D'où l'on voit que fi toutes les quantités d'une équation étoient divifées par une même grandeur, il n'y auroit qu'à effacer cette grandeur, & l'équation feroit fans fractions. 3. On peut auffi faire en forte par la multiplication, qu'une des grandeurs connues, laquelle on voudra, devienne un quarré ou une puiffance parfaite, en multipliant chaque membre de l'équation par cette même grandeur, ou par fa racine; par exemple, dans cette équation axx + abc — c3, on peut rendre la grandeur & quarrée en multipliant chaque membre par c, & l'on aura acxx + abcx=c+. On faire en forte dans quelques peut auffi par ce moyen équations, où la plus haute puiffance de l'inconnue eft multipliée par quelque grandeur connue, que cette grandeur devienne quarrée ou une puiffance parfaite. Par exemple, fi l'on a l'équation axx+abx = bbc, on rendra quarrée la grandeur axx, en multipliant chaque membre par la grandeur connue a, & l'on aurà aaxx+aabx abbc. Enfin on pourroit ôter toutes les grandeurs incommenfurables d'une équation, lorfqu'elle en a, par le moyen de la multiplication; mais cet ufage n'étant que pour les équations composées, il sera mieux placé dans le Livre suivant. Démonftration de tous ces ufages. IL eft évident que dans toutes les operations précedentes, on multiplie les deux membres de l'équation par des grandeurs égales; par confequent ils font encore égaux après la multiplication. 4. I. Ufages de la divifion pour préparer les équations, & pour dégager les inconnues, LORSQUE l'inconnue eft multipliée par une grandeur connue dans une équation, comme dans le premier exemple de la premiere Section, où l'on a trouvé ax bc, on dégagera l'inconnue en divifant chaque membre par cette grandeur connue. 1 Ainfi divifant chaque membre par a, lon aura x = br ce qui donne la réfolution du Problême, où l'on voit que le 4o terme d'une proportion étant inconnu, & les trois premiers étant connus, l'on trouvera le 4e en divifant le produit du fecond & du troifiéme par le premier. -b1 On dégagera de même l'inconnue dans l'équation du fecond exemple bs—as — aa; car par tranfpofition l'on aura aaas-bs ; & divifant chaque membre par a — l'on aura ―s. C'est-à-dire fi l'on divife le quarré du premier terme d'une progreffion geometrique qui va en diminuant, par le premier terme moins le fecond, le quotient fera égal à la fomme de tous les termes infinis de la progres fion. 2. Lorfque toutes les quantités d'une équation font multipliées par une même lettre ou par une même grandeur, on rendra l'équation plus fimple, en divifant toutes les quantités qui la compofent par cette grandeur commune. Par exemple, fi l'on a l'équation axx- bcx, en divifant toutes les quantités par x, l'on aura l'équation plus fimple ax-ab=bc. abx 3. Lorfque les deux membres d'une équation ont un divifeur commun, on la reduira à une équation plus fimple, en divifant chaque membre par leur commun diviseur. Par exemple, les deux membres de axx ― aax = abx -aab, ont le divifeur commun ax — aa; en divifant chacun par ax-aa, l'on aura l'équation fimple x=6, où l'inconnue eft entierement dégagée. Demonftration de tous ces ufages. IL eft évident que dans toutes les operations précedentes, on divife les deux membres égaux d'une équation par des grandeurs égales; par confequent ils font encore égaux après la divifion. Ufages de l'extraction des racines pour préparer les équations, & pour dégager les inconnues. 5. I. LORSQUE le fecond membre d'une équation ne contient que des grandeurs connues, & que le premier membre où eft l'inconnue contient une puiffance parfaite, il faut extraire la racine de ces deux membres, & l'on aura une équation plus fimple. L'on a par exemple l'équation xx=aa, il faut extraire la racine quarrée de chaque membre, & l'on aura x = a. De la même maniere en tirant la racine cubique de chaque membre de l'équation x' aab, l'on aura xaab. Le Le premier membre de l'équation xx― 2ax+aa➡bc, eft un quarré parfait, ainfi en tirant la racine quarrée de chaque membre, on aura l'équation fimplex-=√bc, & par tranfpofition x= x= a+ √bc. Le premier membre de l'équation x-zaxx+zaax — a =abc, eft un cube parfait, ainfi en tirant la racine cubique de chaque membre, l'on aura l'équation fimplex—a—Vabc, & par tranfpofition xa+yabc. 2. Il y a plufieurs équations dont le premier membre de viendroit une puiffance parfaite, fi on lui ajoutoit une grandeur connue par exemple, fi l'on ajoutoit+aa au premier membre de l'équation xx-2ax= bc, le premier membre feroit le quarré xx — 2ax+aa; dans ce cas il faut ajouter à chaque membre la grandeur connue qui rend le premier membre une puiffance parfaite, & l'on aura xx-2ax✈aa = aa + bc; il faut enfuite tirer la racine de