Troisièmes équations abregées. 2y — 2x+b=c. 2x+2y=a+d. 4o. On prendra la valeur d'une inconnue de ces troifiémes équations, comme de y, & l'on trouvera 2y=2x-b +c. On écrira cette équation dans l'ordre des équations mises à part, & l'on fubftituera la valeur de 2y dans l'équation 2x+2y=a+d, & l'on trouvera 4x=a+b-c+d. Comme l'on eft arrivé à une équation qui ne contient qu'une feule inconnue x, on la dégagera, & l'on trouvera x= a+b=c+d 4 On fubftituera la valeur connue de x dans l'équation mise à part 2y=2x-b+c, qui n'a d'inconnues que y & x, & l'on trouvera 2y= a+b=c+d b+c= a=b+c+d, & en divifant chaque membre de 2y= 2y = a―b+c+d par 2, l'on aura y= a−b+c+d 2 2 On fubftituera cette valeur de y dans l'équation mise à part 22=2y=a+b, & après avoir abregé l'équation qui en viendra, & dégagé l'inconnue z, on trouvera za+b+c+d Enfin on substituera les valeurs connues de x, y, z, dans l'équation mife à part v=-x-y+a, & après avoir abregé l'équation qui en viendra, & dégagé l'inconnue v, on trouvera v=a+b+c= d. 4 Le Problême eft entierement réfolu, & l'on a toutes les valeurs connues des grandeurs inconnues, x = 4+b=c+d, y = a = b + c + d z == a+b+c+d. q = a+b+c=d = Application de la feconde méthode au mème exemple. 4 x+y+z=v+d. 1o. On prendra dans les premieres équations toutes les valeurs d'une même inconnue, comme de v, & l'on en mettra une à part. Ces valeurs font, v=z—x−y+a. v=y-x-2+b. v=x-y -2+c. v=x+y+z—d. -༢.+¢. 2o. On comparera ces valeurs égales les unes avec les autres, & l'on aura les fecondes équations. Tome I. C Secondes équations abregées. 22—2y=b— a. 22-2x=c-a. 2x+2y=a+d. Les autres équations qu'on pourroit faire des quatre valeurs de v, font inutiles, ces trois équations contenant toutes les inconnues du Problême excepté v, & toutes les connues. 3o. L'on prendra dans les fecondes équations toutes les valeurs d'une même inconnue comme de z, & l'on aura, ༢., 22=2x+C- -a. 22=2y+b— a. On en écrira une dans l'ordre des équations mifes à part, on comparera ces valeurs les unes avec les autres, & on aura les troifiémes équations en y ajoutant l'équation 2x + 2y =a+d, dans laquelle z ne fe trouve point. Troifiémes équations abregées. 2x-2y=b—c. 2x+2y=a+d. 4o. On dégagera l'inconnue x dans ces troifiémes équations, & l'on aura 2x=2y+b—c. 2x= 2y+a+d. On en écrira une dans l'ordre des équations mises à part, & on fera une équation de ces deux valeurs de 2x, & l'on aura l'équation 4y=a—b+c+d, où il n'y a que la feule inconnue y, en divifant chaque membre par 4, y = a=b+c+d l'on aura Enfin on fubftituera la valeur de y dans les équations mifes à part, & l'on trouvera la valeur de x, & avec ces deux valeurs, celle de ; & enfin celle de ༢; & enfin celle de v, qui font, x a+b=c+d. Z== a+b+c+d 4 ข= a+b+c=d. Application de la troifiéme méthode au même exemple. v+x+y=z+a. v+x+z=y+b. v+y+2=x+C, x+y+2=v+d.. Valeurs de v. ༧=༢-✖=/r@, Somme 4v=a+b+c — d. abregée, Divifant par 4, v=a+b+4. Divifant par 4, x = Valeurs de y. y=2-v— x + a. y=x-v—2+C. y=v− x −2+d. Somme 4y=a—b+c+d. abregée. Valeurs de z a+b=c+d a−b+c+d ̧ Divisant par 4, y=a-b+c+d. Divifant par 4, z=a+b+c+d AVERTISSEMENT. COMMI Démonftration de ces trois méthodes. IL eft évident que dans toutes les operations de ces métho des, l'égalité fe conferve toujours entre les deux membres des équations qu'elles font trouver, & que les inconnues se dégagent les unes après les autres, par confequent il y a égalité entre les membres des dernieres équations où conduisent ces méthodes; ainfi les dernieres équations donnent les valeurs toutes connues de toutes les inconnues du Problême. REMARQUE. 10. 