wallelogramme MDNG, prolongée (s'il eft necessaire) passe rapar l'angle R.

DEMONSTRATION.

Si l'on nie que la diagonale DG paffe par l'angle R; foit menée la droite DR, qui foit prife pour le finus to tal; foit auffi prife fpour la marque ou la caracteristique des autres finus. Les angles (Hyp.) droits en H, K, donneront/HDR./KDR :: HR. KR(Hyp.):: DN. DM:: MG. DM (Lem.8. Cor. 2.) :: MDG./MGD::/MDG. JNDG. Cependant fi DG ne fe confondoit pas avec DR, l'on auroit ici /HDR à /KDR en moindre raifon que (MDG à /NDG; & en plus grande, fi DR y étoit de l'autre côté de DG. Donc ces deux lignes DG, DR, doivent fe confondre en une ; & par confequent la diagonale DG ainfi confondue avec DR, & prolongée, s'il eft neceffaire, paffera comme DR par l'angle R. Ce qu'il falt loit démontrer.

LEMME XIIL

Par un point D donné dans un angle donné HAG, mba ner une ligne droite BC, que ce point D divife en raifon done ée de màn, c'est-à-dire,en forte qu'on ait BD.DC:: m. n.

SOLUTION.

Sur AD prolongée du côté de D, foit prise DE. AD: .m. Soit menée EC parallele à AG, & qui rencontre AH en C; de ce point C par le donné D foit menée CD, qui prolongée rencontre AG en B: je dis que CB eft la Ligne requife, c'eft-à-dire, que non feulement elle paffe par le point donné D, mais encore qu'elle y eft divifée de maniere que BD. DC:: m. n. ainfi qu'il eft ici requis DEMONSTRATION.

Puifque AB, EC, font (conftr.) paralleles entr'elles, & qu'ainfi les triangles ADB, EDC, font femblables entr'eux, l'on aura ici DC, DB:: DE. DA (conftr.):: n. m.

Dong

Donc en renversant) BD. DČ::m.n. Ce qu'il fallois faire & démontrer.

LEMME XIV.

Deux points A, B, étant donne à volonté, mener du premier A deux lignes AD, AC, de grandeurs données P, 2: & du fecond B, une ligne BC, laquelle foit diviféc en D, C, par ces deux-là, en raifon donnée de mà n : c'est-à-dire, en forte qu'on ait ici tout à la fois ADP, AC=Q,& BD.

DC: m. n.

SOLUTION.

Soit menée AB par les deux points donnez A, B, & fur elle prolongée du côté de B, foit prife AE. AB::n.m ̧ Des centres A, E, & des rayons AF="+"xP, EF=Q, foient décrits deux arcs de cercles qui fe coupent en F enfuite après avoir mené AC, FC, paralleles à EF, EA, & qui fe coupent en C, foit menée BC, que la droite AF coupe en C. Cela fait, je dis que AC=Q, AD=P, & que BD. DC:: m. n. ainfi qu'il eft ici requis.

DEMONSTRATION.

,

Car le parallelogramme AEFC réfultant de cette conftruction, rendant AC-EF (Hyp.) =Q, CF=AE, & donne les triangles ADB, FDC, femblables entr'eux premierement ACQ; fecondement, FD. AD: : FC. AB:: AE. AB(conftr.)::n.m. D'où résulte ( en compofant ) m➡n, m: : AF ("#"×P). AD=P. Troisiéme

m

ment enfin BD. DC: : AB. FC :: AB. AE ( conftr.) : : m. n. Donc cette même construction donnera ici tout à la fois AC=Q, AD=P, & BD. DC: : m.n. Ce qu'il falloit dé

montrer.

LEMME XV.

F16.34

Soit une ligne droite XO mobile autour d'un de fes points F1 G. 353 Bfixe, qui la divife en deux branches ou parties BX,BO, telles 36,

Le

les

qu'on voudra: imaginons-la fe mouvoir de XO en x autou de ce point fixe B. Par un autre point quelconque A foient menées des points X, x, 0,w, quatre droites XA,xA, OA, A, fur lesquelles du point B tombent autant de perpendiculaires BD, Bd, BP, Bp. Je dis que la branche BX qui fe fera ainfi approchée du point A en Bx, pendant que l'autre BO (moindre, plus grande, ou égale à elle il n'importe) s'en fera éloignee en Bu, donnera toujours BP. BD > Bp. Bd. c'està-dire, BP à BD en plus grande raifon que Bp à Bd..

DEMONSTRATION.

Après avoir pris Xb, xß, chacune égale à BO ou à Boy fur OX, ox, foient menées bm, Bu, perpendiculaires fur AX, Ax, prolongées s'il en eft befoin. Cela fait,

1o. En prenant Ba ou fon égale Bx pour le finus total, l'on aura (Déf. 9. Corol. 1.) Bu à Bp comme le finus de l'angle Bx eft au finus de l'angle Bop, ou (Def 9. Coa· rol. I.) comme le finus de l'angle BxA eft au finus de l'ange BoA ; & confequemment auffi ( Lem. 8. Corol. 2.) comme Ac eft à Ax, c'est-à-dire, Bu. Bp :: Aa. Ax. Mais les triangles (conft.) femblables Bxd, gxμ, donnant Bd. Bu :: BX. Bx ( constr. ) :: BX. BO. Donc (en multipliant par ordre) Bd. Bp :: BXxA. BO×Ax.

