COROLLAIRE V I.

Les divifions précedentes fuppofées des lignes CB, QM, NR, &c. cn Q, R, S, &c. on voit ( Corol. 5.) que l'effort réfultant du concours des deux puiffances C‚3, fe feroit fuivant AQ; que le résultant du concours des trois puiffances C, B, M, fe feroit fuivant AR;que le réfultant du concours des quatre puiffances C, B, M, N, fe feroit fuivant AS, & ainfi de tant de puiffances qu'on voudra fuppofer agir toutes à la fois fur un même point A, de quelque maniere que ce foit. Donc fuivant le Corol. 1. du principe general (fi les lieux CB, QM, NR, &c. étoient autant de verges inflexibles & fans pefanteur, aufquelles les puiffances C, B, M, N, &c. fans changer de direction, étoient appliquées comme on le voit ici) il y auroit équilibre entre les deux puiffances C, B, fur un appui placé en Q; entre les trois puiffances C, B, M, fur un appui placé en R; entre les quatre puiffances C, B, M, N, fur un appui placé en S, & ainfi de tel autre nombre de puiffances qu'on voudra, dirigées toutes par A. D'où l'on voit Déf. 8.) que Q eft le centre d'équilibre des deux puiffances C, B; que R eft celui des trois puissances C, B, M; que S eft celui des quatre puiffances C, B, M, N, &c. fur les verges ou lignes CB, QM, RN, &C. fuppofées inflexibles & fans pefanteur.

DEFINITION XIII.

Ces points Q, R, S, &c. feront appellez dans la fuite centres principaux d'équilibre de ces puiffances C, B, M, N, &c. fçavoir Q, centre principal d'équilibre des puiffances C, B; R, centre principal d'équilibre des puissances C, B, M; S, centre principal d'équilibre des puissances C, B, M, N; & ainfi de tout autre nombre de puiflances libres dirigées toutes par le point A, fuivant quelques plans que ce foit.

DEFINITION XIV.

Les pefanteurs particulieres de toutes les parties d'un

poids quelconque pouvant être regardées (Ax. 2.) comme autant de puiffances qui agiffent ensemble fur lui de haut en bas avec des forces égales à ces pefanteurs, & fuivant les mêmes directions qu'elles ; il fuit du Corol. 10. du Lem. 3. qu'il en doit réfulter à ce corps entier une impreffion ou force totale de haut en bas, qui en faffe la pefantcur totale, & fuivant une ligne qui ( Déf. 3.) en foit la direction. Quelle que foit cette ligne de direction de la pefanteur d'un corps, elle s'appellera verti cale dans la fuite; & les perpendiculaires à celle-là, feront nommées horisontales. Si en quelque fens qu'on tourne ce poids, la direction de fa pefanteur paffe toujours par un même point de ce corps, ce point s'appellera à l'ordinaire le centre de gravité de ce même corps.

COROLLAIRE.

Le Corol. 1. du principe general fait voir qu'un poids qui auroit un tel point, quelque fituation qu'on lui donnât autour de ce point, il y demeureroit toujours en équilibre & en repos tant que ce point feroit foûtenu, où fixement arrêté, nonobitant la mobilité de ce corps autour de ce même point fixe.

On verra dans la fuite fi un tel centre de gravité eft possi ble, & en quel fens ; c'est-à-dire, quelles doivent être pour cela les directions des pefanteurs particulieres de toutes les parties des poids. En attendant nous ne nous fervirons point des centres de gravité, mais feulement des directions de ces poids, lefquelles fe trouvent toujours (Corol. 2. princip. ge ner.) étre les lignes fuivant lefquelles ils demeurent fufpendus.

LEMME XII. ·

Soit un parallelogramme quelconque MDNG, dont les F 16.3 deux côtez DM, DN, prolongez ( s'il eft neceffaire) foient 32. rencontrez perpendiculairement en H, K, par les deux côte HR, KR,d'un angle auffi quelconque HRK placé en méme plan. fe dis que fi HRXDM KRXDN, ou ( ce qui revient au meme) fi HR. KR:: DN. DM. La diagonale DG du pa

A

9.10.33.

rallelogramme MDNG, prolongée (s'il eft necessaire) passe ra par l'angle R.

DEMONSTRATION.

Si l'on nie que la diagonale DG paffe par l'angle R, foit menée la droite DR, qui foit prife pour le finus total; foit auffi prife pour la marque ou la caracteristique des autres finus. Les angles (Hyp.) droits en H, K, donneront /HDR. SKDR :: HR. KR (Hyp.):: DN. DM:: MG. DM (Lem. 8. Cor. 2.) :: MDG./MGD::SMDG. SNDG. Cependant fi DG ne fe confondoit pas avec DR, l'on auroit ici HDR à /KDR en moindre raison que /MDG à /NDG; & en plus grande, fi DR y étoit de l'autre côté de DG. Donc ces deux lignes DG, DR, doivent fe confondre en une ; & par confequent la diagonale DG ainfi confondue avec DR, & prolongée, s'il eft neceffaire, paffera comme DR par l'angle R. Ce qu'il fab loit démontrer.

LEMME XIII.

Par un point D donné dans un angle donné HAG, me ner une ligne droite BC, que ce point Ddivife en raifon done née de man, c'est-à-dire, en forte qu'on ait BD. DC :: m. n.

