la fomme des deux autres, tant que leurs directions font des angles finis quelconques entr'elles, mais encore d'autant moindre (quoiqu'en raifon differente) que l'angle compris entre les directions de ces deux autres puiffances, fera plus grand: par exemple, la puiffance K fera d'autant moindre que la fomme des deux autres P, R, que l'angle PAR compris entre leurs directions, fera plus grand; puifqu'alors la diagonale AD du parallelogramme ABDC en fera d'autant moindre (quoiqu'en raifon differente) par rapport à fes côtez AB, AC; & que (part. 3.) en ce cas d'équilibre la puiffance K est toûjours à chacune des deux autres P, R, comme cette diagonale AD eft à chacun de ses côtez correfpondans AB, AC. La même chose se trouvera de même de chacune des puiffances, P, R., en faisant auffi un parallelogramme qui ait fa diagonale fur la direction de cette puiffance, & fes côtez fur les directions de l'autre, & de la puiffance K. Ainfi il est également vrai de ces trois puillances P, R, K, que chacune d'elle est d'autant moindre (quoiqu'en raifon differente) que l'angle compris entre les directions des deux autres eft plus grand.

Cela fuit encore du Corol. 6. du Lem. 8. & du précedent Corol. 4. Puifque (Lem. 8. Corol. 6.) plus l'angle total, par exemple, PAR fera grand, plus le rapport de fon finus à chacun des finus des deux angles partiaux DAR, DAP, fera petit ; & que fuivant le précedent Corol. 4. la puiffance K.eft toûjours ici à chacune des puiffances PR, comme le finus de cet angle total PÂR à chacun des finus des deux partiaux DAR, DAP. Donc la puiffance K fera toûjours ici d'autant moindre que la Lomme PR des deux autres P, R, que l'angle PAR fera plus grand. On trouvera de même en prolongeant les directions PA, RA, de ces deux puiffances-ci, à travers les angles RAX, PAX, que la puiffance P fera d'autant moindre que la fomme K+R des deux autres, que l'angle RAX fera plus grand; & que R fera d'autant moindre que KP, que l'angle PAX fera auffi plus grand.

COROLLAIRE

COROLLAIRE X.

Mais fi l'angle que font entr'elles les directions prolongées PG, RH, des puiffances P, R, étoit infiniment aigu, & confequemment auffi les angles PAD, RAD, c'est-à-dire (Lem. 6. Corol. I.) fi ces deux directions étoient paralleles entr'elles, & ces deux puiffances dirigées en même fens directement contraire à celui de la troifiéme K en équilibre (Hyp.) avec elles, le finus de l'angle PAR fe trouvant alors (Lem. 7.) feul égal à la fomme des finus des deux autres angles partiaux PAD, RAD, la puiffance K ou le poids de ce nom remis à fa place, fe trouveroit auffi pour lors (Corol. 4.) feul égal à la fomme des deux autres puiffances P, R, prifes enfemble, ainfi qu'on l'a déja vu dans le nomb. 2. du Corol. 6. Et en tout autre cas d'équilibre, ce poids ou cette autre puiffance K feroit moindre (Corol. 6. nomb. 1. & Corol. 8.) que cette fomme des deux autres puiffances P, R.

Cela fe prouve encore par la part. 1. du Lem. 9. laquelle fait voir que lorfque l'angle PAR fe trouve infiniment aigu, la diagonale AD du parallelogramme BC fe trouve égale à la fomme des côtez AB, AC, de ce parallelogramme. Mais la part. 3. du prefent Th. 1. fait voir auffi que le poids K en équilibre ( Hyp.) avec les puisfances P, R, eft toûjours à chacune d'elles comme cette diagonale AD eft à chacun de ces côtez AB, AC. Donc en ce cas-ci d'équilibre, & d'angle PAR infiniment aigu, ou ( Lem. 6. Corol. 1.) de directions paralleles entr'elles, le poids K doit être feul égal à la fomme des puiffances P, R ; & en tout autre cas d'équilibre moindre ( Corol. 6. nomb. 1. & Corol. 8.) que cette fommc.

Ainfi en general en cas d'équilibre entre deux puiffances & un poids qu'elles foûtiennent ensemble avec des cordes feulement fuivant des directions paralleles à la fienne, & toutes deux en même fens directement con

traire au sien, leur fomme doit toûjours être égale

à la

feule pefanteur de ce poids ; & en tout autre cas d'équilibre encore (Corol. 6. nomb. 1. & Corol. 8.) toûjours plus. grande.

COROLLAIRE XI.

Au contraire dans le cas où l'angle PAR feroit infiniment obtus, c'est-à-dire ( Déf. 1 1.) où les directions PG, RH, des puiffances P, R, feroient en ligne droite, & ces deux puiffances directement contraires entr'elles.

1o. Si cette direction commune ne faifoit qu'un angle infiniment petit avec la verticale du poids K, en forte qu'elle fût auffi verticale, & (part. 1. 2.) confondue avec celle-là ; alors le finus de l'angle total PAR fe trouvant (Lem. 7. Corol. 2.) égal à la différence des finus des angles partiaux PAD, RAD, le poids K feroit auffi égal à La difference des puiffances P,R, fuppofées en équilibre

avec lui.