1. LORSQU'ON ne peut pas dégager toutes les inconnues, ce qui arrive lorfqu'on n'a pas pû former autant d'équations qu'on a été obligé de prendre d'inconnues, le Problême eft indéterminé, & il peut avoir differentes réfolutions; car en mettant des grandeurs arbitraires à la place des inconnues qu'on n'a pas pû dégager, on aura differentes réfolutions il arrive neanmoins quelquefois que les grandeurs arbitraires doivent être entre certaines limites, autrement on trouveroit des réfolutions négatives, ou même impoffi bles; les équations où se trouvent les inconnues à la place. : defquelles on peut mettre des grandeurs arbitraires, feront connoître ces limites. Par exemple, fi en réfolvant un Problême, on ne peut trouver d'autre équation que celle-ci,y=, ce Problême eft indéterminé, & en mettant differentes grandeurs arbitraires à la place de x, on aura differentes réfolutions. Cependant il est évident que pour avoir des valeurs pofitives il faut que chaque grandeur arbitraire qu'on mettra à la place de x, foit plus grande que b. ́de y, II. 2. Lorfqu'au contraire on a plus d'équations que d'inconnues, après avoir trouvé les valeurs toutes connues de toutes les inconnues, il faut qu'en mettant ces valeurs dans les équations qui reftent, on ne trouve pas d'impoffibilité, c'est à-dire qu'on ne trouve pas dans les deux membres de ces équations des grandeurs toutes connues inégales entr'elles: car ce feroit une marque que l'on a fuppofé quelque impoffibilité dans les raports du Problême qui ont fourni ces equations; comme fi dans l'exemple auquel on a appliqué les méthodes, l'on avoit encore eu cette équation de plus que celles qui y font, x+y=e. L'on auroit trouvé en fubftituant dans cette équation, les valeurs toutes connues de x & de y, l'égalité ade; & fi la grandeur e n'étoit pas égale à 4, on auroit fuppofé dans le Problême une chose impoffible. Exemples où l'on réfout plufieurs Problèmes fimples ou du 1er degré. I. LA fomme a de deux grandeurs inconnues x & y, dont x eft la plus grande, étant connue avec leur différence d, trouver chacune de ces grandeurs. Par la fuppofition x+y=a, &x-y=d; donc x=a —y, & x=d+y; donc a-y=d+y, & par tranfpofition 2ya-d, & en divifant chaque membre par 2, l'on aura y = 4d; fubftituant cette valeur dans laquelle on voudra des équations précedentes comme dans xa—y, l'on trouvera x = and L'on a donc trouvé que la moitié de la-fomme de deux grandeurs avec la moitié de leur difference, est égale à la plus grande, & la moitié de la fomme moins la moitié de la difference, eft égale à la moindre. Ce qu'il faut bien retenir. I I. On propofe de trouver trois grandeurs inconnues x,y,z qui foient telles qu'en ajoutant une grandeur connue a à là premiere x, elle foit égale aux deux autres, en ajoutant la même grandeur a à la feconde y, elle foit égale au produit des deux autres x + par un nombre connu b; enfin en ajoutant a à la troifiéme z, elle foit égale au produit des deux autres par un autre nombre connu c. Par la fuppofition Equations mifes à part. x+a=y+ 2. y+a=bx+bz. z+a=cx+cy. x=y+z—a. -2bz+ab+a y = Donc x y + z—a. x={−x+1. x=3−y+1, en comparant la premiere de ces valeurs de l'inconnue x avec les deux autres, l'on aura, Secondes équations abregées. b ༣ -༢ ➡cz+z+ac+a 20 abc+3ac-ab+a 22 +6y==ab+a. 2y + c3 = 3 — ac+^; en dégageant y 2༢+6-༡ dans l'une & dans l'autre, on aura y2bz+ab+a. y= Comparant ces deux valeurs de y, on trouvera baba ++, où dégageant z, l'on trouvera z=36c++-T? mettant cette valeur de ༢ dans y=263+4+4, l'on trouve après avoir abregé y = 36c + b + c = 1 ? a b c +3 ab―ac + a fubftituant les valeurs 20 ༢ connues de z & de y dans xy+a, l'on trouve après avoir abregé x= — ahe+ab + ac + za Si l'on fuppofe a=10, b = 2, c=3, y=41/1.2=64. I I I. Deux nombres qu'on exprimera generalement par a & b, étant donnés, trouver un troifiéme nombre inconnu x, par lequel les deux a & b étant divifés, fi l'on ajoute à chaque quotient,, un nombre donné c, les fommes +c, 1/2 + c, foient entr'elles comme deux nombres donnés m & n, l'on fuppofe a moindre que b, & m moindre que n. an x Par la fuppofition + c. + c :: m. n; ce qui donne cette équation cn= +cm; multipliant toutes les quantités par x, l'on aura an+cnx=bm+cmx, & dégageant x, l'on aura x= bm-an cn-cm' Si l'on fuppofe a=12, b=36,c=8,m=3, n aura x=3. n=5, l'on |