complemens ADC, ADB, BDC. Donc auffi les côtez EF, FG, EG, du triangle EFG, font entr'eux comme les finus des angles ADC, ADB, BDC, à travers defquels, ou des complemens defquels leurs perpendiculaires (Hyp.) DB, DC, DA, prolongées pafferoient, ainfi qu'on le voit avancé au commencement de ce Corollaire-ci.

COROLLAIRE IX.

Il fuit auffi du prefent Lem. 8. que de quelque point E d'un des côtez AD d'un parallelogramme quelconque ADCM, qu'on mene des perpendiculaires EG, EF, fur la diagonale AC, & fur fon autre côté AM; cet autre côté AM, & cette diagonale AC feront toûjours entreeux en raison reciproque de ces deux perpendiculaires EG, EF, fçavoir, EF. EG :: AC. AM. Puifque ce Lem. 8. donne toûjours EF. EG :: DH.DK:: DB. DC :: AC. AM. Cela peut auffi fe démontrer immediatement de cela feul que EF. EG:: DH. DK :: DB. DC: : AC. AM.

On pourra tirer de ceci des confequences femblables à celles qu'on vient de tirer du prefent Lem. 8. cela eft prefentement trop facile pour s'y arrêter.

COROLLAIRE X.

Il fuit enfin de ce dernier Corol. 9. & du prefent Lem. 8. que de quelque point, foit de la diagonale, ou d'un des côtez d'un parallelogramme quelconque, qu'on mene des perpendiculaires fur les deux autres de ces trois lignes prolongées, ou non ; ces deux perpendiculaires feront toûjours entr'elles en raifon reciproque des deux côtez, ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme propofé quelconque, fur lesquelles elles font à angles droits..

LEMME IX.

I. Lorsqu'un angle d'un parallelogramme quelconque devient infiniment aigu, la diagonale qui paffe par cet angle devient égale à la fomme de fes côtez.

II. Au contraire lorfque cet angle devient infiniment obtus, cette diagonale ne fe trouve plus égale qu'à la differense de ces mêmes côtez.

DEMONSTRATION.

PART. 1. Suivant le Corol. 3. du Lem. 8. la diagona- Fre: le AD d'un parallelogramme quelconque ABDC est toûjours aux côtez AB, AC, de ce parallelogramme comme le finus de l'angle total BAC eft aux finus des angles partiaux DAC, DAB. Mais lorfque cet angle total BAC devient infiniment aigu, fon finus (Lem.7.) devient égal à la fomme des finus des angles partiaux DAC, DAB. Donc auffi pour lors la diagonale AD devient égale à la fomme des côtez AB, AC. Ce qu'il falloit .démontrer.

PART. II. Imaginons le parallelogramme ABDC fait de quatre régles AB, BD, AC, CD, mobiles autour de quatre clous qui les retiennent enfemble en A, B, D, C, & qu'on l'écrafe en preffant les deux points ou clous B, C, l'un vers l'autre jufqu'à fa diagonale AD, qui s'alongera ainfi à mesure que l'autre BC s'acourcira, les côtez du parallelogramme ainfi varié demeurant toûtjours les mêmes. On verra qu'à mefure que fes angles ABD, ACD, deviendront ainfi plus obtus, les côtez DB, DC, avanceront vers AD en décrivant du centre D les arcs circulaires BQ, CP, jufqu'à ce que les fommets B C, de ces deux angles foient arrivez en Q, P, & ces côtez DB, DC, en DQ, DP, fur cette diagonale AD, dont l'allongement joint au racourciffement de l'autre BC, permettra auffi aux deux autres côtez AD, AC, d'arriver pour lors fur elle en AQ, AP; auquel instant des angles ABD, ACD, ainfi devenus infiniment obtus, la diagonale BC fera en PQ. Donc alors BC PQ-DP ←DQ=DC—DB-AB-AC. Ce qu'il falloit 2°. démon

I.

COROLLAIRE I.

Si l'on fuppofe prefentement qu'un corps ou point A foit pouffé ou tiré par deux puiffances à la fois, dirigées fuivant les côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, lefquels leur foient proportionnels ; les art. 1. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. faifant voir que ce corps ou point A devroit alors tendre de A vers D fuivant la diagonale AD de ce parallelogramme, & d'une force qui feroit à chacune de ces puiffances comme cette diagonale à chacun des côtez AB, AC, qui leur font (Hyp.) proportionnels. La démonftration de la Part. 1. de ce Lemme-ci fait confequemment -voir que fi l'angle BAC étoit infiniment aigu, la force du corps ou point A fuivant AD, réfultante du concours des puiffances dirigées fuivant AB, AC, feroit alors égale à la fomme de ces deux puiffances, & dirigée (Lem. 6. Corol. 1.) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles, & en même fens que ces puiffances qui tendroient alors toutes deux de A vers D, & confpireroient ainfi toutes entieres à mouvoir en ce fens ce corps ou point A de la fomme entiere de leurs forces.

