des nombres rompus pofitifs en allant de a vers la droite, & né gatifs en allant de avers la gauche.

Pour faire concevoir que les expofans de ce nombre infini de puissances de a mifes de fuite en progression geometrique, font entr'eux une progreffion arithmetique, dont la difference eft le plus petit nombre qu'on puiffe imaginer, il n'y a qu'à faire remarquer une maniere fimple de trouver ces termes moyens à l'infini entre les termes marquez dans B. Par exemple pour trouver tous les termes entre ao &a1, ou entre 1&a,il n'y a qu'à prendre le terme moyen proportionel geometrique ya; & pour avoir fon expofant, il n'y a qu'à prendre le moyen arithmetique proportionel entre & I qui eft 1. Ainsi l'on aura —a°, a, a a'.

3

I

On prendra de même la moitié de o + 1⁄2 qui eft, & la moitié de + 1 = 2, laquelle moitié eft,& l'on aura÷a, a‡, a‡, a 7, a'. On conçoit clairement qu'on peut ainfi continuer de prendre des termes moyens proportionels, tant les geometriques que les arithmetiques correfpondans, & cela à l'infini; & qu'on peut enfuite, au lieu d'un moyen proportionel, prendre deux, trois, qua&c. moyens proportionels geometriques entre deux termes voifins, & prendre en même temps les moyens proportionels arithmeti ques correfpondans qui ferviront d'expofans aux geometriques.

tre,

En imaginant de la même maniere les moyens proportionels geometriques entre tous les termes voifins & les arithmetiques qui leur fervent d'expofans, on verra clairement qu'on peut concevoir une progreffion geometrique infinie de toutes les puiffances de fuite d'une grandeur, dont les expofans feront auffi une progression arithmetique.

L'on remarquera que toutes les fois qu'on prendra quatre termes, dans la progression geometrique, qui feront entr'eux une proportion geometrique, les quatre expofans de ces quatre termes feront entr'eux une proportion arithmetique: Et que toutes les fois qu'on prendra plufieurs termes, c'est-à-dire tant de termes qu'on voudra, dans la progreffion geometrique, qui, quoiqu'éloignez les uns des autres, feront pourtant entr'eux une progreffion geometrique; les expofans de tous ces termes, pris dans le même ordre, feront entr'eux une progreffion arithmetique; c'eft-à-dire, la même dif ference regnera dans leur progreffion.

Mais quand zero eft le premier terme d'une proportion arithme tique 0, 1:2, 1+2 = 3, il faut ajouter le fecond & le troifiéme terme, & la fomme eft le quatrième terme. Quand zero eft le quatriéme terme d'une proportion arithmetique 3, 2:1,0, il faut retrancher le fécond terme du premier, & la difference eft le troifiéme terme. Enfin quand zero eft le premier ou le dernier terme d'une progreffion arithmetiqueo, 1,2,3,4; 4, 3, 2, I., O, il faut multiplier le terme le plus proche de zero, qui eft la difference de la progression, par le nombre des termes depuis zero non compris, par exemple par 4, fi l'on veut le quatrième terme depuis zero non compris, & le produit eft le terme que l'on cherche. C'eft la raifon des regles qu'on a données pour multiplier & pour divifer deux puiffances d'une mème grandeur l'une par l'autre par le moyen des expofans ; & pour élever une puissance d'une grandeur à une autre puiffance dont l'expofant eft donné. Car pour multiplier par exemple a' par a', il y a une proportion geometria3, que ao ou. 1 ́ . a2 :: a3. a', dont l'unité eft le premier terme, a'&a3 font le fecond & le troifiéme terme, & le produit a que l'on cherche eft le quatrieme terme. Les expofans α, 2:3, 3 + 2 = 5 font auffi une proportion arithmetique dont zero eft le premier terme, les expofans 2 & 3 des grandeurs à multiplier, a2, a3, font le fecond & le troifiéme terme : ainfi ajoutant 2 + 3, la fomme s eft l'expofant du terme a' que l'on cherchoit.

Pour divifer a3 par a2, il y a une proportion geometrique a'. a' :: a'. ao ou 1, dont a3 eft le premier terme ; le divifeur a le fecond terme; le quotient a' que l'on cherche eft le troifiéme terme, &. l'unité a ou 1 eft le quatrième terme. Les expofans 3, 2:1, 0, font auffi une proportion arithmetique; le premier terme eft 3, le fecond eft 2, le troisième 1 eft l'exposant du quotient que l'on cherche, & zero eft le quatrième terme; ainfi en retranchant le fécond terme 2 du premier terme 3, la difference 1 eft l'exposant du quotient que Pon cherche.

a ou I, a',

Pour élever la puissance d'une grandeur comme a' à une puiffance dont l'expofant eft donné, par exemple à la puiffance dont l'expofant eft 4, il y a une progression geometrique a a', a', a*, dont le premier terme eft l'unité, la puissance donnée à1 eft le premier terme après l'unité, & la puissance a* que l'on cher

che eft le quatrième terme après l'unité. Les expofans font auffi une progression arithmetique -- 0, 1, 2, 3, 4, depuis zero ; le premier terme après zero eft l'unité, & c'est la difference de la progreffion; l'expofant que l'on cherche eft le quatrième terme après zero;& dans une progreffion arithmetique, la difference étant connue, qui eft ici, & le nombre des termes après zero, qui eft ici 4, il n'y a qu'à multiplier la difference par le nombre des termes depuis zero non compris, & le produit, qui eft ici 4, eft le terme que l'on cherche de la progreffion arithmetique, & par confequent l'expofant de la puissance a que l'on cherchoit.

AVIS AU LECTEUR.

A premiere édition de l'Analyfe démontrée du Pere REYNEAU, étant devenue très-rare depuis plufieurs années, nous avons crû devoir entreprendre cette feconde édition.. Nous n'avons rien négligé pour la rendre auffi correcte que la premiere. On trouvera dans cette nouvelle édition quelques Remarques de M. de Varignon fur l'Analyse démontrée; nous avons jugé à propos de les inferer à la fin du Tome fecond, afin que ceux qui ont la premiere édition de l'Analyse puiffent: les y joindre..

ANALYSE

LOTLOJ

ANALYSE DEMONTRÉE,

DE

LIVRE I.

L'ANALYSE QUI ENSEIGNE à réfoudre les Problêmes qui se réduisent à des équations fimples.

SECTION

I.

La Méthode de réduire un Problême en équations.

Λ

PROBLEME I.

REDUIRE un Problème en équations; c'est-à-dire cxprimer par des équations tous les raports d'un Probleme.

L faut diftinguer avec beaucoup d'attention les trois chofes que renferme le Problême: 1. Les grandeurs connues: 2. Les grandeurs inconnues qu'on cherche, ou qui fervent à faire trouver celles qu'on cherche : : 3. Les raports connus entre les grandeurs connues & les inconnues, ou même ceux qui font entre les inconnues.

2°. Il faut marquer les grandeurs connues par les premieres lettres de l'alphabet a, b, c, &c. & les inconnues les dernieres s, t, v, x, y, z par

Il est bon auffi de marquer les grandeurs connues & in