ront à foûtenir, devra ( Corol. 9.) être petit par rapport à elles (quoiqu'en raifon differente) pour faire équilibre avec elles de forte qu'on peut faire cet angle PAR si obtus que ces deux puiffances P, R, demeurant toûjours les mêmes, foûtiendront ensemble en équilibre un poids. K fi petit qu'on voudra, pourvû ( Corol. 6. nomb. 1. & Corol. 8.) que la fomme faite de fa pefanteur & de chacune de ces deux puiffances, foit plus grande que l'autre feule, & lui moindre que ces deux enfemble. Ainfi cela fe trouvant toûjours tant que ces deux puiffances font égales entr'elles, & ce poids moindre que leur fomme;› ce poids K peut alors diminuer à l'infini, & cependant.. par l'augmentation de l'angle PAR faire toûjours équilibre avec ces deux puiffances P, R, quelque grandes qu'on les fuppofe. Mais fi au contraire la pefanteur de ce poids fe trouvoit feule plus grande que la fomme de ces deux puiffances, le nomb. 1. du Corol. 6. & le Co-rol. 8. font voir qu'elles ne pouroient alors le foûtenir en équilibre, quelqu'angle PAR que les directions de ces deux puiffances fiffent entr'elles: & fi ce poids étoit seul égal à leur fomme, il faudroit pour cela (Corol. 6. nomb. 2.& Corol. 10.) que l'angle PAR fùt infiniment petit ; & confequemment (Lem. 6. Corol. 2. 3. & part. 1.) que ces deux puiffances agiffent alors en même tems contre ce poids fuivant des directions toutes deux paralleles à la fienne, ou confondues toutes deux avec elle. D'où l'on voit (Corol. 6. nomb. 1. 2. 3.) que depuis l'égalité de ce poids avec la fomme de ces deux puiffances, jufqu'à fe trouver infiniment petit par rapport à elles, il pourra toûjours faire équilibre avec elles, fi elles font égales. entr'elles.

COROLLAIRE XXV.

C'eft ce qui peut arriver en changeant la direction de P'une & de l'autre de ces deux puiffances P,R: mais à ne changer qu'une de ces directions,

. Si ces deux puiffances font égales, ou fi étant iné

que

gales entr'elles, il s'en trouve une qui ait fa direction horifontale, comme dans la Fig. 53. il eft clair qu'en ne changeant la direction que d'une de ces deux puiffances P, R, on changeroit aufli le rapport des finus des angles leurs cordes faifoient avec la direction du poids, ou fi ce rapport fe trouvoit encore le même, comme il peut arriver lorfque ces deux puiffances font égales entr'elles, leurs directions feroient alors en ligne droite: ainfi ces deux puiffances P, R, ne pourroient plus (Corol. 5. & 11.) foûtenir le poids K, avec lequel on les fuppofoit en équilibre avant ce changement, ni aucune autre puiffance de même direction que lui.

2o. Au contraire fi ces deux puiffances P, R, font inégales, & qu'elles n'ayent aucune de leurs cordes ou diretions qui foit horizontale; au lieu du poids K, avec lequel on les fuppofe en équilibre, on pourra encore leur en faire foûtenir un autre, pourvû que des directions de ces deux puiffances on change tellement celle qui vers le haut fait le plus grand angle avec celle du poids K fuppofé en équilibre avec elles, qu'on lui en faffe faire un autre avec celle-ci, lequel foit le complement de celui-là à deux droits. Car les finus des angles que les cordes ou directions de ces deux puiffances P, R, font avec celle du poids K après un tel changement, étant encore ( Déf. 9. Corol. 2. les mêmes qu'auparavant; ces deux mêmes puiffances P, R, pourront encore'( Corol. 1 5.) foûtenir ici un autre poids au lieu de K, auquel nouveau poids elles feront comme ces mêmes finus reciproquement pris, au finus de l'angle que leurs cordes ou directions У feront entr'elles ; c'est-à-dire, un nouveau poids qui fera (Cor. 5.) à celui K qu'elles foûtenoient auparavant, comme ce dernier finus à celui de l'angle qu'elles faifoient alors entr'elles : mais auffi par une raifon toute contraire en tout autre changement d'une des directions de ces deux puiffances P, R, ces deux puiffances ne pourront plus rien foûtenir tant que les deux autres directions demeureront les mêmes qu'auparavant.

La raison pour laquelle on vient de demander (nomb. 2. J que ce changement fe fift dans celle des directions des puissances, qui fait le plus grand angle vers le haut avec celle du poids. qu'elles foûtiennent c'est que fi on faifoit un tel changement à l'autre de ces deux directions, l'angle qu'elles feroient entr'elles, fe tourneroit alors en deffous; ce qui détermineroit (Lem. 3. part. 2.) l'action de ces deux puissances à feconder la pefanteur du poids plûtôt qu'à le foûtenir.

SCHOL I E..

