ment aigus, & les deux autres (Corol. de la Déf. 11.) ABD, ADC, infiniment obtus. Or fi du centre D, & des rayons DB, DC, on a conçu deux arcs circulaires BQ, CP, variables comme leurs rayons par l'éloignement continuel de leur centre D, on verra qu'à mefure que ce centre D s'éloigne, comme le point A, des points fixes B, C, ces deux arcs deviennent moins courbes de plus en plus, jufqu'à devenir lignes droites perpendiculaires à MN, & aux deux régles de chacun des points B,C, bout à bout en lignes droites paralleles à MN, lorfque les points A, D, font infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, & que les lignes PA, PD, CA, CD, QA,QD, BA, BD, ainfi changées en infinies PM, PN, CF, CH, QM,QN, BE, BG, paralleles entr'elles, feront pour lors PA PM CFCA, PD=PN=CH= CD, QA QM=BF BA, & QP=QN=BG=BD. Donc alors la diagonale infinie AD ( PA++PD) =CA ➡CD, & AD (QA+QD) =BA-BD; c'est-à-dire, dans ce cas-ci des points fixes B, C, comme dans celui (art. 1)de ces deux points mobiles, que la diagonale AD d'un parallelogramme quelconque ABDC eit totjours égale à la fomme de fes côtez CA, CD, ou BA, BD, lorfque l'angle BAC, ou BDC en eft aigu.

III. Les angles ABD, ACD du parallelogramme ABDC, devenant obtus comme dans le précedent art. 2.par l'écartement vers M, N, de leurs côtez autour de leurs fommets fixes B, C.; on voit que la diagonale BC ne change point pendant que l'autre diagonale AD, & tous les côtez de ce parallelogramme changent comme dans cet art. 2. jufqu'à devenir infinis par cet écartement fait jufqu'au parallelisme de ces lignes entr'elles. D'où l'on voit que ce cas des angles ABD, ACD, devenus infiniment obtus par un tel mouvement de leurs côtez autour de leurs fommets fixes B, C, n'eft point compris dans la Part. 2. de ce Lemme-ci ; & qu'ainsi la démonstration qu'on a donnée ci-deffus de cette Part. 2. en comprend Zoute l'étendue.

F10.22.23.

Quant à la part. 1. elle comprend les deux cas des fommets B, C, fixes ou mobiles des angles ABD, ACD, & outre la démonftration qu'on en a donnée d'abord dans toute cette étendue, les deux précedens art. 1.2. en fournissent encore une nouvelle plus sensible de la même étendue.

LEMME X.

Soit un parallelogramme quelconque GICE, avec une li24. 25. 26. gne droite HP,pofée comme l'on voudra par rapport à lui, dans le même ou dans differens plans, il n'importe. Si des quatre angles ou pointes G, I, C, E, de ce parallelogramme on mene à volonté quatre plans exprimez en profil par GL, IP, CH, EV, tous paralleles entr'eux; & que de ces quatre pointes jufqu'à HP, on tire le long de ces plans autant de lignes droites GL, IP, CH, EV, lesquelles rencontrent HP en L, P, H, V, de quelque maniere que ce foit: je dis que la partie de celle-ci, par exemple, HL, comprise entre deux GL, CH, de celles-là, lefquelles partent des points GC, diagonalement oppofez, eft toûjours égale à la fomme de fes autres partics HV, HP, lorfque les points V, P, fe trouvent du même côté de H, comme dans les Fig. 2 1. 2 2. ou à la difference de ces mêmes parties HV, HP, lorsque ces points V, P, fe trouvent de differens côtez de H, comme dans les Fig. 23. 24. 25. c'eft-à-dire, HL HVHP, dans le cas des Fig. 21. 22. & HL HV-HP, comme dans celui des Fig. 23. 24. ou HL HP-HV, comme dans la Fig. 25.

DEMONSTRATION.

Menez les diagonales IE, GC, qui fe coupent chacune par la moitié en K ; & après avoir conduit par ce point K un plan encore parallele à ceux qu'on a fuppofé l'être par les pointes du parallelogramme GICE, faites tomber de ces quatre pointes ou angles G, I, C, E, quatre lignes GR, IM, CS, EN, toutes paralleleles à HP, & qui rencontrent ce dernier plan en R, M,S, N. Enfin du point Q où ce dernier plan rencontre HP,menez QK,OR,QM,QS, ON

Cela

Cela fait, foit que ces cinq lignes en faffent plufieurs differentes, foit qu'elles fe confondent en une feule, il est clair que puifque GR, IM, CS, EN, HP, font toutes (conftr.) paralleles entr'elles.

1o. IM & PQ font dans un même plan avec PI & QM; ainfi puifque PI & QM fe trouvent dans des plans (Hyp.) paralleles entr'eux, elles feront auffi paralleles entr'elles, & par confequent MP fera un parallelogramme. On prouvera de même que RL, SH, & VN, font autant de parallelogrammes. Donc IM PQ, GR=LQ, CS=HQ, & EN=VQ_

2o. De ce que IM, EN, font (conftr.) paralleles entr'elles, il fuit auffi que les angles MIK, NEK, font égaux entr'eux, & que ces deux lignes font dans un même plan avec IE. Par confequent fi l'on mene KM, KN, ces deux lignes-ci feront auffi dans ce même plan IMEN; ainfi puifqu'elles font encore (conftr.) dans un autre plan qui paffe par KQ, elles feront la commune fection de ces deux plans; & par confequent elles ne font ensemble qu'une même ligne droite. Ce qui donnant encore les angles IKM, EKN, égaux entr'eux, il fuit manifeftement que les triangles IMK, ENK, font femblables, & que puifque IK KE, l'on aura auffi IM=EN. On prouvera de même que les triangles GKR, CKS, font femblables entr'eux, & que puifque GK CK, l'on aura auffi GRECS.

