paravant. Donc en ce cas d'équilibre ces directions feront toutes trois en même plan, par un même point, ou paralleles entr'elles ; & celle KX du poids K fera toûjours entre les deux autres PG, RH. Ce qu'il falloit 1° démontrer.

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PART. II. Le nomb. 1. du Corol. 1. du Lemme 3. fait voir que du concours des puiffances P, R, il doit refulter au point A, & confequemment auffi au corps K une force nouvelle fuivant quelque ligne AD qui paffe par A à travers l'angle PAR compris entre les directions de ces deux puiffances, fuivant laquelle ligne AD ce corps feroit tiré par le concours de ces deux puiffances de même que fi au lieu de l'être par elles enfemble, il ne l'étoit en même fens fuivant cette ligne AD, que par une puiffance égale à la force refultante du concours de ces deux-là ; & que ce corps ainfi tiré fe meuvroit effectivement (Ax. 2.) fuivant cette ligne de A vers D, fi quelqu'autre force ou résistance ne s'y oppofuit. Done n'y ayant ici (Hyp.) que la pefanteur de ce poids K qui s'y oppose, non feulement cette direction AD de la force refultante du concours des deux puiffances P, R, dans -l'équilibre ici fuppofé, doit être ( Lem. 3. Corol. 2. nomb. 1.) en ligne droite avec la direction KX du poids K, ou de fa pefanteur; mais encore cette force doit ( Lem, 3. Covol. 2. nomb. 3.) être égale à cette pefanteur ; c'est-à-dire Lem. 3. Corol. 2.) être égale & directement opposée à cette même pefanteur. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

PART. III. Puifqué le poids K eft ( Hyp.) foûtenu par le concours des puiffances P, R, &c. en équilibre avec elles, les nomb. 1. 2. 3. du Corol. 2. du Lem. 3. font voir que sa pefanteur doit être égale à la force refultante (Lem. 3. Corol. 1. nomb. I.) de leur concours d'action contre lui, & être dirigée fuivant la même ligne que cette force en fons directement contraire: de forte que la pelanteur de ce poids étant (part. 1.) dirigée fuivant DA, la force refultante du concours d'action des puifLances P, R, contre lui, fera aufli dirigée fuivant la mê

me

me diagonale AD du parallelogramme ABDC. Par confequent cette force ou impreffion refultante du concours de ces deux puiffances P, R, fera non feulement égale & directement oppofée à la pefanteur du poids K, mais encore (Lem. 3. Corol. 5.) elle fera à chacune de ces mêmes puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions. Donc auffi le poids K ou fa pefanteur fera de même ici à chacune de ces deux puiffances P, R, comme cette diagonale AD. eft à chacun des côtez AB, AC, qui leur répondent dans le parallelogramme ABDC. Ce qu'il falloit 3°. dé

montrer.

PART. IV. Puifque (Hyp.) P.R:: AB. AC. la direation de la force réfultante du concours de ces deux puiffances P, R, doit être ( Lem. 3. Corol. I. nomb. 1.) de A vers D fuivant la diagonale AD du parallelogramme ABDC. Or dans le cas d'équilibre ici fuppofé, cette direction doit être (part. 1.) en ligne droite avec celle KX du poids K. Donc en ce cas d'équilibre la diagonale AD doit être fur cette direction XK prolongée du côté de K; & confequemment (part. 3.) le poids K doit être ici à chacune des puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec lui, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez AB, AC, correfpondans fur leurs directions. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

PART. V. Puifque (Hyp.) le poids K eft à chacune des puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC, prife fur la direction XK prolongée de ce poids, eft à chacun de fes côtez AB, AC, pris aufli fur les directions prolongées AP, AR, de ces deux puiffances, par le concours, & dans le plan defquelles directions paffe (Hyp.) celle du poids Kà travers leur angle PAR; l'on aura ici P. K: AB. AD. Et K. R:: AD. AC. Donc (en raison ordonnée) P.R:: AB. AC. Par confequent (Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1. 2.) les puiflances P, R, doivent tirer le poids K de A vers D fuviant AD direction

N

(Hyp.) prolongée KX de ce poids dans le plan de leurs cordes, & d'une force contraire à la fienne, laquelle force contraire foit à chacune de ces deux puiffances P, R, comme cette diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez AB, AC, qui leur répondent. · Mais la force de ce poids ou fa pefanteur eft aufli (Hyp.) en cette même raifon à chacune de ces deux puiffances. Donc la pefanteur de ce poids K eft ici directement contraire & égale à la force refultante du concours d'action des puiffances P, R, contre lui. Par consequent (Ax. 3.. &Corol. 1.du princ. gener.) ce poids doit ici demeurer en équilibre avec fes deux puiffances. Ce qu'il falloit 5°.dé

montrer.

