Problêmes & dans le calcul integral; & pour réduire à une extrême facilité la pratique des methodes qui font trouver par des fuites infinies les valeurs de celles des inconnues que l'on voudra de toutes fortes d'équations qui en ont plufieurs, comme auffi de toutes celles qui contiennent les differentielles de plufieurs grandeurs changeantes mellées enfemble. Ces methodes, découvertes par Meffieurs Leibnits & Newton, fonc expliquées & démontrées dans ce feptiéme Livre : & comme elles font de grand ufage dans la refolution d'une infinité de beaux Problêmes, & qui font très-utiles, comme on le verra dans la derniere Section de la feconde Partie du huitiéme Livre; on n'a rien oublié pour les faire concevoir clairement aux Lecteurs qui commencent, & pour les leur rendre familieres par plu fieurs exemples: on les applique auffi, à la fin de ce feptiéme livre, à l'approximation des valeurs des inconnues des équations litterales déterminées de quelque degré qu'elles puiffent être.

Ainfi les Lecteurs apprendront, dans les fept premiers Livres, la maniere de réduire en équations les Problêmes des Mathematiques, & furtout de la Geometrie fimple & compofée, & des fciences Phyfico-Mathematiques que l'on a eues principalement en vûe dans cet Ouvrage. Ils apprendront les methodes pour refoudre ces équations & les Problêmes dont elles font les expreffions: Elles leur feront trouver des refolutions exactes, quand cela fe peut; & quand elles ne le pourront pas, elles leur donneront des approximations qu'ils

pourront continuer à l'infini. Enfin ils verront dans le huitiéme Livre les ufages de ces methodes ; & ils y apprendront la maniere de les appliquer à découvrir les proprietés des figures de la Geometrie fimple & compofée; & à refoudre les Problêmes de ces Sciences, & les Problêmes des Sciences Phyfico, Mathematiques.

XV

AVERTISSEMENT.

POUR former une notion de l' Analyse aux Lecteurs qui com mencent, on leur fera remarquer, que dans tous les Problèmes des Mathematiques il y a des grandeurs inconnues que l'on cherche, des grandeurs connues, & des raports connus entre les grandeurs connues & les inconnues: & que c'est par le moyen de ces raports connus qu'on peut découvrir les grandeurs inconnues que l'on cherche. L'Analyfe eft la fcience qui contient les méthodes pour décou vrir les grandeurs inconnues que l'on cherche. Ces méthodes enfeignent à marquer par les lettres de l'alphabet les grandeurs inconnucs & les grandeurs connues; à trouver, par le moyen des raports connus qui font entre les unes & les autres, des équations qui expriment les Problemes que l'on veut réfoudre, & enfin à réfoudre ces équations, c'est-à-dire, & faire découvrir les valeurs des lettres qui marquent les grandeurs inconnues que l'on cherche. C'est ainsi que l'Analyfe donne la réfolution des Problèmes.

Quand les équations, que l'Analyfe fait découvrir pour la réfolution des Problèmes, contiennent des lettres qui marquent les inconnues qui ne font point multipliées par elles-mêmes, ni par d'autres lettres qui représentent d'autres inconnues, ces équations s'appellent fimples; & l'Analyfe, par raport à ces équations, s'appelle l'Analyfe fimple. Le premier Livre explique l'Analyse fimple.

Quand les lettres des inconnues font multipliées par elles-mêmes ou par d'autres lettres des inconnues dans les équations, on les nomme des équations compolées; & l'Analyfe par raport à ces équations, s'appelle l'Analyfe compofée: Elle est le fujet des Livres qui fuivent le premier.

Quand l'inconnue ne fait qu'un feul terme de l'équation dont tous les autres termes ne contiennent que des grandeurs connues, fi elle eft multipliée par elle-mème, l'équation eft composée, & elle fe réfout par les méthodes des équations compofées ; mais comme elle fe réfout aussi par une simple extraction de racines, on peut la regarder comme une équation fimple, qui peut être réfolue par l'Analyfe fimple.

Ceux qui voudront profiter de cet Ouvrage, ne doivent le lire que la plume à la main, & faire eux-mêmes les calculs qu'ils y

trouveront.

