Les lettres n, p, q, &c. marquent d'une maniere generale les coëficiens avec leurs fignes; c'est-à-dire, quoique ces lettres n, p, q, &c. ayent les fignes+, il faut fuppofer que ces fignes marquent ceux des termes des équations qu'expriment ces formules; & quand ils marquent des moins, il faut changer les fignes dans les formules qu'on trouvera dans les réfolutions devant ces lettres, aux degrez impairs; par exemple, fin marque un coëficient négatif, on marquera dans les formules des réfolutions le figne-devant n, n', &c. Lorsqu'il manquera quelques termes dans les équations querepréfentent les formules, on fuppofera les mêmes termes des formules égaux à zero. 20. Il faut fuppofer les deux équations plus fimples qu'on cherche, exprimées d'une maniere indéterminée, c'est-àdire, de maniere que chacune ait la même inconnue x que la propofée, & que les coëficiens de leurs termes foient marquez par des lettres indéterminées; on prendra pour ces lettres indéterminées, les lettres f, g, h,i, k, l, m, laiffant les lettres a, b, c, d, e, pour marquer les grandeurs connues & déterminées, les lettres v, x, y, z, pour marquer les inconnues; & les lettres n, p, q, r, s, t, pour marquer les coeficiens des formules d'une maniere generale. = Ainfi pour le quatrième degré, on supposera que les équations du fecond degré qu'on cherche, font xx+fx+g; & xx+hx+i=0; pour le cinquième degré; xx + fx + g = 0, & x3+ hxx + ix + k =0; pour le fixième degré, xx+fx+8=0,' & x* + bx3 + ixx + kx + 1 =0; ou g bien lorfque l'on cherche pour le fixième degré deux équations chacune du troifiéme degré, on fuppofera x'+fxx +gx+b=ọ, & x2+ ixx+ kx+1=0. Mais parceque dans ce Problême on fuppofe que le fecond terme manque dans une des deux équations plus fimples, on fuppofera dans le quatrième degré xx+ fx + g = 0, & xx+i=0; pour le cinquième degré, xx+fx+8=0, & x2+ix+k=o; pour le fixieme, xx+fx+go, & x*+ixx4kx + 1o; ou bien x2+gx+b=o, & x2+ixx +kx + 10. kx+1= = Si c'étoit quelqu'autre terme qui manquât dans l'une ou Fautre des deux équations plus fimples de chaque degré, on Tome I. S fuppoferoit dans les équations indéterminées qu'on vient de former, que ces termes font évanouis. 3°. Il faut multiplier les deux équations indéterminées qui font pour chaque degré, l'une par l'autre, & leur produit fera une équation indéterminée du même degré que la propofée. On fuppofera chaque terme de cette équation indéterminée (excepté le premier) égal à celui qui lui répond dans la formule, c'eft-à-dire, le fecond terme de l'indéterminée égal au fecond terme de la propofée, le troifiéme égal au troisième, &c. ce qui donnera autant d'équations particujeres qu'on a fuppofé de lettres indéterminées. 4°. On regardera toutes ces équations particulieres comme les équations du Problême, qu'il faut réduire à une seule, dont l'inconnue foit la lettre indéterminée de celle des deux équations indéterminées plus fimples, qui n'a que les feuls premier & dernier termes, ou dont l'inconnue foit la lettre indéterminée qui marque le coeficient du fecond terme de la plus fimple des deux équations indéterminées, ou file second terme en eft évanoui, la lettre indéterminée qui marque le coëficient du troifiéme terme de la même équation, c'està-dire, on dégagera toutes les déterminées comme étant des inconnues, obfervant de ne pas dégager l'indéterminée, qui doit fervir d'inconnue à l'équation du Problême. Cette équation qui a pour inconnue une des lettres indéterminées des équations indéterminées, s'appelle la Réduite. 5o. On cherchera la valeur commenfurable de l'indéterminée de la réduite par la méthode generale, ou lorsque la réduire n'eft que du fecond degré, par la méthode qu'on a donnée pour le fecond degré. Ou bien on trouvera une feconde réduite qui ait pour inconnue la même indéterminée, & on cherchera le diviseur commun des deux réduites, & enfuite la valeur de l'incon nue du divifeur commun. La valeur de l'indéterminée de la réduite étant connue, en la substituant dans les équations particulieres, on déterminera tous les coëficiens indéterminez, & par confequent on aura les deux équations qu'on cherche. Ou bien on fubftituera la valeur de l'indéterminée de la réduite dans la plus fimple des deux équations indétermi nées qu'on a fuppofees, & l'on aura après les substitutions, les formules qui marquent une des équations plus fimples, par lesquelles la propofée peut fe diviser exactement, fi elle n'eft pas irréductible, ou bien on aura les formules des deux équations plus fimples, fi on a fait toutes les substitutions. On s'en fervira enfuite pour réduire une équation composée aux plus fimples dont elle eft compofée. Tout ceci s'éclaircira par les applications qu'on en va faire aux équations du quatrième, cinquième & fixième degré. Application de la méthode aux équations du quatrième degré. POUR trouver les équations commenfurables du feconddegré, par lefquelles une équation réductible du quatrième degré peut fe divifer fans refte, dans les cas où le fecond terme manque dans l'une des deux équations du fecond degré qui en font les divifeurs.: 10. On fuppofera la formule du quatrième degré x*+Nx3 +pxx+qx+r=0. 