Si à préfent l'on nomme l'arc A Ma, l'arc Am➡v, AP —b, & Ap=x, à cause =x, à cause que a = 2 Vō, V = 2 √x, on aura aa—vv=4b-4x, ou fi Mm=z, on aura a—z=v, ou

√zaz—zz=yi; en supposant P p =y, cette valeur de y

étant fubftituée dans v=yq, donne v = газ -27х

9 Or il eft évident que le point de la courbe où la vîteffe¡est la plus grande, divise l'arc entier décrit dans une oscillation en deux parties égales donc en faifant la fluxion de la viteffe v

égale à zero, on aura

o; & par conféquent arrz2 az-zz, ou—rz-2 +=―ar, dont la racine quarrée estr + ai √rr+4aa=÷r+~~~~+&c. ou a a—z=~/

243

+

27

&c. Or ceci eft la moitié de la différence entre les arcs décrits en descendant & en montant : en doublant cette valeur, on aurą

&v=e-ff, on aura ern A➡r+m, nƒB=2′′ vm. -r+m,nfB={"v"; ce qui a été démontré dans la premiere partie de cet ouvrage.

LEMME I I.

95. Suppofant v = e

I

m

I

v=e-f{",.comme ci-deffus, il s'agit de trouver la fluente de 1× 1 +7"+z2” +z3”+ &c. lorfque v 0, ou e — =f”.

Si A, B, C, D, &c. expriment les fluentes des termes

dans l'ordre qu'ils font placés, on aura e r Ar+m,j

r+m,fB=

vm, & lorsque v=0, on aura B= :; ou fir+m=s,

er A

I m

Orrétant augmentée d'une unité dans chaque terme de la fluxion ż z1y—1× 1 + z′′+z2′′ +z3"+&c. & le refte des quantités demeurant les mêmes; fi l'on met r+1,s+1,& r+2, s÷-2,

er

&c. dans B === A; alors les termes A & B, deviendront suc

fs

e 1+

ceffivement les termes B, C, D, &c. fçavoir, BC,

f

x

+s

C=D; ainfi en mettant la valeur de B dans celle de

ee Txir

C, & celle de C dans celles de D, elles deviendront .X ff

rx 1 + x 2 + r + &c. Comme la loi de cette fuite eft connue,

96. L'on demande le tems d'une ofcillation complette dans une cycloïde, lorfque la réfiftance eft comme le quarré des vitesses. Si a exprime la longueur de l'arc de la cycloïde décrite, commey=√2 az— 7 }, & † = on aura i=

à caufe que qr =1++++&c. on a t

×1++~+~+ &c.

643

2 x

2 ž

ou

✓az-zz

Mais il eft clair que lorfque z=a, la fluente de cette fluxion exprime le tems d'une oscillation entiere, & que la fluente de

2 % exprime la circonférence du cercle dont le diametre Vax-xx

eft l'unité.

Or fi l'on compare cette fluxion avec la formule générale cideffus & gr− x E

m= /r+m=s=1,ƒ=1,&

a=e. Par conféquent la fluente du dernier article deviendra

заа

5a3 96r3

Ax1+ - + + +&c. lorsque A exprime la circon

16rr

férence de cercle dont le diametre est l'unité.

COROLLA IR EN

97. Delà il fuit (puifque A exprime le tems d'une ofcillation d'un pendule qui décrit une cycloïde dans un milieu fans

I+ 2.7

résistance, & A × 1++ &c, celui lorfque la réfistance est comme le quarré des vîteffes) que la différence de ces tems fera comme A x, à peu près, c'est-à-dire, comme l'arc décrit ; ce qui s'accorde avec ce que le Chevalier Newton a dit dans la propofition 27, livre 2 de fes principes; & par conféquent ce que M. Simpson rapporte dans fon Effai, page 74, n'eft pas jufte; car il dit que cette différence eft comme le quarré de l'arc.

PROBLEME.

98. Si un pendule qui fait fes ofcillations dans une cycloïde, eft retardé dans la raison des viteffes, l'on demande le tems d'une of cillation.

vž dans ce cas, ou vż

vž ——2; en divisant la conftante x, on aura par

Vaz-zz

Or fi a exprime

2 x

r√ az-zz

cette

derniere eft la fluxion d'un arc de cercle dont le diametre est l'unité, & fon finus eft z: donc fi l'on nomme m cet arc, & c la circonférence entiere du même diametre, la fluente complete

sera —”, & ainfi ==

r

2x

; mais m

✓az-zz

-m

dont la fluente eft t=rx log.

