d'une équation compofée d'un degré plus élevé, cette équation d'un moindre degré eft une de celles dont la compofée a été formée par la multiplication.

DEMONSTRATION.

la

IL L eft évident que lorfqu'un produit a été formé par multiplication de plufieurs grandeurs, chacune de ces gran. deurs en est un divifeur exact:& lorfqu'une grandeur eft un diviseur exact d'un produit, cette grandeur eft une de celles dont la multiplication a formé ce produit; ainfi le Corollaire est évident.

II.

THEOREM E. EORE 27. QUAND la plus haute puiffance de l'inconnue eft multipliée dans le premier terme d'une équation composée, par une grandeur connue differente de l'unité, on peut bien concevoir cette équation comme formée par le produit d'autant d'équations fimples, qu'elle a de degrez; mais, 1°. ou bien l'inconnue du premier terme eft multipliée par une grandeur connue dans chacune des équations fimples; 2°. ou bien elle l'eft dans quelques-unes, & non dans toutes; 3°. ou bien elle l'eft dans une feule.

DEMONSTRATION.

CAR en fuppofant, 10. ces équations fimples ax-d=o, bx—e—=0, cx—fo, & les multipliant les unes par les autres, l'on aura pour le premier cas l'équation compofée abcx3-&c. 2°. En fuppofant x-d=o, bx-e=0,cx-d

o, & les multipliant les unes par les autres, on aura pour le fecond cas l'équation compofée bcx3-&c. 3°. En fuppofant x—d=0,x—e=o,cx-d=o, & les multipliant les unes par les autres, on aura l'équation compofée cx3-&c.

On peut auffi concevoir une équation compofée, dont le premier terme a un coëficient different de l'unité, comme le produit d'autant d'équations fimples qu'elle a de degrez, dont toutes les racines font des fractions, ou feulement quelques-unes, ou du moins une feule.

Car en fuppofant, 1°. x-4=0, x——

bien, 2°. x-d=o,x—

-{=0,x—=0; ou =0; ou bien, 3°. x—d o; après avoir fait la multiplica

tion dans chacun de ces trois cas, & enfuite ôté les fractions, on aura une équation compofée, dont le premier terme aura un coeficient different de l'unité.

COROLLAIRE.

28. SI le premier terme d'une équation compofée a un coëficient different de l'unité, les équations d'un moindre degré qu'elle n'eft, par lefquelles elle peut être exactement divifée, auront toutes ou plufieurs, ou du moins quelqu'une, dans leur premier terme, un coëficient different de l'unité ou bien elles auront toutes, ou plufieurs, ou du moins quelqu'une des fractions pour leurs racines.

29.

Du nombre & de la qualité des racines des équations

L

composées.

DEFINITION I I.

ES racines des équations fimples dont une équation compofée eft le produit, s'appellent auffi les racines de l'équation compofée.

Corollaires qu'il faut fe rendre familiers. D'où il fuit, 1°. Qu'une équation compofée a autant de racines, qu'elle a de degrez.

2o. Que les racines d'une équation compofée peuvent être ou toutes réelles, & il y en peut avoir de trois fortes, ou elles feront commenfurables, ou incommenfurables, ou mixtes; ou bien elles feront toutes imaginaires, ou mixtes imaginaires, ou enfin elles feront en partie réelles, & en partie imaginaires. 3°. Que chaque racine étant exprimée par une feule lettre dans chacune des équations fimples, elles peuvent être ou positives, ou négatives, ou en partie pofitives, & en partie négatives.

4°. Que l'on peut, felon les combinaisons differentes des fignes+&- des racines pofitives & négatives, rapporter toutes les équations de chaque degré à un nombre déterminé de formules.

Dans le fecond degré, il n'y en peut avoir que de trois fortes; car, ou, 1°. les deux racines feront pofitives; ou, 2 négatives; ou, 3o. l'une positive, & l'autre négative.

Dans le troifiéme degré, il n'y en peut avoir que de quatre fortes; car ou bien, 1o. les trois racines feront pofitives; ou, 2o. négatives; ou, 3°. deux pofitives, & une négative; ou, 4°. deux négatives, & une pofitive.