Autrement. Si le poids K ne faifoit pas ainfi équilibre avec les puiffances P, R, foit en fa place tel autre poids Z qu'on voudra, qui appliqué fuivant fa direction Ax contre les puiffances P, R, dirigées comme ci-deffus, faffe équilibre avec elles. La part. 3. fait voir que ce nouveau poids Z feroit alors à chacune de ces puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC est à chacun de fes côtez correfpondans AB, AC, fur leurs directions, c'est-à-dire ( Hyp.) comme le poids K est à chacune de ces deux mêmes puiffances P,R ; & par confequent que ce poids K feroit égal à l'autre Z fubftitué en fa place fuivant fa direction. Donc (Ax. 2.) ce poids K feroit pareillement équilibre ici avec les deux mêmes puiffances P, R. Ce qu'il falloit encore 5o. dé

montrer.

PART. VI. Puifque les côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, font ici (Hyp.) entr'eux comme les puiffances P, R, fur les directions defquelles ils fe trouvent, la force refultante du concours de ces deux puiffances fera ici (Lem. 3. Corol. 5. ) de A vers D fuivant AD, & à chacune d'elles comme la diagonale AD de ce parallelogramme BC, eft à chacun de fes côtez AB, AC, correfpondans fur les directions de ces deux puiffances PR, c'est-à-dire ( Hyp.) comme le poids K eft à chacune

d'elles ; & confequemment ce poids K fera ici égal à cette force refultante du concours d'action de ces deux puiffances P, R, contre lui. Donc la direction de cette force venant d'être trouvée de A vers D fuivant AD, & celle du poids K étant (Hyp.) de D vers A fuivant la même DA; ce poids & cette force, c'eft-à-dire, ce poids & les deux puiffances P, R, du concours defquelles cette force refulte, demeureront ici ( Ax. 3. & Corol. 1. du princ. gener.) en équilibre entr'eux. Ce qu'il falloit 6°. dé

En cas d'équilibre la part. 3. de ce Théoreme-ci donnant P. K:: AB. AD. Et K. R:: AD. AC. l'on aura ici (en raifon ordonnée ) P.R:: AB. AC. comme dans la part. 4. c'est-à-dire, les puiffances P, R, entr'elles en raifon des côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions dans le parallelogramme ABDC. Par confequent fi d'un point quelconque L de fa diagonale AD prolongée, on mene LM, LN, perpendiculaires fur les directions AP, AR, de ces deux puiffances P, R; ces mêmes puiffances feront auffi entr'elles ( Lem. 8.) en raison reciproque de ces perpendiculaires : c'eft-à-dire, P. R:: LN.LM. Ce qui donnant P×LMER LN, on voit qu'en cas d'équilibre entre les puiffances P, R, & le poids K, les produits de ces deux puiflances P,R, les perpendiculaires LM, LN, menée de quelque point L que ce foit de la direction du poids K, font toûjours alors égaux

¿ entr'eux.

COROLLAIRE II.

par

Mais en prenant AL pour le finus total, on fçait ( Déf. 9. Coral. 1.) que ces perpendiculaires LN, LM, font les finus des angles LAN, LAM. Donc auffi Corol. 1.) les puiffances P,R, font pareillement ici en raifon reciproque des finus des angles LAM, LAN, que leurs directions AP, AR, y font avec celle AD du poids K; & par con

fequent ( Déf. 9. Corol. 2.) ces mêmes puiffances P, R, Y font auffi entr'elles en raifon reciproque des finus des angles PAX, RAX, complemens chacun de chacun de ces deux-là à deux droits ; c'eft-à-dire, que P eft ici à R, comme le finus de l'angle LAN au finus de l'angle LAM; ou P à R, comme le finus de l'angle RAX au finus de l'angle PAX.

COROLLAIRE III.

Si pour nous exprimer plus aifément, on suppose une troifiéme puiffance appellée K à la place du poids de ce nom, laquelle fuivant la direction KX ou AD de ce poids, faffe comme lui équilibre avec les deux P, R, qui le foûtiennent ; on trouvera par le Lem. 8. comme dans le Corol. 1. que ces trois puiffances P, R, K, prifes à volonté deux à deux, font toujours entr'elles en raifon reciproque des perpendiculaires menées d'un point quelconque de la direction de la troifiéme. fur les leurs ; c'est-à-dire, en raifon reciproque des diftances de leurs directions à quelque point que ce foit de celle de la troifiéme de ces puiffances; & confequemment (comme dans le Corol. z..) que deux de ces trois puiffances prifes ainfi à volonté, font toûjours entr'elles en raifon reciproque des finus des angles que leurs directions font avec celle de la troifiéme puiffance.

On ne trace point ici les perpendiculaires mentionnées dans le précedent Corol. 3. de peur d'embrouiller les Figures par la multiplicité des lignes, il eft aifé de les imaginer fur celles

du Lem. 8.

COROLLAIRE IV.

De plus puifque (Corol. 1.) en ce cas d'équilibre P. R:: AB.AC. Et R.K:: AC. AD. les trois puifiances P, R, K, y feront toujours entr'elles en raison des lignes AB, AC, AD, ou à caufe de BDAC) en raifon des côtez AB, BD, AD, du triangle ABD ; & confequemment auffi toujours entr'elles ( Lem. 8. Corol. 2.) en raison des sinus