP, & qui rencontrent ce dernier plan en R, M., S, N. Enfin du point Q où ce dernier plan rencontre HP,menez QK,OR,QM,QS, QN.

Cela

Cela fait, foit que ces cinq lignes en faffent plufieurs differentes, foit qu'elles fe confondent en une feule, il est clair que puifque GR, IM, CS, EN, HP, font toutes conftr.) paralleles entr'elles.

1o. IM & PQ_font dans un même plan avec PI & QM; ainfi puifque PI & QM fe trouvent dans des plans (Hyp.) paralleles entr'eux, elles feront auffi paralleles entr'elles, & par confequent MP fera un parallelogramme. On prouvera de même que RL, SH, & VN, font autant de parallelogrammes. Donc IM=PQ, GR=LQ, CS=HQ, & EN=VQ

20. De ce que IM, EN, font (conftr.) paralleles entr'elles, il fuit auffi que les angles MIK, NEK, font égaux entr'eux, & que ces deux lignes font dans un même plan avec IE. Par confequent fi l'on mene KM, KN, ces deux lignes-ci feront auffi dans ce même plan IMEN; ainfi puifqu'elles font encore (constr. ) dans un autre plan qui paffe par KQ, elles feront la commune fection de ces deux plans; & par confequent elles ne font enfemble qu'une même ligne droite. Ce qui donnant encore les angles IKM, EKŇ, égaux entr'eux, il fuit manifeftement que les triangles IMK, ENK, font femblables, & que puifque IK KE, l'on aura auffi IM-EN. On prouvera de même que les triangles GKR, CKS, font semblables entr'eux, & que puifque GK CK, l'on aura aussi GRECS.

Or on vient de voir (conftr.) que IM=PQ, EN=VQ, GR=LQ,CS=HQ. Donc (nomb. 2.) PQ=VQ, & LQ

HQ. Donc auffi LP HV. Donc enfin HLHV+ HP dans le cas des Fig. 2 2. 23. où V,P, fe trouvent du même côté de H, & dans celui où V, P, fe trouvent de differens côtez de H, l'on aura HL-HV-HP comme dans les Fig. 24. 25. ou HL-HP-HV, comme dans la Fig. 26. Ce qu'il falloit démontrer.

S'il fe trouve des Commençans qui, embarrassez par multitude des Fig. 21. 22. 23. 24. 25. aufquelles cette démonstration convient, ayent de la peine à l'appliquer à tou

tes à la fois ; ils pourront d'abord l'appliquer à chacune fepa rément, en les prenant l'une après l'autre à volonté. Aprè cela ils verront fans peine que cette démonftration convien également à toutes ces cinq Figures, & même à plusieur autres qu'ils imagineront aisément alors, & que j'omets tant pour leur en laiffer le plaifir, que pour ne pas multiplier inutilement le nombre de celles-ci. Ils pourront en ufer de même dans tout ce qu'ils trouveront ici de propofitions à plufieurs cas ou Figures..

COROLLAIRE I..

Soit prefentement par A dans des plans quelconques. tant de parallelogrammes auffi quelconques qu'on voudra, dont le premier foit ABCD, de qui la diagonale AD foit un des côtez du fecond ADLM, de qui la diagonale AL foit auffi un des côtez du troifiéme ALPN, de qui la diagonale AP foit pareillement un des côtez du quatriéme, & ainfi à l'infini. Des extrêmitez C, B, M, N, &c. des côtez non diagonaux de ces parallelogrammes foient autant de plans paralleles, & fur eux autant de droites CF, BH, MG, NE, &c. qui rencontrent fous quelque angle que ce foit en F, H, G,E, &c.. la diagonale du dernier de ces parallelogrammes, c'està-dire, ici la diagonale AP du parallelogramme ALPN, prolongée vers Ŏ, E, il fuit du present Lem. 10. que cette derniere diagonale AP=AF÷AGAH¬AE.

Car fuivant ce Lemme, fi des extrêmitez D, L, &c. des côtez diagonaux AD, AL, &c. des parallelogrammes précedens, l'on mene auffi des plans paralleles aux paralleles précedens, & fur lefquels foient les droites DV,LX, &c. lefquelles rencontrent en V, X, &c. la derniere diagonale AP prolongée, dont AD represente ici la droite HP des précedentes Fig. 22. 23. 24. 2526. Le premier parallelogramme ACBD donnera AVAFAH; le fecond ADLM donnera AX=AVAG, & confequemment AX-AFAH+AG; le troifiéme ALPN donnera AP=AX-AE, & confequemment

AP➡AF+AH+AG-AE, ainsi qu'on le vient d'avancer. Ce raifonnement fait voir qu'il en fera de même à l'infini, quelque nombre de parallelogrammes quelconques faits comme ci-deffus, qu'on fuppofe dans des plans auffi quelconques avoir tous le même points A pour un de leurs angles par où paffent les diagonales dont on vient de parler: la derniere de ces diagonales, telle qu'est ici AP, fera toûjours AFAH+AG-AF±, &c. C'està-dire, égale à la fomme de ce que les côtez non diagonaux AC, AB, AM, AN, &c. y donneront d'abfcilles AF, AH, AG, &c. depuis A vers l'autre extrêmité P de cette derniere diagonale, moins la fomme AE, &c. dece que ces côtez non diagonaux y en donneront au-delà du point A du côté de E.

COROLLAIRE II.

Toutes chofes demeurant les mêmes, fuppofons prefentement que le point A, ou un corps en ce point, foit pouffé ou tiré tout à la fois fuivant AC, AB, AM, AN, &c. par autant de puiffances appellées C, B, M,N, &c. lefquelles foient entr'elles comme ces lignes correspondantes. Les Corol. 6. 7. du Lem. 2. & le Corol. 10. duLem. 3. font voir que l'impreffion résultante au point A, du concours de toutes ces puiffances, eft toûjours non feulement fuivant la derniere diagonale, qui eft ici AP celle du dernier ALPN des parallelogrammes précedens; mais encore d'une force de A vers P, laquelle est toûjours à chacune des puiffances fuppofées fuivant AC, AB, AM, AN, comme cette derniere diagonale AP eft à chacun de ces côtez proportionnels (Hyp.) à ces puiffances C, B, M, N. Mais le précedent Corol. 1. donne ici AF AF AH¬AG~AE. Donc auffi la force du point ou corps A fuivant AP, réfultante du concours de toutes ces puiffances-là, eft toûjours à chacune d'elles, comme AFAH+AG-AE eft à chacune de leurs proportionnelles AC, AB, AM, AN, & ainfi à l'infini en quelque nombre qu'elles foient.