COROLLAIRE II.

Si B étoit le point ou le corps pouffé ou tiré à la fois par les deux puiffances précedentes dirigées prefentement fuivant les côtez BA, BD, du parallelogramme ABDC, qui leur font (Hyp.) proportionnels; les art. 1. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. faifant encore voir que ce corps ou point B tendroit alors de B vers C, fuivant l'autre diagonale BC de ce parallelogramme, & d'une force qui feroit à chacune de ces puiffances comme cette diago nale BC à chacun des côtez BA, BD, de ce même parallelogramme ABDC ; la démonstration de la Part. 2. de ce Lemme-ci fait confequemment voir auffi (au contraire de la démonstration de la Part. 1.) que fi l'angle ABD étoit infiniment obtus, la force du corps ou point B fuivant BC, résultante du concours de ces deux puiffances,

ou plûtôt reftante de la directe contrarieté qui( Lem. 6. Corol. 4.) feroit alors entr'elles, ne feroit plus alors qu'égale à la difference de ces deux puiffances, & dirigée

Lem. 6. Corol. 4. ) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles ou directement oppofées, & en même fens que la plus forte d'entr'elles, à qui feule leur directe contrarieté ne laifferoit que fon excès fur l'autre pour agir fur ce corps ou point B.

Ces deux Corol. r. 2. s'accordent parfaitement avec les lois ordinaires du choc des corps, fuivant lefquelles deux donnant à la fois fur un en même sens, le poufferoient en ce sens de la fomme de toutes les forces qu'ils lui communiqueroient Separ rément, conformément au Corol. 1. Et deux donnant à la fois fur un en fens directement contraires, ne le poufferoient que de la difference de ces deux forces dans le fens de la plus grande, conformément au Corol. 2..

COROLLAIRE III

Si l'on imagine, comme dans la démonftrat. de la Pars 2. les côtez BA, BD, du triangle ABD, mobiles autour des points fixes A, D, de la bafe AD, laquelle s'allonge à mesure qu'en écrafant ce triangle vers elle, on en approche l'angle B; cette démonstration de la Part. 2. fait voir que lorfque ce fommet B fera fur cette base allongée AD, elle fera égale à la fomme des deux autres côtez BA, BD, de ce triangle ABD, & chacun de ces côtez égal à la difference dont l'autre eft alors furpaffé par cette base: & comme ( Déf. 1.1.) l'angle ABD du triangle de ce nom, se trouve alors infiniment obtus, & chacun des deux autres BAD, BDA, infiniment aigu; il s'enfuit que dans un triangle réduit à un angle infiniment obtus, & à deux infiniment aigus,

1°. Que le côté oppofé à l'angle infiniment obtus, vaut la fomme des deux autres côtez.

2°. Que le côté oppofé à un angle infiniment aigu, vaut la difference des deux autres côtez..

SCHOLIE.

I. Dans la démonftrat. de la Part. 2. on vient de voir que lorfque deux angles oppofez ABD, ACD, du parallelogramme ABDC deviennent infiniment obtus par l'arrivée de leurs fommets B, C, fur la diagonale AD; cette diagonale AD, fur laquelle les deux côtez AB, BD, fe couchent alors en Q, de même que les deux autres AC, CD, en P, fe trouve alors égale à la fomme de ces côtez pris ainfi deux à deux, c'est-à-dire, qu'alors ADAB+BD=AC-CD. Or lorfque l'angle ABD se trouve infiniment obtus, fon complement BAC eft (Corol. II.) infiniment aigu. Donc lorsqu'un angle BAC d'un parallelogramme quelconque ABDC devient infiniment aigu par l'arrivée de fes côtez AB, AC, fur la diagonale AD, cette diagonale fe trouve toujours alors égale à la fomme de ces deux mêmes côtez. Ce qui eft encore une nouvelle preuve très-fenfible de la Part. I. de ce Lemme-ci, pour le cas où les fommets B, C, des angles ABD, ACD, font mobiles.

le

II. Pour avoir auffi de cette Part. 1. une démonftration fenfible autant que l'incompréhenfibilité de l'infini le peut être, lorfque l'angle BAC devient infiniment aigu, les deux points B, C, demeurant fixes; imaginons parallelogramme ABDC fait des parties BA, BD, CA, CD, de quatre régles indéfinies BE, BG, CF, CH, mobiles autour de ces points fixes B, C, & qui dans leur mouvement autour de ces deux points, fe coupent toû jours en deux quelconques A, D, de la droite infinie MN, fixe à égales diftances des points auffi fixes B, C. On verra qu'à mefure que ces points de.concours A, D, s'éloigneront l'un de l'autre le long de cette droite MN, les angles oppofez BAC, BDC, deviendront aigus de plus en plus, & les oppofez ABD, ACD, obtus de plus en plus; & que lorfque ces deux points de concours A, D, feront infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, les angles BAC, BDC, feront infini