2o. En prenant encore BO ou fon égale bX pour le finus total, l'on aura de même ( Déf. 9. Corol. 1.) BP à bm comme le finus de l'angle BOP est au finus de l'angle bXm; & confequemment auffi (Lem. 8. Corol. 2.) comme AX eft à AO, c'est-à-dire, BP.bm:: AX. AO. Mais les triangles (conftr.) femblables bmX, BDX, donnent bm. BD::bX.BX (conftr.) :: BO. BX. Donc (en multipliant par ordre) BP. BD::BOXAX.BXxAO.

Ces nomb. 1. 2. donnant ainfi Bd. Bp :: BXxAw.BO×Ax. Et BP. BD:: BO×AX. BXxAO. l'on aura ( en multipliant par ordre) BPxBd. BDxBp:: BO×AXXBXXA. BXXAOx BOXAx:: AXXA. AOXAx. Mais la conftruction-donnant AX>Ax,& A> AO, donne pareillement AXx

A> AOxAx. Donc auffi BPxBd> BDxBp; & par confequent BP. BD> Bp. Bd. Ce qu'il falloit démontrer.

AUTRE DEMONSTRATION.

Soit menée la droite BA, & pour abreger nos expreffions, foit la caracteristique des finus, en forte que fBAO, BAX, &c. fignifient les finus des angles BAO, BAX, &c. Cela pofé, le Corol. 2. du Lem. 8. donnera BO. AO: :SBAO. JABO. Le même Corol. 2. du Lem. 8. donnera auffi AX. BX:: SABX. /BAX (Def. 9. Corol. 2.) :: SABO.sBAX. L'on aura de plus AO. AX :: AO. AX. Donc (en multipliant ces trois analogies par ordre) l'on aura BO. BX:: ÁO×sBAO. AX×sBAX. Par un femblable 'raifonnement on trouvera de même Bw. Bx:: Awx/BA∞. Axx/BAx. Mais (Hyp.) BO. BX:: B. Bx. Donc auffi AO×sBAO. AX×sBAX:: Aw×sBA. AxxsBAx. Et confequemment AOxAxx/BAO×/BAX=AX×AwxsBAX× fBA; d'où réfulte AXXA. AOxAx:: SBAO×/BAx. BAXX/BA. Mais la contruction donnant AX> Ax, & Aw> AO, donne AXxA®> AO×Ax. Donc auffi [BAOX/BAx> BAXx/BA. Or en prenant AB pour le finus total, l'on aura (Déf. 9. Corol. 1.) BP=ƒBÃO, BD=/ BAX, Bp=/BA, & Bd=/BAx. Donc BPxBd> BDxBp. Par confequent BP. BD > Bp. Bd. Ce qu'il falloit encore démontrer.

TROISIEME DEMONSTRATION.

Toutes chofes demeurant les mêmes, le Corol. 2. du Lem. 8. donnera,

1o. /BAw.ЛAwB:: Be. AB (conftr.) :: BO. AB. 2°. JA@B. JAxB:: Ax. Aw.

3°. SAxB./BAx:: AB. Bx (conftr.):: AB. BX.

Donc (en multipliant par ordre ) (BA«. SBAx :: BO× Ax. A...xBX. ou SBAx. (BA:: A@×BX.BO×Ax. On trouvera de même SBAO./BAX:: BO×AX. AO×BX. (Donc en multipliant encore par ordre) (BAO×/BAx. BAXX/BA :: BO×AXXA.XBX. AOxBXXBOXAx::

F16. 37.

AXXA∞. AOXAx, c'est-à-dire, AXXAS. AOxAx: +
SBAO×sBAx. SBAXx/BA.comme dans la précedente
Démonftration 2. Ce qui donnera ici comme la BP. BD
Bp. Bd. Ce qu'il falloit encore démontrer.

Si fur les deux côtez contigus AB, AC, d'un parallelo & fuivantes gramme quelconque ABDC, & fur la diagonale ́AD, qui jufqu'à 49. paffe par l'angle BAC ( que j'appelle capital) compris entre ces deux côtez AB, AC, on fait autant de triangles ASB.. ASC, ASD, d'un fommet commun S donné à volonté autre que le point A, fur le plan de ce parallelogramme ABDC §. je dis,

FIG. 37. 38.39.

FIG. 40.

I. Que lorsque ce point S fera dans le complement ( à deux droits) BAF ou CAF de l'angle capital BAC, comme dans les Fig. 37.38.39. Le triangle ASD conftruit fur la diagonale AD du parallelogramme propofé ABDC, fera toûjours égal à la fomme des deux autres triangles ASC, ASB, con-fruits fur les côte AC, AB, de cet angle capital BAC, c'est-à-dire, qu'alors on aura toûjours ASD ASCASB. II. Que lorfque le point donné S fera dans l'angle capital 41. 42. 43. BAC, ou dans fon oppofé EAF, comme on le voit dans les Fig.40.41.42.43. Le triangle ASD fera toûjours égal à la difference des deux autres ASC, ASB, defquels le plus petit aura pour bafe le coté qui avec la diagonale fait des angles oppofe, dans l'un defquels le point S fe trouve,comme ici le triangle ASB, dont la bafe eft le côté AB, qui avec· la diagonale AD, forme les angles oppofez DAB, KAE, dans un defquels ce point S fe trouve ; c'est-à-dire, qu'alors on aura par tout ici ASD ASC-ASB..

FIG. 44. 45.46.

III. Que lorsque le point S fera fur un des côte (prolon gé ou non de l'angle capital BAC du parallelogramme ABDC, comme on le voit fur AB dans les Fig. 44. 45. 46. Le triangle ASD fera toûjours égal à celui qui aura pour bafe l'autre côté contigu AC de ce parallelogramme c'est-à-dire 2 qu'alors ou aura toûjoursici ASD—ASC.