SOLUTION.

Sur AD prolongée du côté de D, foit prife DE. AD :: nm. Soit menée EC parallele à AG, & qui rencontre AH en C; de ce point C par le donné D foit menée CD, qui prolongée rencontre AG en B: je dis que CB eft la ligne requife, c'est-à-dire, que non feulement elle paffe par le point donné D, mais encore qu'elle y eit divifée de maniere que BD, DC:: m. n. ainfi qu'il eft ici requis.

DEMONSTRATION.

Puifque AB, EC, font (conftr.) paralleles entr'elles, & qu'ainfi les triangles ADB, EDC, font femblables entr'eux, l'on aura ici DC. DB:: DE. DA (constr. ): : n. m.

Donc

Donc en renverfant) BD. DC:: m. n. Ce qu'il falloit faire & démontrer.

LEMME XIV.

Deux points A, B, étant donne à volonté, mener du pre- F10. 34 mier A deux lignes AD, AC, de grandeurs données P, Qi & du fecond B, une ligne BC, laquelle foit divifée en D, C, par ces deux-là, en raifon donnée de mà n : c'est-à-dire, en forte qu'on ait ici tout à la fois AD=P, AC=Q, & BD.

DC:: m. n.

SOLUTION.

Soit menée AB par les deux points donnez A, B, & fur elle prolongée du côté de B, foit prife AE. AB::n.m ̧ Des centres A, E, & des rayons AF="+"×P, EF=Q, foient décrits deux arcs de cercles qui fe coupent en F; enfuite après avoir mené AC, FC, paralleles à EF, EA, & qui fe coupent en C, foit menée BC, que la droite AF coupe en C. Cela fait, je dis que AC=Q, AD=P, & que BD. DC:: m. n. ainfi qu'il eft ici requis.

DEMONSTRATION.

Car le parallelogramme AEFC réfultant de cette conftruction, rendant AC-EF ( Hyp.) =Q, CF=AE, & les triangles ADB, FDC, femblables entr'eux, donne premierement AC=Q; fecondement, FD. AD: : FC. AB:: AE. AB (conftr.):n.m. D'où réfulte ( en compofant) m➡n. m : : AF ( m=”×P). AD=P. Troifiéme

m

ment enfin BD. DC: : AB. FC:: AB. AE( conftr.) : : m. n. Donc cette même conftruction donnera ici tout à la fois AC=Q, AD=P, & BD. DC: : m.n. Ce qu'il falloit dé

montrer.

LEMME XV.

Soit une ligne droite XO mobile autour d'un de fes points FIG. 354 Bfixe, qui la divife en deux branches ou parties BX,BO, telles 36,

L

qu'on voudra: imaginons-la fe mouvoir de XO en x autour de ce point fixe B. Par un autre point quelconque A foient menées des points X, x, 0, w, les quatre droites XA‚xA, OA, wA, fur lesquelles du point B tombent autant de perpendiculaires BD, Bd, BP, Bp. Je dis que la branche BX qui fe fera ainfi approchée du point A cn Bx, pendant que l'autre BO (moindre, plus grande, ou égale à elle il n'importe) s'en fera éloignée en Bw, donnera toûjours BP. BD > Bp. Bd. c'esto "à-dire, BP à BD en plus grande raifon que Bp à Bd..

DEMONSTRATION..

Après avoir pris Xb, xß, chacune égale à BO ou à Ba, fur OX, wx, foient menées bm, eu, perpendiculaires fur AX, Ax, prolongées s'il en eft befoin. Cela fait,

1o. En prenant Be ou fon égale &x pour le finus total, l'on aura (Def. 9. Corol. 1.) Bu à Bp comme le finus de l'angle Bx eft au finus de l'angle Bop, ou (Def 9. Co• rol. I.) comme le finus de l'angle BxA eft au finus de l'ange B&A; & confequemment auffi ( Lem. 8. Corol. 2.) comme A eft à Ax, c'est-à-dire, fu. Bp :: Aa. Ax. Mais les triangles (conft.) femblables Bxd, gxu, donnant Bd. 2u:: BX. Bx (conftr.):: BX. BO. Donc (en multipliant. par ordre) Bd. Bp :: BXxA. BO×Ax.

2o. En prenant encore BO ou fon égale bX pour le finus total, l'on aura de même ( Def. 9. Corol. 1.) BP à bm comme le finus de l'angle BOP eft au finus de l'angle bXm; & confequemment auffi (Lem. 8. Corol. 2.) comme AX eft à AO, c'est-à-dire, EP. bm :: AX. AO. Mais les triangles (conftr.) femblables bmX, BDX, donnent bm.. BD::bX.BX (conftr.):: BO. BX. Donc (en multipliant par ordre) BP. BD::BO×AX.BX×AO.

Ces nomb. 1. 2. donnant ainfi Ed. Bp::BX×Aw.BO×Ax. Et BP.BD:: BO×AX. BX×AO. l'on aura (en multipliant par ordre ) BPxBd. BDxBp :: EO×AXXBXXA. EXXAO× BO×Ax:: AX×Aw. AO×Ax. Mais la conftruction donnant AX> Ax, & A.> AO, donne pareillement AXX