2o. On fuppofera les deux équations indéterminées du fecond degré xx+fx+8=0, xx+io, dans lesquelles f,S i, font des indéterminées, & le second terme est évanoui dans la feconde xx+io. 3°. On prendra le produit de ces deux équations du fecond degré, & l'on aura l'équation indéterminée du quatrième degré x*+fx2+gxx+fix+gi=0. Fixx On comparera les termes de cette équation (excepté le premier) avec ceux de la formule, qui leur répondent; c'està-dire, on les fuppofera égaux, ce qui donnera ces quatre équations, r, f= n; 22, g + i = p ; 3°, fi = q ; 4o, gi =r. 4°. On regardera ces quatre équations particulieres comme les équations du Problême; les indéterminées f, g, i, feront confiderées comme des inconnues qu'il faut dégager, & il faut réduire ces équations à une feule équation qui ait pour inconnue l'indéterminée i de l'équation xx+i=0. La premiere équation ƒn, détermine déja la valeur de f; & la fubftituant dans la troifiéme fi=q, l'on aura niq; & divifant chaque membre par n, l'on aura i 1. Cette égalité rendant i déterminée, l'équation indéterminée xx+ i = o, devient déterminée, & l'on a xx+1 o, pour l'une des deux équations du second degré, par lefquelles une équation du quatrième degré peut le divifer exactement, lorfqu'elle eft le produit de deux équations du fecond degré, dans l'une defquelles le fecond terme eft évanoui. On peut déterminer l'autre équation indéterminée xx+fx +go, en substituant la valeur de i, qui eft 2, dans la feconde équation g+ip, ou dans la quatrième gi=r; car la feconde donnera, après la fubftitution, g=1-1, & la quatrième g; ainfi l'équation indéterminée xx +fx+8=0,se changera en l'equation déterminée xx+nx +2=0, ou bien en xx+2x+"=0. +P On peut encore trouver une autre équation pour déter miner la lettre indéterminée i ; car en prenant les valeurs de g dans la feconde & dans la quatrième équation particuliere g + i=p, & gi = gi=r, =r, l'on aura g=p-i,g = ÷ par confequent pi; & multipliant par i, l'on aura l'équation du fecond degré ii-piro, qui est celle qu'on a nommée la réduite; & la refolvant, on trouvera i = { p ± √ pp —r. Application des formules qu'on vient de trouver, à une équation particuliere du quatrieme degré. SOIT l'équation du quatrième degré x*+ zax2+abxx aaxx — 3a3x — a3b — o. Il s'agit de trouver fi elle n'eft point réductible en deux équations du fecond degré, dans l'une def quelles le fecond terme foit évanoui. 1o. Afin que la formule du quatrième degré x2+nx3 + pxx +qx+r=o, repréfente cette équation, il faut fuppofer +n=+za; +p—ab—aa; +q=— • 3a′; + r — — a3b. 2o. Il faut mettre dans la formule xx+? =0. la gran. deur représentée par +2, qui eft 3a3 divifée par +3a= -aa; & l'on aura au lieu de xx+ 9 o, l'équation xx aa = 0. - · n = 3°. Il faut divifer la propofée par xx-aa =0, & l'on trouve que la divifion fe fait fans refte, & que le quotient exact est xx+3 ax + ab=0. Ainfi la propofée n'eft pas du quatrième degré, mais elle se réduit aux deux équations du fecond degré xx-aa―0, xx+zax+ab =0. On trouveroit auffi l'équation xx + 3ax + ab →→o, en mettant dans la formule xx+nx+p—2—0, les grandeurs représentées par n, p,/. Application de la méthode du troifiéme Problème aux équations du cinquième degré. POUR trouver les équations commenfurables du fecond & du troifiéme degré, par lefquelles une équation réductible du cinquième degré peut fe divifer fans refte, fuppofé que le fecond terme manque dans l'équation du fecond degré. 1o. Après avoir fuppofé la formule du cinquième degré x2+nx*+px3+qxx+rx+s=0, on supposera 2°. les deux équations indéterminées xx+g=0,x3+hxx+ix+k=0; dans lesquelles g, h, i, k, font indéterminées, & le fecond terme eft évanoui dans xx+8=0. 30. On en prendra le produit x'+hx" + ix3 + kxx + gix +gx3 + ghxx +gk 0; & comparant les termes de cette équation avec ceux de la formule, on aura les cinq équations particulieres qui fuivent. 1o, b=n; 2o, i+g=p; 3o, k+gh=q; 4o, gi=r; 5o, gk =S. la 4o. Regardant ces équations comme celles du Problême, on les réduira à une feule, qui n'aura pour inconnue que lettre indéterminée g. On trouve d'abord que l'indéterminée h est égale à n; & prenant dans la feconde & la quatrième la valeur de i, & comparant ces valeurs de i, l'on trouve la réduite qu'on cherche, i=p-g=}; donc 88-pg+r=0. Réfolvant cette réduite, on trouve g=p√pp — r ;. par consequent xx+go, fe change en xx+1p±√4pp —r O. ng = ; donc ngg― 9g+s= On peut trouver une autre réduite en comparant les va leurs de k prifes dans la troifiéme & la cinquième équation; car l'on aura k=q ou bien gg-g + ÷ = 0; & réfolvant cette équation, on trouve g=1+1-3 par confequent xx+g=0, 212 4111 |