En general, dans chaque degré il peut y avoir autant de formules, & une de plus, qu'il y a de racines dans les équa tions de ce degré, fçavoir cinq formules dans le quatrième degré, fix formules dans le cinquième, fept formules dans le fixième, &c.

En voici la démonstration pour le fixième degré, qui fervira pour tous les autres.

RACINES. 1o, 2o, 3o, 4o, 5o, 6o.

Il faut voir dans la Table toutes les formules differentes de chaque degré, jufqu'au quatrième degré. Il faut les former foimeme, & fe les rendre familieres, pour bien concevoir ce qui fuit, & on peut continuer la Table tant qu'on voudra.

Troisième.

+bxx+acx

+cxx+bcx.

Quatrième.

Pour

*-α=0. X*—b=0. Xx+6=o.|x—a=o. Xx+b=o. Xx+c=•

*—a—o. Xx—b=o. Xx—co. Xx—d=o.| x+e=o.Xx+b=0,Xx+c=0.Xx+d=n

*—a—o.Xx—b=0.Xx―c=o.X*+d=o.] x—a=0. Xx+b=oXx+c=o.Xx+d=oi

5°. Le coeficient du fecond terme d'une équation com pofée, contient la fomme de toutes les racines, fans être multipliées les unes par les autres.

Le coeficient du troifiéme terme contient les produits de toutes les racines, multipliées deux à deux autant de fois qu'elles le peuvent être, pour faire des produits differens.

Le coëficient du quatrième terme contient les produits de toutes les racines, multipliées trois à trois autant de fois qu'elles le peuvent être, pour faire des produits differens.

Le coëficient du cinquiéme terme contient tous les pro.. duits des racines, multipliées quatre à quatre, & ainfi de fuite jufqu'au dernier terme tout connu, qui contient toujours le feul produit de toutes les racines.

Cela eft évident par la formation des formules de la Table. 6°. Dans les termes pairs, fçavoir le fecond, le quatrième, le fixième, &c. les racines font une à une dans le fecond, & multipliées en nombre impair dans les autres; fçavoir,

Tome I.

I

trois à trois dans le quatrième terme, cinq à cinq dans le fixième, &c.

Dans les termes impairs, c'est-à-dire dans le troifiéme, le cinquième, &c. les racines font multipliées les unes par les autres en nombre pair; fçavoir, deux à deux dans le troifiéme, quatre à quatre dans le cinquième, &c.

70. Si toutes les racines font négatives, tous les termes de l'équation compofée font pofitifs, c'est-à-dire, ils ont tous le figne+; car tous les termes des équations fimples ayant le figne+, tous les produits qui en font formez ne peuvent avoir que le figne+.

8°. Si toutes les racines font pofitives, tous les termes ont alternativement +&-, car le premier terme a toujours+ par la fuppofition,, le fecond terme ne contient que la fom me des racines qui ont toutes le figne-, dans les équations fimples; ainfi le fecond terme a le figne: pour les autres termes, tous les pairs ayant pour leur coëficient les produits des racines en nombre impair, ils ont neceffairement le figne; & tous les impairs ayant pour leur coeficient les produits des racines en nombre pair, ils ont neceffairement le figne+; par confequent les fignes+&- fe fuivent alternativement, lorfque toutes les racines font pofitives; ainsi, quand dans une équation compofée les fignes font alternativement +&- toutes les racines font pofitives..

9°. D'où il fuir que fi tous les termes n'ont pas le figne+, & fi les+ & ne fe fuivent pas alternativement, il y a neceffairement des racines pofitives & des racines négatives dans l'équation.

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il

Ces Corollaires étant démontrez, il y a contradiction dans le Problême, c'est-à-dire il y a des racines imaginaires dans l'équation du Problême, quand ils ne fe trouvent pas veritables; ce qu'on doit auffi entendre des Corollaires fuivans. 10°. Lorfqu'il manque quelque terme dans l'équation, eft néceffaire qu'il y ait des racines pofitives & négatives, puifqu'un terme ne peut être détruit que par les fignes contraires + & des produits dont ce terme eft compofé: & ces produits ne peuvent avoir des fignes contraires, qu'il n'y ait des racines pofitives & négatives. Ainfi l'on a ces deux marques pour connoître qu'il y a dans une équation des racines pofitives & des négatives; 1o. Lorfque la fuite alter