✓az-zz

2 x

: donc t

Az

Or lorfque mo, ce logarithme devient une quantité

390

TRAITÉ DU MOUVEMENT, &c.

conftante & indépendante de l'arc décrit. Par conféquent let tems feront égaux dans ce cas, auffi-bien que dans un milieu fans réfiftance; ce qui confirme la 26me propofition du second Livre des principes du Chevalier Newton.

PROBLEME.

99. L'on demande le tems lorsque la résistance eft uniforme, le refte étant de même que ci-dessus.

Suppofant la résistance exprimée par r, on aura vv y—j— rż, dont la fluente eft v v➡ 2 y — 277 ; & comme 4

AL

par la propriété de la cycloïde, en mettant cette valeur de y dans celle de vv, il viendra v v :

a—4r=b, on aura v➡y

ż, donne t

2

2rz, ou en faifant

; & par conféquent v i =

-; dont la fluente, lorfque b

√az-zz

= 7, est la circonférence d'un cercle dont le diametre eft l'unité. Par conféquent les tems font égaux, quoique les arcs décrits foient grands ou petits.

Comme les pendules qui font bien faits, ne décrivent que des forts petits arcs, & que leur mouvement eft fenfiblement égal, la réfiftance qu'ils rencontrent doit être uniforme, & de peu de chose: ainfi il me paroît fort inutile de confidérer la réfiftance lorfqu'on fait des expériences fur la longueur des pendules à fecondes, comme quelques Auteurs modernes ont fait. Tout ce qu'on pourroit dire, eft que cette longueur fera de quelque chofe de plus qu'elle ne devroit être; mais la différence doit être très-peu de chose.

Fin du Traité du Mouvement.

391

JE

LETTRE

De M. CLAIRAUT à M. SAVERIEN. (1)

E vous remercie, Monfieur, de la bonté que vous avez eue dè me communiquer les réfléxions de M. Muller fur ma théorie de la figure de la Terre. Quoiqu'elles ne me paroiffent pas de nature à faire impreffion fur les lecteurs qui entendent la matiere, je profiterai cependant de l'offre que vous m'avez faite de faire imprimer ma réponse à la fuite de fes objections, afin que Pair d'affurance avec lequel il les préfente, n'en impofe pas à ceux qui n'ont pas fait d'étude particuliere de la question de la figure de la Terre.

L'article de mon ouvrage que M. Muller attaque, eft, comme vous l'avez vu, celui où j'examine la figure que la Terre doit prendre dans l'hypothefe de l'attraction Newtoniene lorfque toutes les parties font fuppofées homogenes.

Il est étonné que j'aye regardé comme une vérité difficile à démontrer que cette figure doit être celle de Fellipfe d'Apollonius; & pour juftifier fon étonnement, il le démontre ainfi en peu de lignes.

Si l'on confidere, comme l'a fait M. Newton , que les parties d'un fluide font attirées vers un point fixe avec des forces égales à des diftances égales de ce point, ce fluide formera une fphere. Suppofez cette fphere tourner autour de fon axe avec une certaine viteffe comparable à celle produite par la force centripete, les rayons de cercles paralleles à l'équateur s'alongeront proportionnellement à leur longueur : cela étant, voilà l'ellipfe démontrée & fi le Chevalier Newton ne l'a pas démontrée lui-même, c'est qu'il l'a cru fi fimple & fi palpable, que cela doit fauter aux yeux de tout le monde.

;

(1) Nous croyons entrer dans les vues de M. Muller, dont la candeur & l'habileté nous font également connues, en inférant ici la réponse de M. Clairaut à quelques objections qu'il y a dans cet Ouvrage contre fa théorie de la figure de la Terre. En pareil cas, M. de Montmort fit imprimer à la fin de fon Analyse des Jeux de Hazards, les Lettres que M. Bernoulli lui avoit écrites contre cette Analyfe ; & il croyoit que fa gloire & le fuccès de fon Ouvrage étoient intereffés à cette publication. Ce feroit, fans doute, faire injustice à M. Muller, que de ne lui pas attribuer les mêmes fentimens.