Pour l'entendre avec plus de facilité, & pour se le rendre propre peu à peu fans fe rebuter, ils pourront fe contenter dans une premiere lecture de lire le premier, le fecond & le troifiéme Livre jusqu'à la page 92 art. 44, passer tout le reste du troifiéme Livre, & tout le quatrième Livre, & lire la feule premiere Section du cinquiéme Livre. Les connoiffances, qu'ils auront acquifes dans cette premiere lecture, fuffiront à ceux qui fçavent les premiers élemens "de la Geometrie fimple, pour entendre la premiere & la feconde Section du huitième Livre, où ils verront les ufages des méthodes de l'Analyfe qu'ils auront apprifes, dans la Geometrie fimple, dans l'art de jetter les bombes, & dans les Problemes qui font découvrir les centres d'ofcillation des pendules compofez pour donner la jufteffe aux horloges. Ils pourront mème entendre la troifiéme Section du huitième Livre. Ils y trouveront les ufages de l'Analyfe dans la Geometrie compofee, & en même tems ils fe formerent une idée de cette fcience & de toutes les lignes courbes qui en font l'objet, & ils apprendront les proprietez les plus utiles des courbes les plus fimples, qu'on appelle les Sections coniques. Ces connoiffances les mettront en état d'entendre les Problèmes des articles 498 & 499. Après quoi ils pourront lire la premiere Section de la feconde Partie du huitième Livre, où eft expliqué le calcul differentiel, jufqu'à l'art. 536; passer aux art. 549, 550 & 551, pour voir l'ufage de ce calcul dans les Problèmes qui font trouver tangentes des courbes; & fans s'arrêter au reste de la feconde Partie du huitième Livre, ils pourront lire la premiere Section de la troifiéme Partie où font expliquez les premiers principes du calcul integral jufqu'à l'art. 666; enfin, pour voir quelques usages faciles de ce calcul, ils pafferont tout le reste de la troifiéme Partie jufqu'à la derniere Section, dont ils pourront lire les deux premiers Exemples, & paffer à la feconde Partie de la derniere Section: ils verront, dans le premier Exemple Phyfico-mathematique, l'invention des Ovales dont parle Mr Defcartes à la fin du fecond Livre de fa Geometric, dont il n'a pas donné l'Analyfe. Le fecond Exem ple Phyfico-mathematique leur apprendra la refolution generale du Problème, où il s'agit, après avoir donné à la premiere furface dun verre tel figure qu'on aura voulu, de trouver la figure qu'il faut donner à la feconde furface du même verre, afin que les rayons

Les

qui partent d'un point déterminé, foient difpofez par les refractions qu'ils fouffriront à l'entrée & au fortir de ce verre, à s'aller réunir dans un mème point déterminé. Ils pafferont tout le refte.

Les Lecteurs qui commencent, apprendront, par cette premiere. lecture, les premieres méthodes de l'Analyfe; & ils verront les ufages de ces méthodes dans la Geometrie fimple & composée, & dans la réfolution des Problèmes Phyfico-mathematiques, en em ployant le calcul ordinaire de l'Algebre, le calcul differentiel & le calcul integral.

Dans une feconde lecture, fi les chofes qu'ils auront lues dans la premiere ne leur font pas affez familieres, ils liront les trois premiers Livres, la premiere Section du quatrième Livre, la troifiéme jufqu'à l'art 66, & la quatrième Section ; la premiere Section du cinquième Livre, la feconde Section jufqu'à l'art. 94, la troifiéme Section jusqu'à l'art. 104; ils liront enfuite toute la premiere Partie du huitiéme Livre; les trois premieres Sections de la feconde Partie, excepté l'art. 536. & les fuivans jufqu'à l'art. 542; ils pafferont la quatrième Section, & ils liront dans la troifiéme Partie la premiere Section jusqu'à l'art. 666, ils pafferont cet article & les fuivans jufqu'à l'art. 714, qu'ils pourront lire avec ce qui refte de la premiere Section; ils ne liront ni la feconde ni la troifiéme Section, ni le premier Exemple de la quatrième ; mais ils liront le reste de la quatrième Section, & ils pourront entendre les fix Exemples Phyfico-mathematiques qui font à la fin de la cinquième Section.

Dans une troifiéme lecture, ils ajouteront à la précedente le fixième & le feptième Livre, excepté la cinquième & la fixieme Section du feptième Livre; & il n'y aura plus rien dans le buitiéme Livre qu'ils ne puiffent entendre; & ils feront en état de faire le choix des Méthodes de l'Ouvrage qu'ils doivent fe rendre les plus familieres.

Pour entendre tout cet Ouvrage, il ne faut fçavoir que les operations de l'Algebre fur les grandeurs litterales, c'eft-à-dire, il ne faut fçavoir que le feul calcul& les proportions & les progreffions. Ces chofes font expliquées dans les Traitez d' Algebre, comme dans les Elemens du Pere Preftet, ou dans le Traité de la Grandeur du Pere Lamy; ceux qui ont la Geometrie latine de Mr Defcartes, peuvent fe contenter du petit Traité dont le titre eft, Principia Mathefeos univerfalis, qui eft au commencement du fecond Volume. Pour entendre le huitième Livre, il fuffit de fçavoir la