chaque membre, & l'on aura x-a-Vaa+ a=√aa+bc, qui eft une équation fimple, où l'on aura par tranfpofition x=a+Vaa+bc. De la même maniere fi l'on retranche & de chaque membre de l'équation x3—36xx+3bbx—c, l'on aura l'équation x-36xx+3bbx — b'-c'—b', dont le premier membre est un cube parfait, ainsi en tirant la racine cubique de chaque membre, on aura l'équation fimplex-bc-b3, & par tranfpofition_x=b+√√c—b3. Le second usage de l'extraction des racines fert à réduire à des équations fimples, toutes les équations où l'inconnue eft élevée au quarré dans une des grandeurs de l'équation, & lineaire dans quelqu'autre grandeur, comme l'équation -ax=ab. xx Ces équations font nommées du fecond degré, & l'on y diftingue trois termes : le premier eft xx, c'est-à-dire le quarré de l'inconnue, le second eft celui où l'inconnue eft lineaire,, comme-ax; le troifiéme & dernier terme eft celui qui ne contient que des grandeurs connues, comme ab. La méthode de réduire toutes les équations du fecond degré à des équations fimples: ce qui en donne la réfolution. 6. POUR réduire les équations du fecond degré à des équations fimples, 1o, il faut faire paffer les grandeurs touTome I, B tes connues dans le fecond membre. 20. Il faut prendre la moitié de la grandeur connue qui multiplie l'inconnue li neaire dans le second terme, 3°. Ajouter le quarrè de cette moitié à chaque membre de l'équation, & le premier membre deviendra un quarré parfait. 4o. Il faut tirer la racine quarrée de chaque membre, & l'on aura une équation fimple. Exemple. Il faut réduire l'équation xx―ax―ab―o à une équation fimple. 10. Je fais paffer la grandeur connue - ab dans le fecond membre, & je trouve xx-ax―ab. 20. Je prensa, qui eft la moitié de la grandeur connuè a du fecond terme. 30. J'ajoute aa, qui eft le quarré de cette moitié, à chaque membre, & je trouve xx―ax+1⁄4aa = 4 aa +ab, dont le premier membre eft un quarré parfait, qui a pour fa racine x-a. 4°. Je tire la racine quarrée de chaque membre, & je trouve l'équation fimple x - // a = Vaa+ab, & par transposition x = { a + √ aa {a+√¦au+ab. Troifiéme ufage de l'extraction des racines. L'ON 7. N trouve dans la réfolution de quelques Problêmes deux équations, qui étant jointes enfemble, ou retranchées l'une de l'autre, font trouver une équation dont le premier membre où eft l'inconnue, eft une puissance parfaite, ou bien ces équations étant élevées au quarré, au cube, &c. & enfuite jointes ensemble ou retranchées l'une de l'autre, l'on trouve une équation dont le premier membre où eft l'inconnue, eft une puiffance parfaite: dans ce cas il faut extraire la racine de chaque membre de la derniere équation que l'on a trouvée, & l'on aura une équation plus fimple. Exemple I. Si l'on a les deux équations x3 +3a*x—b3, & zaxx+a3 === c3. Les ajoutant l'une à l'autre, l'on aura x3+3axx +zaax +a' = b'+c', dont le premier membre eft le cube de x+a, il faut extraire la racine cubique de chaque membre, & l'on aura l'équation fimplex+a= = b+c, & par transposition ·a+ýb+c3. 8. Exemple II. L'on a les deux équations xxyyl, & x2 + 3xyy = q. Si l'on éleve la premiere à la troifiéme puiffance, & la feconde au quarré, l'on aura x6—3x*yy+3xxy*—y°==7P3‚ & x2+6xˆyy+9xxy* = 499. + Retranchant le premier membre de la premiere du premier membre de la feconde, & le second membre de la premiere du second membre de la feconde, l'on trouve 9x yy +6xxy* + y = — qq-p3, dont le premier membre eft le quarré de 3xxy+y'. C'eft pourquoi tirant la racine quarrée de chaque membre, l'on trouve 3xxy+ y2 = √ 4 qq — — 7P3· Enfin ajoutant cette équation à l'équation x+3xyy l'on trouve + 3xxy + 3xyy +y3 /q + √ ÷ qq q + V — qq — 27 P3r dont le premier membre eft le cube de x+y. C'est pourquoi tirant la racine cubique de chaque membre, l'on trouve l'équation fimple x+y=√ {q+v=qq—2,P3. Démonftration de tous ces ufages. L LEs racines quarrées, ou cubiques, ou quatrièmes, &c. de grandeurs égales, font égales: or il eft évident que dans toutes les operations précedentes, on tire des racines quarrées, ou cubiques, &c. de grandeurs égales, les grandeurs que l'on trouve font donc encore égales, & elles font une équation, mais elle eft plus fimple. AVERTISSEMENT. LES operations précedentes fuffifent pour dégager l'ínconnue des équations fimples, lorfqu'il n'y en a qu'une feule, mais l'on a encore befoin des substitutions, lorsqu'on trouve plufieurs équations fimples dans la réfolution d'un Problême, qui contiennent plufieurs inconnues. DES SUBSTITUTION S. LORSQU'IL n'y a qu'une inconnue dans le premier membre d'une équation, les quantités dont le fecond membre eft compofé, font la valeur de cette inconnue. x. Dans l'équation x=a+b,a+b eft la valeur de |