unes des methodes qui ont fervi à les découvrir. Pour les poffeder, il faut se mettre en état de faire de pareilles découvertes; & ce n'est que depuis peu de temps que l'on a vû des regles du calcul integral dans l'ouvrage de Monfieur Cheinée Ecoffois de Methodo fluxionum inversâ, ( les Anglois donnent après Monsieur Newton, au calcul differentiel, le nom de calcul des fluxions, ) & dans le petit traité de quadraturis curvarum, que Monfieur Newton a mis à la fin de fon ouvrage fur les couleurs. On a toujours regardé les Mathematiques comme très-utiles pour la perfection de la Physique & des Arts, & pour former l'efprit des jeunes gens, en les accoutumant à apporter aux fujets de leurs applications toute l'attention qu'ils demandent, à mettre, dans toutes les démarches que doit faire leur efprit dans la recherche de la verité, l'ordre qu'il faut pour y arriver; à ne donner leur confentement entier qu'à l'évidence dans les fciences naturelles: en leur rendant familiere la pratique des regles qui font découvrir, dans toutes les occafions où ils peuvent fe trouver, le parti le plus raifonnable & enfin en leur faifant acquerir la fagacité neceffaire pour trouver dans les queftions difficiles les moyens les plus propres à les réfoudre. Cette utilité des Mathematiques, & l'habitude de les mettre à la portée des commençans acquife pendant vingt-deux années de temps que je les ai enfeignées publiquement, m'ont porté à mettre toutes les methodes que nous avons reçues de Monfieur Defcartes & de fes Disciples & celles qui ont été découvertes par les fçavans : Geometres de notre temps, dans leur ordre naturel, de maniere qu'elles s'éclairciffent mutuellement, & fuffent toutes démontrées dans cet Ouvrage, que je nomme à caufe de cela l'Analyse démontrée. Je me fuis propofé de rendre, le par moyen de ces methodes, les Mathematiques faciles à ceux qui commencent, & qui veulent les sçavoir à fond; en leur découvrant les voyes qui les conduiront des premiers principes à tout ce qu'ils peuvent desirer d'en connoître, fans fe fatiguer l'imagination, fans être obligez de lire de gros volumes, fans qu'il faille charger leur memoire d'un grand nombre de propofitions: en leur ôtant par là ce qu'il y avoit de rebutant & de plus pénible dans l'étude des Mathematiques: en les faifant entrer dans l'invention naturelle de ces fciences, qui les menera fur chaque fujet à des résolutions fimples & generales en les mettant enfin en état d'entendre toutes les nouvelles découvertes; & de faire eux-mêmes celles qu'ils voudront entreprendre. Cet Ouvrage eft partagé en huit Livres : l'Analyfe eft expliquée & démontrée dans les fept premiers Livres, qui font le premier Volume; & le huitiéme, qui eft comme une feconde partie de l'Ouvrage, & qui en eft le fecond Volume, fait voir les ufages de l'Analyse, & apprend aux Lecteurs qui commencent, la maniere d'en appliquer les methodes à la Geometrie fimple &compofée, & à la refolution des Problêmes des fciences Phyfico-Mathematiques, en fe fervant du calcul ordinaire de l'Algebre, du calcul differentiel & du calcul integral: ces nouveaux calculs y font auffi expliquez & démontrez, comme on le dira dans la Préface de ce huitiéme Livre. Le premier Livre contient l'Analyse fimple, & la refolution de plufieurs Problêmes qui n'ont befoin que de l'Analyse simple. Les fix Livres fuivans expliquent & démontrent l'Analyse composée. Le fecond & le troifiéme enfeignent les premiers principes de l'Analyse, & les préparations qu'il faut donner aux équations compofées pour les refoudre. La methode de réduire les Problêmes aux équations qui en expriment toutes les conditions, eft expliquée dans le fecond Livre avec plufieurs préparations qu'il faut faire fur les équations, pour en rendre la refolution plus facile; comme la maniere d'en ôter les fractions & les incommenfurables, & la maniere de trouver le plus grand