de plufieurs autres grandeurs, lorfqu'elle les précedera : par exemple, 3+5+7=15 fignifiera que la fomme de 357 vaut 15 de même (6-7—5—8 fignifiera que 67-5 valent 8.

On aura foin dans la fuite d'avertir dans lequel de ces deux fens cette longue fera prife: mais en cas qu'on oubliât de le faire, ce double fens eft ( je croi) ici affez marqué pour ne s'y pas méprendre. On ne donne ici cette double fignification à cette longue f, que parce qu'étant la premiere lettre des mots de finus & de fomme, elle fera très-propre à les rendre prefens à l'imagination ou à l'efprit outre que cette longue fitalique n'entre d'ordinaire, & n'entrera dans la fuite ni dans le calcul, ni dans les figures pour aucune autre fignification.

LEMME I..

Pour préparer l'imagination aux mouvemens compofez, PLANC. concevons le point A fans pefanteur uniformement mû vers B FIG. 1. le long de la droite AB, pendant que cette ligne fe meut aussi uniformement vers CD le long de AC, en demeurant toûjours parallele à elle-même, c'eft-à-dire, faifant l'angle toujours le même quelconque avec cette ligne immobile AC: de ces deux mouvemens commencez en même tems, foit la viteffe du premier à la viteffe du fecond, comme les côtez AB, AC, du parallelogramme ABCD, le long defquels ils Ne font. Quel que foit ce parallelogramme ABCD, je dis que par le concours des deux forces. productrices de ces deux mouvemens dans le mobile A, ce point parcourra la digonale AD de ce parallelogramme, pendant le tems que chacune d'elles lui en auroit fait parcourir feule chacun des côtez AB,» AC, correfpondans. ·

DEMONSTRATION..

Puifque (hyp.) la vîteffe du point mobile A vers B le long de la droite mobile AB, eft à la vîteffe qu'il a avec elle vers CD :: AB. AC:: CD. AC (par un point quel

conque G de AD foit une parallele KHà CD, laquelle rencontre AC, BD, en K,H,):: KG. AK. L'ax. 7 fait voir qu'à l'instant que la ligne AB aura parcouru AK, & fera arrivée en KH, le point mobile A aura parcouru fur elle fa partie KG, & fera ainfi pour lors en G fur la diagonale AD du parallelogramme BC: lequel point G ayant été pris indeterminement fur cette diagonale AD, fait voir qu'en quelque point que la ligne mobile AB coupe cette diagonale, le point mobile A y fera toujours; & confequemment qu'il fera fur elle en D avec le point B de cette mobile AB, lorfqu'elle fera en CD. Donc par le concours des deux forces productrices des deux mouvemens fuppofez à ce point mobile A le long de AB & de AC, il parcourra la diagonale AD du parallelogramme ABCD pendant le temps que chacune d'elles lui en auroit fait parcourir feule chacun des côtez AB, AC, correfpondans. Ce qu'il falloit démontrer.

SCHOLIE.

Un point mû le long d'une ligne qui fe meut auffi elle-même, eft une chofe fouvent fuppofée par les Géometres pour la generation de plufieurs lignes courbes differentes felon la variabilité des mouvemens supposez à la fois dans le point qui les trace, comme le point mobile A en vient de tracer une droite par le concours de deux mouvemens uniformes. Ce point mobile fe conçoit fans peine, en imaginant un corps ainfi mù, & diminué pendant cela par l'imagination, jusqu'à être réduit en un tel point.

LEMME II.

Si le point A fans pefanteur est pouffé en même tems & uniformement par deux forces ou puissances E, F, toutes employées fur lui, fuivant des lignes AC, AB, qui faffent entr'elles quelqu'angle CAB que ce foit, & que la force ou puissance E fuivant AC, foit à la force on puissance F fuivant AB, comme AC eft à AB. Ce point A par le concours

de ces deux forces E, F, fans le fecours d'aucune ligne mobile, parcourra la diagonale AD du parallelogramme ABC D dans le même tems qu'elles lui en auroient fait parcourir Separement les côtez AC, AB, qu'on leur fuppofe proportion

nels.

DEMONSTRATION..

Deux corps mûs enfemble fans s'aider ni fe nuire, comme lorfqu'ils le font d'égales vîteffes en même fens, chacun par une force particuliere, l'étant chacun comme s'il fe mouvoit feul de la force ou vîteffe qui lui est

