Pour le quatrième degré. ON trouvera par une femblable operation ces deux for. mules + 4x2+ 3nxx+2px+q=0, &— 3x*— 2nx3 —pxx +r=0. Pour le cinquième degré. On trouvera 5x+4nx'+ 3pxx+2qx+r=0, &—4x3 — 3nx* — 2px3· qxx+s=0.. Pour le fixième degré.. ON trouvera ces deux formules 6x'+ 5nx*+4px'+ 39xx ++ 2rx +5=0, & & — 5xε — 4nx3 — 3px * — 2qx? -Txx Application de la méthode aux équations qui ont trois racines égales. Pour le troifiéme degré. 3fxx IL faut divifer x2 + nxx+px+q=0, par x2 +3ƒƒx — ƒ3 = o, & le reste + nxx +px +q=0,. 3fxx· ·3ffx+f contenant xx, qui eft moins élevée d'un degré que x3 dans le divifeur, on fuppofera chacun des termes de ce refte égal à. zero, & l'on y fubftituera x à la place de f; ce qui donnera les trois formules fuivantes 3x+20, Pour le quatrième degré. 3xx + p On trouvera par une semblable operation en divisant x* +nx2, &c. par x3 3fxx, &c. le reste + 6ffxx + 3nfxx+pxx 8fx-3nffx+qx + 3ƒ* + nƒ3 +ro; on fuppofera chaque terme égal à zero; & après avoir fubftitué x=ƒà la place de f, on aura les trois formules fuivantes, + 6xx+ 3nx + p = 0 3nxx + q = 0, + 3x2 ✈nx2+r=0.. 8x' Pour le cinquième degré. EN divifant x+nx*, &c. par x3-3fxx, &c. on trouvera le refte 1 of3xx +6nff.xx +3pfxx +qxx. Tome I -15ƒ*x + 6ƒ3 + rx Z dont on fuppofera chaque terme égal à zero, & on substi 15x*— 8Nx3 3pxx + r=0 +s=0 Pour le fixième degré. 3 EN divifant xnx', &c par x3— 3fxx, &c. on trouvera le refte+15f*xx 24f'x+10f +10nfxx . +6pffxx ·Spf3x + 3pf* +rxx ・3qffxqf3 + 5x +t on fuppofera chaque terme de ce refte égal à zero; & après avoir substitué x =ƒ, à la place de f, dans les trois équations qui en viendront, on aura les trois formules fuivantes, 15x* + 10nx2 + 6pxx+3qx +r=0. ON 24x3 15nx*-8px' trouvera par de femblables operations, en divifant les formules generales x*+nx3, &c. x2+nx*, &c. x2+nx3, &c. par x*—4fx3+6ffxx — 4ƒ3x + f*: les formules pour 0, trouver les quatre racines égales des équations du 4o, 5o, & 6 degré, & ainfi de fuite. On pourroit trouver les mêmes formules, fi on élevoit l'équation qui repréfente les racines égales au degré de la propofée, en la multipliant par une autre équation indéterminée, & comparant enfuite les termes de ce produit avec ceux de la formule generale du même degré. Remarque fur les formules qui doivent fervir à trouver 73. LEs deux formules qu'on a trouvées dans chaque degré pour découvrir les racines égales, lorfqu'il y en a deux dans une équation, ne font chacune que l'équation même dont les termes font multipliez de fuite par les termes d'une progreffion arithmetique, qui va en diminuant, le premier terme de l'équation par le premier de la progreffion, le fecond par le fecond, & ainfi de fuite. Le premier terme de la progreffion arithmetique, qui fait trouver la premiere formule dans chaque degré, est toujours égal à l'expofant de la puiffance de l'inconnue dans le premier terme, dans le fecond degré, où l'expofant de la puiffance xx dans le premier terme elt 2, le premier terme de la progreffion arithmetique eft 2; dans le 3 degré, c'est 3 ; dans le 4, c'eft 4; & ainfi de fuite: d'où l'on voit que chaque terme de la progreffion arithmetique, qui fait trouver la premiere formule, eft égal à l'expofant de la puiffance de Î'inconnue x, dans le terme de l'équation qu'il doit multiplier, & que zero fe trouve fous le dernier terme. Ainfi dans le fecond degré, la progreffion arithmetique pour trouver la premiere