ces perpendiculaires, c'est-à-dire, P. R : : AN, AM. Co qui dans les Fig. 135.136.137.13 8. fignifie qu'en ce cas d'équilibre le poids ou la puiffance P y eft toûjours à la puiffance R, comme le rayon AN de la roue ou du tambour BNB, à la circonference duquel cette feconde puiffance R eft appliquée, eft au rayon AM du cylindre ou du rouleau CMC, à la circonference duquel l'autre puiffance P eft pareillement appliquée ; c'est-à-dire, que ces deux puiffances P, R, en équilibre ( Hyp.) entr'elles, font alors entr'elles en raifon reciproque des rayons ou des diamétres du rouleau & de la roue, aux circonferences defquelles ces deux puiffances font appliquées.

COROLLAIRE II.

Mais en prenant EA dans ces quatre Fig. 135. 1361 137. 138. & dans les quatre autres Fig. 139. 140. 141. 142. c'est-à-dire, dans toutes celles de ce Théoreme-ci, pour le finus total: On fçait ( Déf. 9. Corol. 1.) que les perpendiculaires AM, AN, font les finus des angles AEM, AEN. Donc auffi (Corol. 1.) les puiffances P, R, fuppofées en équilibre, font par tout ici entr'elles en raifon reciproque des finus des angles AEM, AEN, que leurs directions MP, NR, prolongées y font avec celle EA de la charge de l'axe de la Machine, ou de l'appui A, qui exprime cet axe ; c'eft-à-dire, le poids ou la puiffance. Pà la puiffance R, comme le finus de l'angle 'AEN est au finus de l'angle AEM.

COROLLAIRE III

Cela fe voit encore en ce que la charge de l'appui A étant en ce cas d'équilibre ( part. 3.) à chacune des puiffances P, R, comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions, c'est-à-dire ( en appellant cette charge A.) A, P, R, en raifon des trois grandeurs EF, EG, EH, ou (à caufe de EH-GF) en raison des trois côtez EF, EG, GF, du triangle EGF, ou( Lem. S.

Corol. 2.) en raifon des finus de fes angles EGF, EFG, FEG, oppofez à ces mêmes côtez, ou bien auffi en raifon des finus des angles MEN, AEN, AEM, égaux à ceuxlà, ou leurs complemens à deux droits. Ce qui donne, disje, encore en ce cas d'équilibre,

1°. Le poids ou la puiffance Pà la puiffance R, en raifon du finus de l'angle AEN au finus de AEM, ainfi que dans le Corol. 2.

2o. Et confequemment (Déf. 9. Corol. 1.) ce poids ou cette puiffance P à la puiffance R, en raison de AN à AM, ainfi que dans le Corol. I.

COROLLAIRE IV.

142,

Cette raison de AN à- AM, qui peut varier dans le F10.1397 Treuil ou le Vindas des Fig. 139. 140.141.142. felon 140. 141 la difference des angles que la direction RN de la puisfance R , y peut faire avec le bras AD ou CD de cette Machine, auquel elle eft appliquée, & felon les differentes distances AR de l'axe ou appui A de cette même Machine au point R d'application de cette puiffance R à ce bras AD le rapport des puiffances P, R, requis ( Corol. I &3. nomb. 2.) de AN à AM pour y faire équilibre entretr'elles, y peut varier auffi, & confequemment differentes puissances R differemment appliquées à cette Machine, y peuvent faire équilibre fucceflivement avec le même poids P.

138.

Mais dans le Tour qu'expriment les Fig. 135. 136. FIG. 135. 137. 138. le rapport de AN à AM, de AN à AM, n'y pouvant non 136.137 € plus changer que ces rayons de la roue & du rouleau de cette Machine tant qu'elle demeure la même, quelques foient d'ailleurs les directions des puiffances P, R, qui y font ou feront appliquées: le rapport de ces puiflances P,R,requis (Cor. 13. nomb.2.) pour y faire équilibre entr'elles, n'y peut jamais varier ni changer, quelque changement qu'il arrive à leurs directions; & confequemment le même poids Pappliqué au rouleau de cette Machine, n'y peut jamais être foutenu en équilibre que par une ́

Mm iij.

FIG. 139.

142.

même puiffance R appliquée à la roue de cette même Machine, quelques directions qu'on donne à ces deux puif Lances P, R.

COROLLAR E. V.

Les bras CD du Treüil ou du Vindas des Fig. 139. 140. 141. 140.141. 142. étant (Hyp.) perpendiculaires à l'axe de fon rouleau, ou à la circonference CMC, qui reprefente ce rouleau, en forte que prolongez ils pafferoient tous par le centre A de ce cercle, lequel centre A exprime ici l'axe de ce rouleau; fi la puiffance R tire ou pouffe perpendiculairement celui de ces bras auquel elle eft appliquée, c'est-à-dire, fi elle lui eft appliquée fuivant une direction ER qui lui foit perpendiculaire & dans le plan du cercle CMC; alors AN perpendiculaire (Hyp.) à cette direction ER, tombant für AR, & fe confondant alors avec ce bras de Treüil ou de Vindas, le Corol. 1. & le nomb. 2. du Corol. 3. font voir qu'en cas d'équilibre, le poids ou la puiffance P fera pour lors à la puiffance R, comme la longueur du bras AR fera au rayon AM du rouleau de cette Machine.

