471 (4 TRAITÉ ANALYTIQUE DES SECTIONS CONIQUES, FLUXIONS ET FLUENTES. AVEC UN ESSAI SUR LES QUADRATURES, PAR M. MULLER, Professeur de Mathématiques à l'Ecole Royale A PARIS, pour Chez CHARLES-ANTOINE JOMBERT, Imprimeur-Libraire du Roi M. DCC. LX. AVEC APPROBATION ET PRIVILEGE DU ROY, KONINKL. TE'SHAGE. iij PRÉFAC E. L'EXCELLENCE des Mathématiques en général, & de leurs parties en particulier, que l'on traite dans cet Ouvrage, a été fi bien établie par plufieurs Auteurs célebres, qu'il feroit fort inutile d'en relever les précieux avantages. Auffi ne fe propofc-t'on dans cette Préface que de donner les raifons qui ont engagé à écrire fur des fujets déja épuifés en apparence par plufieurs habiles Mathématiciens. Mon premier deffein, lorfque je compofai cet Ouvrage étoit d'éclaircir les principes de Mathématiques fur la Philofophie Naturelle du Chevalier Newton, & je me croyois bien récompenfé de mon travail, fi je pouvois y réuffir. Comme il y a un grand nombre de propriétés des Sections Coniques, qui font néceffaires pour bien entendre ces principes, dont la plus grande partie n'a été développée par aucun Auteur, du moins que je connoiffe, j'ai été obligé de rechercher ces propriétés ; cela n'a pu s'exécuter qu'en mettant fous les yeux toute la théorie des Sections Coniques. Car ces Sections ayant la plûpart les mêmes propriétés, qui ne différent prefque que par la pofition de quelques lignes, on ne peut les traiter féparément, fans perdre cette liaifon qui fe trouve entr'elles. Autrement les démonftrations font non feu- · lement multipliées en vain, mais encore le fujet en devient en même temps plus obfcur & très-embarraffant. Voilà pourquoi les plus fçavans Géometres les ont confidérées toutes trois ensemble, & alors la même démonftration fert pour toutes, excepté dans quelques cas : c'eft auffi ce que je fais dans la premiere partie de cet Ouvrage, où je donne des démonftrations particulieres de la parabole, afin d'éviter le mot infini qui pourroit embarraffer les commençans. Dans mes planches, les mêmes lignes font marquées par les mêmes lettres, & lorsque je me fers de l'Algebre, elles font auffi marquées par le mêmes lettres, de forte qu'il ne faut retenir que cinq ou fix lettres pour lire cette premiere partie. Au refte, je ne fais ufage de l'Algebre que dans des cas où j'ai cru rendre les démonftrations plus courtes & plus faciles, & j'ai préféré la synthese à l'analyse, lorfque cela a pu fe faire. Quoique le Traité des Sections Coniques du Marquis de l'Hôpital foit un ouvrage excellent dans fon genre, cependant il y a bien des propriétés de ces courbes fort remarquables qu'il n'a pas données, & les autres étant traitées féparément & en différens endroits, l'étude en devient plus ennuyeufe & plus pénible qu'elle le feroit, fi elles étoient raffemblées comme elles devroient l'être. Outre cela, fes définitions ne font pas abfolument exactes; car il en donne une différente de la même chose dans chaque fection. Par exemple, dans la parabole il dit. Toutes li·gnes menées des points de la parabole parallèlement à l'axe, font les diametres. Et dans l'ellipfe, toutes lignes droites qui paffent par le centre, & qui font terminées de part & d'autre par l'ellipfe, font appellées diametres. Il fait la même chose à l'égard du foyer & de quelques autres lignes; au lieu de définir les diametres & les foyers par quelque propriété générale dans quelques courbes où ces lignes & ces points puiffent fe trouver, Dans mon fecond Livre, je donne les premiers principes de la méthode des Fluxions, d'une maniere tout-à-fait différente de toutes celles qui ont été employées jufques ici : car rien n'eft plus répréhenfible que cette méthode de faire entrer des quantités infiniment petites dans ce calcul: il en a réfulté deja une fi grande obfcurité dans le raisonnement, que bien des commençans fe font rebutés & perfuadés qu'il n'étoit pas poffible d'en déduire des principes certains, comme on le prétendoit. En effet, lorfqu'il faut trouver la fluxion d'une quantité variable élevée à une puiffance quelconque, la maniere ordinaire eft d'ajouter cette quantité à une autre infiniment petite, & d'élever la fomme à la puiffance donnée; & après avoir ôté le premier terme, on divise le refte par cette petite quantité: il faut donc rejetter tous les termes, excepté le fecond, qui doit exprimer la fluxion cherchée; & on ne conçoit pas que la fomme infinie des termes qu'on rejette foit fi petite à l'égard du feul terme que l'on garde, qu'on les puiffe négliger fans aucune erreur. L'imagination fe révolte: on perd l'idée de l'exactitude géométrique, fans concevoir la moindre idée de jufteffe des principes qu'on tâche d'établir. Pour rendre donc ces principes plus à portée des commençans, je confidere les courbes décrites par le mouvement d'un point, pouffé par deux puiffances dans des directions différentes, l'une parallele aux abfciffes, & l'autre parallele aux appliquées ; & je démontre que, fi ce point continuoit avec une viteffe uniforme & égale à celle qu'il a dans un point de la courbe quelconque, il décriroit une ligne droite, qui feroit tangente à la courbe en ce point: delà on peut conclure que la direction du point en mouvement eft dans la tangente de la courbe en ce point. Par conféquent les directions des deux puiffances, & celle du point étant connues dans un point quelconque, la raison des vîteffes de ces puiffances fera auffi connue. Or la vîteffe dans la direction des abfciffes étant à la vîteffe dans la direction des appliquées, comme la foutangente eft à l'appliquée correfpondante, le rapport de ces vîteffes étant donné, la nature de la courbe peut être trouvée, ou la nature de la courbe étant donnée, la relation entre ces vîteffes peut être trouvée. C'eft de ce principe que fe déduit la maniere de trouver les fluxions des quantités variables, fans rejetter aucune chose; & je donne enfuite les regles ordinaires, pour trouver les plus grandes & les moindres des quantités, les rayons des développées & les cauftiques par réfléxion & par réfraction: en ne se servant que des lignes finies pour exprimer la relation entre les fluxions: j'ai eu grand foin furtout de diftinguer, lorfqu'on cherche les plus grands & les moindres, la quantité que l'on trouve, si c'est un plus grand en effet ou non ; car comme la même regle donne l'une & l'autre, & fouvent plufieurs ensemble, il est absolument néceffaire de fçavoir fi l'on a trouvé ce que l'on cherche, & lorsqu'il y en a plufieurs, lequel doit être pris par préférence; ce que perfonne que je fçache n'a eu foin de faire. Comme le fujet de ce fecond Livre a été traité par le Marquis de l'Hôpital, & d'autres Ecrivains, je ne pouvois éviter de répéter une partie de ce qu'il a dit dans fes Infinimens Petits, furtout ce qui regarde les cauftiques : je dirai plus, je conviens que j'ai pris de lui ce que je ne pouvois pas mieux traiter. Je parle dans le troifieme Livre des Fluentes: d'abord je commence par pofer des regles fur ce qu'il y a de plus aife, & après avoir donné quelques exemples, afin de les mieux comprendre, je donne enfuite une formule générale des fluentes qui peuvent être exprimées en un nombre fini de termes, ou de celles qui dépendent de la quadrature des Sections Coniques: cela m'a |