formule, eft 2, 1, 0; dans le 3 degré, 3, 2, 1, 0; dans le 4 degré, 4, 3, 2, 1, 0, & ainfi de fuite. La progrellion arithmetique qui fait trouver la feconde formule, eft dans le fecond degré I, 0, + 1; dans le je degré, — 2, — 1, 0, + 1 ; dans le 4°, -3, -2, -1, 0, +1'; dans le 5,-4, -3, -2, — 1,0, +1; dans le 6o, s, ·4, -3, -2, — I, 0, +I. - 3° Les trois formules qu'on a trouvées pour découvrir les racines égales des équations, lorfqu'il y en a trois, sont auffi les termes de l'équation même de chaque degré, multipliez de fuite par les termes du produit de deux progreffions arithmetiques. Pour la premiere formule du 3 degré, les deux progreffions font 3, 2, 1, 2, 1, 0, Leur produit eft 6, 2, Leur produit est 32, 0, O. I. O. ~1, 0, + I, + 2. - 3, 0, + I, O. Pour la troifiéme formule du 3° degré, les deux progressions arithmetiques font Leur produit eft 2. O, +2. Divifant chaque terme par 2, l'on a 1, 0, 0, 1. Pour la premiere formule du 4° degré, les deux progre fions arithmetiques font 4, 3, 2, 1, 0. Leur produit est 3, 2, 1, 0, - I. 12, 6, 2, 0, 0, Divifant chaque terme par 2, l'on a 6, 3, 1, 0, 0. Pour la feconde formule du 4e degré, les deux progreffions font Leur produit eft 4, 3, 2, I, 0. 2, 1, 0, +1, + 2. 6, 2, 0, .L. 2. 0, +2. Divifant chaque terme par 2, l'on a 3, 1, 0, 0, 1. Pour la premiere formule du se degré, les deux progref fions font Leur produit eft ·5, 4, 3, 2, 1 0. Le 4, 3, 2, I, O., - L 20, 12, 6, 2, 0, Divifant chaque terme par 2, l'on a 10, 6, 3, '1, 0, 0. Pour la feconde formule du se degré, les deux progresfions font Leur produit est Leur produit eft Pour la troifiéme formule du 6o degré, les deux progref fions font 20, 12, 6, 2, 0, 0, +2. Leur produit est S'il y avoit quatre racines égales, on trouveroit quatre formules pour les découvrir dans chaque degré, dont chacune feroit le produit des termes de l'équation proposée, par les termes du produit de trois progreffions arithmetiques. S'il y avoit cinq racines égales, on trouveroit cinq for mules pour les découvrir dans chaque degré ; chacune de ces formules feroit le produit des termes de l'équation, par les termes du produit de quatre progreffions arithmetiques; & ainfi de fuite. Il eft facile de les trouver par la méthode. Application de la méthode à des exemples, c'est-à-dire, aux équations particulieres qui ont plufieurs racines égales. EXEMPLE I. 3 L'EQUATION + 3xx — 9x+5=0, a deux racines égales; pour les trouver, il n'y a qu'à fubftituer dans les deux formules du troifiéme degré, 3xx+2nx+p=0, nxx+q=o, les valeurs de n, p, q; ou bien, ce qui est plus court, il n'y a qu'à multiplier les termes de la propofée, par les termes de la progreffion arithmetique, 3, 2, 1, 0; ou bien, ce qui eft la même chofe, multiplier chaque terme de la propofée par le nombre qui eft l'expofant du degré où l'inconnue x eft élevée dans ce terme, & le dernier terme où x n'eft point par zero; & l'on aura 3×3+ 6xx -9x=0, qui fe réduit à 3xx + 6x 90, qui peut encore être divifée par 3, & l'on aura xx+2x-3=0. Il faut enfuite multiplier les termes de la proposée par les termes de la progreffion arithmetique -2, -1, 0, +I; & l'on aura 2x3 -3xx+5=0. Pour trouver enfuite la racine égale de la propofée, il n'y a qu'à chercher le plus grand divifeur commun de deux de ces trois équations; fçavoir la proposée x' + 3xx —9❀ +5=0, & les deux autres qu'on vient de former; xx + 2.6 -3=0, 2x3-3xx+5=o; l'on trouvera que x |