FIG. 135. & fuivantes

COROLLAIRE VI.

Il fait auffi de la part. 5. pour tous les cas du Tour & dụ jufqu'à142 Treüil ou du Vindas, que fi les puiffances P, R, y font entr'elles en raifon reciproque des lignes AM, AN, menées de l'appui A perpendiculairement fur les directions MP, NR, de ces puiffances, c'eft-à-dire, fi P. R:: AN. AM. il y aura équilibre entre ces mêmes puiffances P, R. Car fi l'on imagine un parallelogramme GH d'une diagonale quelconque EF prife fur la droite EA depuis le point de concours E des directions de ces deux puillances dans l'angle GEH que ces directions font entr'elles, lequel foit confequemment auffi un angle de ce parallelogramme GH. Le Lemme 8. donnera pour lors EG. EH :: AN. AM. (Hyp.): P. R. Donc la diagonale EF prolongée paffant ainfi ( conftr.) par l'appui A de la Machine,

les puiffances P, R, demeureront par tout ici (part. 5.) en équilibre entr'elles.

En prenant ici AE pour le finus total, le Corol. de la Déf. 9. fait voir que les droites AM, AN, y feront les finus des angles AEM, AEN, que les directions MP,NR, des puiffances P, R, y feront avec cette droite AE. Done (Corol. 6.) lorfque ces deux puiffances P, R, feront entr'elles en raifon reciproque des finus des angles compris entre chacune de leurs directions, & la droite menée de l'appui A de la Machine au concours E de ces directions entr'elles ; ces mêmes puiilances P, R, demeureront encore en équilibre fur cet axe ou appui A.

COROLLAIRE VIII.

Il fuit pareillement de chacune des part. 4 5. que fi la charge de l'axe ou appui A, tant du Tour que du Treüik ou du Vindas, résultante du concours des puiffances P, R, qui y font appliquées, eft à chacune de ces deux puis-fances, comme le finus de l'angle MEN compris entre leurs directions prolongées MP, NR, eit au finus de chacun des angles reciproquement pris AEM, AEN, que: chacune de ces directions fait avec la droite EA menée de leur concours E à cet appui A ; ces deux puiflances P, R, demeureront en équilibre entr'elles fur cet appui A. Car fi l'on imagine encore le parallelogramme GH fait comme dans le Corol. 6. l'on verra pour lors les finus des angles EGF, FEG, EFG, du triangle EGF être les mêmes que ceux des angles MEN, AEM, AEN; & confequemment (Lem. 8. Corol. 2.) le premier de ces finus-ci être à chacun des deux autres, comme le coté EF de ce triangle EGF eft à chacun de fes deux autres côtez GF, EG, c'est-à-dire (à caufe de EH- GF) comme la diagonale EF du parallelogramme GH eit à chacun de fes› côtez EH, EG. Mais on fuppofe ici la charge de l'axe ou de l'appui A, résultante du concours des puiffances P, R,

être à chacune de ces puiffances, comme le finus de l'angle MEN eft à chacun des finus des angles AEN, AEM. Bonc auffi la charge fuppofée de l'appui A, eft ici à chacune de ces puiffances P, R, comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG,EH, qui leur répondent fur leurs directions. Par confequent ces deux puiffances P, R, feront ici entr'elles comme ces mêmes côtez EG, EH; & (princ. gener. Cor. 2.) la force réfultante de leur concours fera non feulement égale à cette charge, mais encore dirigée suivant EF qui paffe (Hyp.) par l'appui A. Donc enfin (part. 4. 5.) il y aura ici équilibre entre ces deux puillances P, R, ainfi qu'on le vient d'avancer.

COROLLAIRE IX.

Puifqu'en cas d'équilibre dans toutes les Machines de ee Theoreme-ci, la charge de l'axe ou de l'appui A qui reprefente cet axe, résultante du concours d'action des puiffances P, R, fur lui, eft toûjours (part. 3.) à chacune de ces puiffances P.,.R, comme la diagonale EF du parallelogramme GH,eft à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions : le Lem. 9. fait voir que lorfque l'angle MEN, que font entr'elles les directions MP, NR, de ces deux puiffançes, eft infiniment aigu, c'eft-à-dire ( Lem. 6. Corol. 1.) lorfque ces deux directions font paralleles entr'elles ; cette charge de l'appui A, eft toujours égale àla fomme P+-R, de ces deux puiffances, tant qu'elles agiffent en même fens ; ou feulement égale à leur difference P-R, tant qu'elles agissent en sens contraires. Les Corol. 1. 2. de ce Lem. 9. font pareillement voir que dans l'un & l'autre de ces deux cas cette charge de l'appui A eft toûjours alors dirigée parallelement aux directions de ces deux puiffances P, R; fçavoir, vers le même côté qu'elles dans le premier cas, & vers le côté de la plus forte d'entr'elles dans le fecond. Car,