IV. Que fi enfin le point S eft fur la diagonale AD (pro- F1 6. 471 Longée ou non) comme dans les Fig. 47. 48. 49. l'on aura 48.49. toûjours ASB ASC.

DEMONSTRATION.

Préparation pour tous les cas. Si du fommet commun S des trois triangles ASD, ASB, ASC, dont il eft ici question, l'on mene SG perpendiculaire en G, H, aux côtez paralleles AC, BD, du parallelogramme ABDC; l'on aura GS, GH, HS, pour les hauteurs des triangles ASC, BAD,BSD, au-deffus de leurs bafes AC, BD, perpendiculaires (conftr.) à ces hauteurs. Par confequent on aura leurs aires ASC-AC-GS, BAD=÷BD×GH AC×GH, BSD=AC-HS; ce qui donne,

1o. BAD

BSD-AC-GHAC-HSACx GH HS (dans les Fig. 37. 39. 40. 42. 44. 47.). ACXGS=ASC.

2o. BAD-BSD=÷AC×GH-÷AC×HS=÷AC× GH-HS ( dans les Fig. 38. 39. 41. 42. 45.48.) == ACXGS=ASC.

3o. BSD-BAD

ACxHS-ACxGH ACX HS-GH (dans les Fig. 43. 46. 49.) =÷AC×GS= ASC. Or, PART. I. Les Fig. 37. 39. donnent ASD ASEF1377 BAD BSD, & les Fig. 38. 39. donnent ASD ASB

38, 39

BAD-BSD. Donc (prep. nomb. 1. 2.) ce cas du point S dans le complement BAF de l'angle capital BAC, comme on le voit dans les Fig. 37. 38. 39. donnera toûjours ASD ASB ASC. Ce qu'il falloit 1°. démontrer. PAR T. II. Les Fig. 40. 42. donnent ASD BAD+ F1 6.407. BSD-ASB,les Fig. 41.42. donnent ASD=BAD-BSD) 41. 42. 433. -ASB, & la Fig. 43. donne ASD=BSD-BAD—ASB. Donc (prep. nomb. 1. 2. 3.) ce cas du point S dans un des angles oppofez DAB, KAE, comme on le voit dans les

FIG. 44. 45:46.

F 16.47. 48. 49.

FIG. 37. & fuivantes

Fig. 40. 41. 42. 43. donnera toûjours ASD ASC-
ASB. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

On trouveroit de même ASD ASB-ASC, fi S étoit dans un des angles oppofez DAC, KAF.

PART.III. La Fig. 44. donne ASD BAD BSD, la Fig. 45. donne ASD=BAD-BSD, & la Fig. 46. donne ASD BSD-BAD. Donc (prep.nom. 1.2.3.) ce cas du point S fur le côté AB prolongé de l'angle capital BAC, comme on le voit dans les Fig. 44.45.46.donnera toûjours ASD ASC. Ce qu'il falloit 3.démontrer. ASD=ASC.

On trouveroit de même ASD ASB, fi le point S étoit quelque part fur l'autre côté AC prolongé.

PART. IV. La Fig. 47. donne ASB BAD-+BSD ; ́la Fig. 48. donne ASB BAD-BSD, & la Fig. 49. donne ASB-BSD-BAD. Donc (prep.nomb. 1. 2. 3.) ce cas du point S placé quelque part fur la diagonale AD proJongée, comme on le voit dans les Fig. 47. 48. 49. donnera toûjours ASB ASC. Ce qu'il falloit 4 démontrer. COROLLAIRE I.

Si prefentement du point S on mene SM, SN, perjufqu' 48. pendiculaires en M, N, fur AB, AD, prolongées, s'il est neceffaire, comme SG eft (conftr.) perpendiculaire en G fur AC prolongée; l'on aura les aires triangulaires ASD

F1.3 37.

AD-SN, ASBAB×SM, & ASC=AC×SG. Or, 1o. La Part.. donne ASD ASB ASC dans les Fig. 38.39. 37. 38. 39. qui ont le point S dans le complement BAF de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours ADXSNAB×SMAC-SG, ou AD-SN=ABX

F1.c. 40.

SM-+ACXSG.

On trouveroit la même chofe, de la même maniere, si S étoit dans l'autre complement CAE de l'angle capital BAC.

2o. La Part. 2. donne ASD ASC-ASB dans les Fig. 1. 42. 43. 40. 41. 42. 43. qui ont le point S dans un des angles oppofez DAB, KAE. Donc en ce cas on aura toûjours

FAD SNACXSG-ABxSM, ou AD-SNACxSG
-AB-SM.

On trouveroit de même AD-SN=AB×SM-ACXSG, file point S étoit dans un des angles opposez DAC,

KAF.

3°. La Part. 3. donne ASD ASC dans les Fig. 44. 45. 1 46. qui ont le point S fur le côté AB prolongé ou non, 45.45. de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours AD×SN=AC×SG, ou AD×SN=AC×SG.

48.490

4°. La Part. 4, donne ASB ASC dans les Fig. 47.48. F147 49.qui ont le point S fur la diagonale AD prolongée ou non. Donc en ce cas on aura toûjours AB-SMACx SG, ou ABXSM=ACxSG.