propre ; il eft manifefte que le point A pouffé suivant AC vers C par la puiffance E, l'est de même que fi la ligne AB l'étoit en même tems par quelqu'autre caufe qui la mût parallelement à elle-même fuivant ACvers CD, d'une viteffe égale à celle que la puissance E donneroit feule de A vers C à ce point A; & qu'alors ce point fans être emporté par cette ligne mobile AB, fe-roit toûjours fur elle ainfi mûe, comme fi elle l'empor-toit effectivement avec elle, pendant que la force ou puiffance F le meuvroit le long de cette même ligne AB, ain fi que dans le Lem. 1. Donc ce point mobile A pouffé tout à la fois par les deux puiffances E, F, fuivant. AC, AB, doit fe mouvoir de même que fi dans le tems que la force F le meut de A vers B le long de la ligne AB, il étoit emporté par cette ligne mûe parallelement à elle-même le long de AC vers CD, d'une vîteffe égale à celle que la puiffance E donneroit feule à ce point A vers C; c'est-à-dire, (ax. 6.) d'une vîteffe qui fut à celque ce point auroit le long de cette ligne AB:: E. F (hyp.): AC. AB. Or le Lem. 1. fait voir que le point A ainfi mû de A vers B le long de la ligne AB, pendant qu'elle l'emporteroit ainfi vers CD, parcourroit la diagonale AD du parallelogramme BC pendant le même tems que chacune des forces E, F, productrices de ce qu'il a de mouvement en ces deux fens, lui en feroit feule parcourir chacun des côtez AC, AB, correfpondans.

le

AB, par

Donc fans le mouvement de la ligne AB, fuppofé feulement pour aider l'imagination, le point mobile A fans pefanteur, pouffé tout à la fois fuivant les lignes AC, les deux puiffances E, F, fuppofées en raifon de ces deux lignes, & employées (hyp.) toutes entieres à le mouvoir en ces deux fens, parcourra la diagonale AD du parallelogramme ABCD dans le même tems que chacune de ces deux puiffances E, F, lui en feroit feule parcourir chacun des côtez AC, AB, correspondans. Ce qu'il falloit demontrer.

que

la

Pour demontrer cel on fe contente d'ordinaire du Lem. 1. qui y eft effectivement fuffifant: aussi n'ai-je employé que lui dans le Projet que je donnai en 1687. de cette Mécaniqueci; mais ayant reconnu depuis que quelques Phyficiens y trouvoient de la difficulté, dans la pensée où ils etoient ligne mobile AB fervoit à transporter le point mobile A vers CD, pendant qu'il fe mouvoit de A vers B: c'est pour démontrer qu'elle y eft inutile, & qu'elle ne fert qu'à foutenir ici l'imagination, que j'ajoûte ce fecond Lemme-ci au premier, que je ne repete que pour rendre la démonstration de celui-ci plus courte & plus aifée. En voici les Corollaires.

COROLLAIRE I.

Puifque la force réfultante du concours des puiffances E,F, fait parcourir la diagonale AD du parallelogramme ABCD, au point mobile A, dans le même tems que chacune de ces forces lui en auroit feule fait parcourir le côté AB, ou AC, fuivant lequel elle eft dirigée ; non feulement ces trois forces doivent avoir leurs trois directions dans un même plan; mais encore la résultante fuivant AD du concours d'action des deux autres E, F, dès le premier inftant du mouvement qu'en reçoit le point A, doit dès cet instant être à chacune de celles-là (ax. 8.) comme cette diagonale AD du parallelogramme BC eft à chacun de fes côtez AC, AB, correfpondans. COROLLAIRL

C'est donc la même chose (ax. 2.) que le point A foit pouffé le long de AD par le concours d'action des puiflances E, F, ou qu'il y foit pouffé par une feule puiflance ainfi dirigée, laquelle foit à celles-là comme AD est à AC, AB puifque cette nouvelle pui lance étant (Corol. 1.) égale à la résultante du concours d'action de celles-là, & (hyp.) dirigée fuivant la même AD qu'elle, feroit fuivre cette ligne à ce point mobile A (ax. 2.) de la même vîteffe que la force résultante du concours d'action des fuppofées E, F, c'est-à-dire, de la même vîteffe que ces deux-ci la lui font fuivre enfemble. Ainfi un point quelconque mù d'une vîteffe uniforme auffi quelconque, & en ligne droite AD, peut également l'avoir été par une feule puiffance dirigée en ce fens, ou par le concours de deux autres E, F, dirigées fuivant les côtez AC, AB, d'un parallelogramme quelconque BC, dont cette ligne AD, foit la diagonale, & qui foient à cette puiffance-là comme ces côtez correspondans font à cette diagonale.

COROLLAIRE II I.

Il fuit auffi de ce Lemme-ci, que fi la force ou l'impreffion résultante du concours d'action des deux puiffances E, F, dirigées fuivant AP, AQ, fe trouve dirigée fuivant AO, tout parallelogramme BC, dont la diagonale AD fera fur cette droite AO, & les côtez AC, AB, fur AQ, AP, aura ces mêmes côtez AC, AB, entr'eux en raifon des deux puiffances E, F, dont ils font (hyp.) les directions: autrement l'impreffion réfultante du concours d'action de ces deux puiffances, ne fe feroit pas fuivant la diagonale AD du parallelogramme BC, ainfi qu'on le fuppofe; mais (Lem. 2.) fuivant celle d'un autre parallelogramme, dont les côtez auffi pris fur les directions AQ, AP, de ces deux puiffances E, F, feroient ent'reux comme ces mêmes puiffances.

C.