Cela fuit encore de l'Ax. 4. en ce qu'alors ce poids d'accord avec une de ces deux puiffances n'en faifant plus qu'une avec elle, directement oppofée à l'autre, cette autre puiffance feroit ( Ax. 4. ) égale à la fomme faite de la premiere, & de ce poids ; & par confequent ce poids K feroit encore alors égal à la difference de ces deux puiffances P, R.

2o. Mais fi les directions de ces deux puiffances rendues. en ligne droite (Déf. 1 1.) par l'angle infiniment obtus PAR, font toujours des angles finis PAD, RAD, avec celle du poids K fuppofé en équilibre avec ces deux puiffances P,R ; alors le finus de l'angle infiniment obtus PAR fe trouvant infiniment petit, & confequemment nul

par rapport aux finus des deux autres angles PAD, RAD, fuppofez finis, le poids K fe trouveroit auffi pour lors (Corol. 4.) nul par rapport aux deux puiffances P R, lefquelles agiffent alors feulement l'une contre l'autre conformément au nomb. 3. du Corol. 6. Ainfi tant qu'il refie un poids K entre ces deux puiffances P, R, attaché à leurs cordes, ces deux cordes prolongées doivent toû

jours faire entr'elles quelqu'angle fini PAR que ce foit, tant qu'elles en feront de finis avec la direction de ce poids K.

COROLLAIRE XII.

De-là on voit qu'il n'y a point de forces ou de puiffances imaginables, quelque grandes qu'on les conçoive, qui,appliquées aux extrêmitez d'une corde parfaitement flexible, la puiffent tellement bander, qu'elle devienne parfaitement droite, pour peu de pefanteur qu'on fuppofe à cette corde, ou fi elle n'en avoit aucune ( ainfi quon la fuppofé jufquici, & quon le fuppofera toujours dans la fuite) quelque petit poids qu'on lui fuppofe appliqué entre ces deux puiffances ; puifque quelque prodigieufes qu'on les imagine ( à moins qu'elles ne foient infiniment grandes par rapport à la pefanteur de la corde, ou du poids qui lui feroit appliqué, fi elle n'en avoit aucune) elles auront toûjours quelques rapports à la pefanteur de cette corde, ou au poids qui feroit appliqué entre ces deux puiffances, fi elle n'en avoit aucune ; & par confequent cette corde fe courbera toûjours, ainsi qu'on l'a déja vû dans le nombre 4. du Corol. 6. Et cela parce que fi cette corde devenoit droite, les deux puiffances qui la banderoient ainsi, n'agiroient plus du tout contre fon poids, mais feulement l'une contre l'autre: raifon affez à la portée du vulgaire, pour diffiper feule toute la furprife où il eft de voir qu'une corde avec làquelle plufieurs chevaux traînent contre le courant d'une riviere un ou plusieurs bateaux chargez, ne se trouve jamais en ligne droite.

COROLLAIRE XIII.

Si l'on imagine prefentement de B en C une feconde diagonale du parallelogramme ABDC, il eft manifefte (Def. 13.) que le point T où cette feconde diagonale rencontrera la premiere AD, fera le centre principal d'équilibre des puissances P,R; & qu'ainsi ( conformé

ment au Lem. 11.) AD fera double de la distance AT de ce centre F au point A de concours des directions de ces deux puiffances. Mais en cas d'équilibre entre le poids K & ces deux puiffances P, R, ce poids eft toûjours (part. 3. 4.) à chacune d'elles comme AD est à chacune de leurs proportionnelles AB, AC. Donc aufsi en ce cas d'équilibre ce même poids K fera toûjours à chacune de ces deux puiffances P, R, comme deux fois la distance AT de leur centre principal T d'équilibre au concours A de leurs directions, eft à chacune de leurs mêmes proportionnelles AB, AC.

Voilà tout autant de Corollaires refultans des part. 3.4. de ce Théoreme-ci, èn voici qui refultent pareillement de fes parties 5. 6. reciproques à celles-là, fans avoir encore aucun égard à la pefanteur des cordes.

COROLLAIRE XIV.

Il fuit auffi des part. 5. 6. de ce Théoreme-ci que fi la direction du poids K et fuivant la distance AT du centre principal T d'équilibre des puiffances P, R, au concours A de leurs directions; & que ce poids foit à chacune de ces deux puiffances comme 2×ÂT à chacune de leurs proportionnelles AB, AC; il y aura équilibre entre ce poids & ces deux puiffances. Car le centre principal T d'équilibre de ces deux puiffances P, R, étant (Déf. 13.) le milieu de la ligne imaginée par les extrêmitez B, C, de leurs proportionnelles AB, AC, il fera auffi le milieu de la diagonale AD du parallelogramme ABDC fait de ces deux proportionnelles ;. & confequemment AT fera fur AD, & AD=2×AT. Donc fuivant l'hypothefe qu'on vient de faire, la direction du poids K fera fuivant AD; & ce poids à chacune des puillances P, R, comme cette diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de les côtez AB, AC, correfpondans. Par confequent (part. 5. 6.) dans cette hypothese il y aura équilibre entre ce poids K, & ces deux puiflances P,R.