COROLLAIRE II.

Puifque (Corol. 1. nomb. 3.) AD×SN=AC-SG dans le Fie448 cas du point S pris ou donné fur le côtér AB prolongé fuivantes jusqu'à 49 ou non, de l'angle capital BAC, comme dans les Fig. 44.45.46. & que ( Corol. 1. nomb. 4.) ABxSM ACX AB×SM=AC× SG dans le cas de ce point S pris fur la diagonale AD prolongée ou no, du parallelogramme quelconque ABDC, menée par cet angle capital BAC, comme dans les Fig. 47.48.49. On voit que dans le premier de ces deux cas on aura toûjours SĠ. SN:: AD. AC. Et dans le fecond, SG. SM:: AB. AC. D'où l'on voit en general que fi d'un point S, pris qu donné à volonté fur un des côtez AB, AC, ou fur la diagonale AD (qui paffe par leur angle BAC) d'un parallelogramme quelconque ABDC, on mene deux perpendiculaires fur les deux autres de ces trois lignes prolongées ou non ; ces deux perpendiculaires feront toujours entr'elles en raifon reciproque des deux côtez, ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme propofé quelconque, fur lefquels ces deux perpendiculaires font à angles droits, ·

ou

FIG. 39.

vantes juf qu'à 49.

C'est ce qu'on a déja vû autrement démontré dans le
Corol. 10. du Lemme 8.

SCHOLIE.

Ce n'a été que pour démontrer par la même méthode 41. & fui- tous les cas du prefent Lem. 16. qu'on a employé dans tous la perpendiculaire SG au côté AC de l'angle capital BAC; car on peut aifémement s'en paffer dans les cas des Fig. 39.42. 44. 45. 46. 47. 48. 49. & même la démonstration en fera plus fimple que par cette voye generale. En effet,

1o. Dans les Fig. 39. 42. les triangles ASC, BAD, de bafes égales AC, BD, & compris entre ces mêmes paralleles, étant ainfi égaux entr'eux, l'on aura tout d'un coup ASD ASB+BAD ASB ASC dans la Fig. 39& ASD BAD-ASB ASC-ASB dans la Fig. 42. le tout conformément à ce qu'on a trouvé de l'autre maniere pour ces deux Fig. 39. 42. dans les démonstrations des Part. I. 2.

2°o. Dans les Fig. 44. 45.46. les triangles ASD, ASC, étant fur mêmes bafes AS, & entre mêmes paralleles AS, CD ;'on voit encore plus promptement que ces deux triangles font égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé dans la démonstration de la Part. 3.

3°. Dans les Fig. 47.48.49. les triangles égaux ABD, ACD, ayant des hauteurs égales fur leur bafe commune AD, & ces hauteurs étant aufli celles des triangles ABS, ACS, fur leur bafe commune AS: ces deux derniers triangles feront auffi égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé pour ces trois Fig. 47.48.49. dans la démonstration de la Part. 4.

LEMME XVII.

Si plus de deux puissances B, C, D, E, F, G, &c. font appliquées à autant de cordons attache ensemble par un feul & même nœud commun A, que rien autre chofe ne retient, L'équilibre eft impoffible entre ces puissances (quelles qu'elles Joient

foient,& quel qu'en foit le nombre) lorfqu'elles font dirigées de maniere qu'un plan RS puisse passer par ce nœud commun A de leurs cordons, fans paffer entr'elles ou entr'eux, ou fans qu'elles foient toutes dans ce plan, c'est-à-dire, fans divifer aucun des angles que ces cordons font entr'eux, & fans qu'ils foient tous dans ce même plan.

DEMONSTRATION.

Пeft vifible qu'un plan RP, qui rencontreroit ainfi en F16.56: A tous les cordons des puiffances fuppofées auroit toutes ces puissances tirantes d'un feul côté par rapport à lui, comme dans la Fig. 5o. ou quelques-unes tirantes vers ce feul côté-là, pendant que toutes les autres tireroient fuivant ce plan comme dans la Fig. 51. Donc de quelque maniere que l'on combine toutes ces puiffances, il ne réfultera du concours de toutes qu'une impreffion totale vers le côté où il y aura des puiffances hors le plan suppofé. Donc il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre toutes ces puiffances, aufquelles rien d'ailleurs (Hyp.) ne s'oppofe. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Donc quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient) attachez ensemble par un feul & même noeud, & quelques puiffances qu'on leur applique, une à chacun, l'équilibre fera impoffible entre ces puiffances.

1. Dans le cas de tous les cordons en même plan, si le prolongement de quelqu'un d'eux ne divife pas quelqu'un des angles que les autres cordons font entr'eux; puifqu'un autre plan que le leur, mené suivant ce cordon-là, les rencontreroit alors tous en leur nœud commun fans passer entr'eux, & fans qu'ils fuffent tous dans ce plan.

2o. Dans le cas des mêmes cordons en plans differens, fi quelqu'un de ces plans prolongé ne paffe pas à travers des cordons des autres plans; puifque celui-là fera

M