divifeur commun à plusieurs équations d'un même Problême. On explique dans le troifiéme Livre la formation des équations: elle fert à faire concevoir clairement leur nature aux Lecteurs qui commencent. On leur apprend à diftinguer le nombre & les qualitez des valeurs de l'inconnue de chaque équation; & on leur enfeigne les differentes transformations des équations avec leurs ufages. Après avoir appris les premiers principes de l'Analyse dans les trois premiers Livres, qui font comme des préparations pour refoudre les équations & les Problêmes qu'elles expriment, on enfeigne la refolution des équations dans les quatre Livres fuivans. Le quatriéme Livre contient plufieurs methodes pour refoudre toutes les équations de quelque degré qu'elles puiffent être, lorfque les valeurs de l'inconnue font commenfurables; & les methodes ge nerales nerales de réduire les équations compofées aux plus fimples qu'il eft poffible. Les regles qu'a données Monfieur Hudde dans la lettre intitulée de reductione aquationum, qui eft à la fin du premier Volume de la Geometrie de Monfieur Defcartes, y font mifes en ordre & démontrées. La methode d'employer les grandeurs indéterminées qui reprefentent toutes les grandeurs particulieres, pour découvrir celles que l'on cherche, eft expliquée dans ce quatriéme Livre, & mise en ufage dans tous les fuivans. Les Lecteurs qui commencent, doivent fe rendre familiere cette methode de Monfieur Defcartes: elle eft comme la clef qui ouvre l'entrée presque à toutes les découvertes. On explique dans le même Livre tout ce qui regarde les valeurs égales des inconnues des équations; ce qui eft de grand usage dans la refolution de plufieurs Problêmes. On a mis dans le cinquiéme Livre les Methodes de refoudre les équations compofées en particulier du fecond degré, du troifiéme, du quatrième, &c. On tâche de faire entrer les commençans dans ces refolutions, qui font la plûpart de l'invention du Pere Preftet, comme s'ils les découvroient eux-mêmes. Ils y remarqueront qu'il y a dans l'Analyse, auffi bien que dans la Geometrie fimple, des Problêmes dont l'on n'a pû jufqu'à present démontrer F'impoffibilité, ni trouver des methodes qui en donnaffent la refolution exacte ; qu'on n'a pas laiffé cependant de trouver des methodes qui en donnaffent des refolutions fi approchantes, que les Mathematiques practiques & les Arts en tirent les mêmes avantages qu'ils auroient des refolutions exactes: & comme l'on a trouvé dans la Geometrie des valeurs fi approchantes de la longueur de la circonference & de la quadrature du cercle, que leur difference d'avec les valeurs exactes eft infenfible; on a de même trouvé des methodes d'approcher de fi près des valeurs des inconnues des équa、 - tions dans les cas où l'Analyse n'en a pas encore pû trouver d'expreffions exactes, qu'on en peut rendre la difference plus petite qu'aucune grandeur l'on voudra. Ces methodes d'approximation que font le fujet du fixiéme & du feptiéme Livre. On explique & l'on démontre dans le fixiéme Livre la methode de trouver les grandeurs qui -font les limites des valeurs de l'inconnue dans les équations numeriques de tous les degrés ; ( Monfieur Rolle est l'Auteur de cette methode ; ) & l'on donne plufieurs manieres de trouver, par le moyen de ces limites, les valeurs des inconnues des équations numeriques auffi peu differentes des valeurs exactes qu'on le peut defirer. La maniere de faire une formule generale pour élever une grandeur complexe de tant de termes qu'on voudra à une puiffance quelconque, dont l'expofant indéterminé reprefente un nombre quelconque entier ou rompu, pofitif ou négatif, eft expliquée & démontrée pour tous les cas dans le feptiéme Livre. Elle eft de grand ufage pour former toute forte de puiffances, pour extraire toute forte de racines, par de fimples fubftitutions; pour faire des formulesgenerales dans la resolution des |