P

Or on vient de voir ( conftr.) que IM=PQ, EN=VQ, GR=LQ,CS HQ. Donc (nomb. 2.) PQ=VQ, & LQ HQ. Donc auffi LP HV. Donc enfin HL HV HP dans le cas des Fig. 22. 23. où V,P, fe trouvent du même côté de H; & dans celui où V, P, fe trouvent de differens côtez de H, l'on aura HL-HV-HP comme dans les Fig. 24. 2 5. ou HL=HP-HV, comme dans la Fig. 26. Ce qu'il falloit démontrer.

la

S'il fe trouve des Commençans qui, embarrassez par multitude des Fig. 21. 22. 23. 24. 25. aufquelles cette démonstration convient, ayent de la peine à l'appliquer à tou

I

tes à la fois : ils pourront d'abord l'appliquer à chacune fepa rément, en les prenant l'une après l'autre à volonté. Aprè cela ils verront fans peine que cette démonstration convien également à toutes ces cinq Figures, & même à plusieur autres qu'ils imagineront aisément alors, & que j'omets tank pour leur en laiffer le plaifir, que pour ne pas multiplier inutilement le nombre de celles-ci. Ils pourront en ufer de même: dans tout ce qu'ils trouveront ici de propofitions à plufieurs cas ou Figures..

COROLLAIRE I.

Soit prefentement par A dans des plans quelconques tant de parallelogrammes auffi quelconques qu'on vou-dra, dont le premier foit ABCD, de qui la diagonale AD foit un des côtez du fecond ADLM, de qui la diagonale AL foit auffi un des côtez du troifiéme ALPN, de qui la diagonale AP foit pareillement un des côtez du quatrième, & ainfi à l'infini. Des extrêmitez C, B, M, Ñ, &c. des côtez non diagonaux de ces parallelogrammes foient autant de plans paralleles, & fur eux autant de droites CF, BH, MG, NE, &c. qui rencontrent fous quelque angle que ce foit en F, H, G,E, &c. . la diagonale du dernier de ces parallelogrammes, c'està-dire, ici la diagonale AP du parallelogramme ALPN, prolongée vers Ŏ, E, il fuit du prefent Lem. 1o. que cette derniere diagonale AP-AF+AGAH—AE.

Car fuivant ce Lemme, fi des extrêmitez D, L, &c. . des côtez diagonaux AD, AL, &c. des parallelogrammes précedens, l'on mene auffi des plans paralleles aux paralleles précedens, & fur lefquels foient les droites DV,LX, &c. lefquelles rencontrent en V, X, &c. la derniere diagonale AP prolongée, dont AD represente içi la droite HP des précedentes Fig. 22. 23. 24. 25. 26. Le premier parallelogramme ACBD donnera A V— AF-AH; le fecond ADLM donnera AX=AVAG, & confequemment AX-AFAH+AG; le troifiéme ALPN donnera APAX-AE, & confequemment

AP-AF÷AH+AG-AE, ainfi qu'on le vient d'avancer. Ce raisonnement fait voir qu'il en fera de même à l'infini, quelque nombre de parallelogrammes quelconques faits comme ci-deffus, qu'on fuppofe dans des plans auffi quelconques avoir tous le même points A pour un de leurs angles par où paffent les diagonales dont on vient de parler: la derniere de ces diagonales, telle qu'eft ici AP, fera toûjours AFAH+AG-AF+, &c. C'està-dire, égale à la fomme de ce que les côtez non diagonaux AC, AB, AM, AN, &c. y donneront d'abfcilles AF, AH, AG, &c. depuis A vers l'autre extrêmité P de cette derniere diagonase, moins la fomme AE, &c. de ce que ces côtez non diagonaux y en donneront au-delà du point A du côté de E.

COROLLAIRE IL

Toutes chofes demeurant les mêmes, fuppofons prefentement que le point A, ou un corps en ce point, foit pouffé ou tiré tout à la fois fuivant AC, AB, AM, AN, &c. par autant de puiffances appellées C, B, M,N, &c. lefquelles foient entr'elles cominé ces lignes correspondantes. Les Corol. 6. 7. du Lem. 2. & le Corol. 10. duLem. 3. font voir que l'impreffion réfultante au point A, du concours de toutes ces puiffances, eft toûjours non feulement fuivant la derniere diagonale, qui eft ici AP celle du dernier ALPN des parallelogrammes précedens; mais encore d'une force de A vers P, laquelle eft toûjours à chacune des puiffances fuppofées fuivant AC, AB, AM, AN, comme cette derniere diagonale AP eft à chacun de ces côtez proportionnels (Hyp.) à ces puiffances C, B, M, N. Mais le précedent Corol. 1. donne ici AF AFAHAG~AE. Donc auffi la force du point ou corps A fuivant AP, résultante du concours de toutes ces puiffances-là, eft toûjours à chacune d'elles, comme AFAH+AG-AE eft à chacune de leurs proportionnelles AC, AB, AM, AN, & ainfi à l'infini en quelque nombre qu'elles foient.