I. Voilà bien des manieres de reconnoître les rapports de trois puiffances fuppofées en équilibre entr'elles avec des cordes feulement; & reciproquement qu'avec dé tels rapports elles doivent toujours demeurer ainfi en équilibre entr'elles. Quant à l'impoffibilité de cet équi libre,

1o. Les part. 1. 2. faisant voir que lorsqu'il fe trouve entre ces trois puissances, leurs directions font toûjours toutes trois en même plan par un même point, ou paralleles entr'elles, & que chacune de ces trois puiffances fe trouve toûjours alors fuivant la direction de la force refultante du concours des deux autres: il fuit que l'ê quilibre feroit impoffible entr'elles, s'il y manquoit quel qu'une de ces chofes ; puifqu'en cas d'équilibre (part. 1.2.), il n'y en manqueroit aucune.

2o. Les part. 3. 4. font voir auffi que quand il n'y manqueroit rien de tout cela, cet équilibre ne manqueroit pas d'être encore impoffible, fi les trois puiffances n'étoient pas entr'elles comme la diagonale & les côtez du paral lelogramme qui les eût fur leurs directions ; & confequemment auffi fi elles n'étoient pas entr'elles comme les finus des angles marquez dans les Corol. de ces part. 3.4. puifque fuivant ces mêmes part. 3. 4. & leurs Corollaires ces trois puiffances auroient toûjours ces rapports entr'elles en cas d'équilibre.

II. Il est à remarquer en ce cas d'équilibre, que fi d'un point quelconque de la direction de celle qu'on

voudra des trois puiffances P,K,R, on mene des perpendiculaires fur les directions des deux autres; lesproduits faits de ces deux autres puiffances multipliées chacune par celle de ces perpendiculaires, qui le fera à fa direction, feront toujours égaux entr'eux. Par exemple, fi d'un point quelconque L de la direction AD de la puiffance ou poids K, on conçoit encore ( comme dans le Corol. 1.) LM, LN, perpendiculaires aux directions AP, AR, des puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec celle-là; l'on aura toûjours PXLM=R×LN; puif que ce cas d'équilibre donne toujours (Cor. 1.) P.R::LN. LM:: AB. AC(Lem. 9.) On démontrera de même produit des puiffances K,R,multipliées par les perpendiculaires menées de tel point M qu'on voudra de la direction AP de la puiffance P fur les leurs, feront égaux entr'eux. La même chofe fe démontrera auffi demême des produits faits des puiffances P, K, par les perpendiculaires menées d'un point quelconque de la direction AR de la puiffance R fur les leurs.

que

le

Tel eft jufqu'ici le fondement de tout ce qui fe peut dire des poids foutenus avec des cordes feulement, ou des puissances appliquées les unes contre les autres à des cordes feulement : Fondement confiftant dans le feul Th. 1. dont on vient de voir ta fecondité. En voici l'application à quelques autres plus complique fur le même fujet.

THEOREME II.

53.54.59

Les Figures demeurant ici les mêmes que dans le précedent F1 c. 52. Th. 1. ce que les puissances P, R, fuppofées en équilibre avec le poids K, ont de force ou d'action verticale pour ou contre ce poids fuivant fa direction KX, eft toûjours (à parler le langage de la Def. 15.) en raison de leur fublimitez, fi elles tirent toutes deux de bas en haut, ou en raifon de la fublimité de l'une à la profondeur de l'autre, fi l'une tire de bas en baut, & l'autre de haut en bas.

DEMONSTRATION.

Le parallelogramme ABDC ayant, comme dans la part. 3. du Th. 1. fa diagonale AD fur la direction prolongée XK du poids K, & fes côtez AB, AC, fur les cordes ou directions AP, AR, des puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec ce poids par le moyen de ces cordes ; foient des angles B, C, du parallelogramme les perpendiculaires BE, CF, fur fa diagonale AD prolongée où befoin fera.

Cela fait, foient appellées E, F, les forces verticales employées felon la du Lem. 3.par part. 2. les puiffances pour ou contre le poids K fuivant fa direction XK. Cette même part. 2. du Lem. 3. fait voir que E, F:: AE. AF. Mais felon la Déf. 16. AE, AF, font les fublimitez des puiffances P, R, dans toutes les Figures ici fuppofées, excepté dans la Fig. 53. où AE eft nulle, & dans la Fig. 54. où AF eft la profondeur de la puissance R, & la feule AE fublimité de la puiffance P. Donc en ce cas d'équilibre entre le poids K& ces deux puiffances P, R, les forces verticales E, F, de ces deux puiffances pour ou contre ce poids font toûjours entr'elles en raifon de leurs fublimitez AE, AF, fi ces puiffances tirent toutes deux de bas en haut, comme dans les Fig. 52.53.55.56. ou en raifon de la fublimité AE de l'une P, à la profondeur AF de l'autre R, fi la premiere de ces deux puiffances P, R, tire de bas en haut, & la feconde de haut en bas, comme dans la Fig. 54. Ce qu'il falloit démontrer.

La direction horisontale AP de la puissance P dans la Fig. 53. pouvant être également prife pour infiniment peu élevée, ou pour infiniment peu abbaiffée par rapport à A, on la peut ajoûter au cas de la Fig. 54. comme on la vient d'ajoûter à celui des Fig. 52. 55. 56. la nullité de AE dans cette Fig. §3. l'y rendant également fublimité ou profondeur nulle.

COROLLAIRE I.

On voit de-là, en prolongeant CF jufqu'à la rencontre