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de AP prolongée en Q, qu'en ce cas d'équilibre les
forces verticales E, F, des puiffances P, R, pour on con-
tre le poids K fuivant fa direction KX ou XD, sont aussi
toujours entr'elles en raifon réciproque des tangentes
des angles PAD, RAD, que les directions de ces puif-
fances font avec celle de ce poids. Car venant de trou--
ver (Lem. 3. part. 2.) E. F:: AE. AF. Et les triangles
(conftr.) femblables QAF, BAE, CDF, donnant AE. AF
:: AB. AQ(le parallelogramme ABDC ayant AB DC)
:: DC. AQ :: CF. FQ. T'on aura pareillement ici E. F::
CF. FQ. Mais en prenant AE pour le rayon, la Déf. 10.
avec fon Corol. fait voir que CF, FQ, font les
tangen-
tes des angles CAF, QAF, qui font les mêmes que RAD,
PAD. Donc les forces verticales E, F, des puiffances P,
R, pour ou contre le poids K fuivant fa direction KX,
ou XD, font toûjours ici entr'elles comme les
tangentes
des angles RAD, PAD, c'eft-à-dire, en raifon recipro-
que
des tangentes des angles PAD, RAD, que les cor-
des ou directions de ces deux puiffances P, R, font avec
la direction du poids K, ainsi qu'on le vient d'avancer.

COROLLAIRE II. ·

Dans les Fig. 52.5 5.56. où les puiffances P, R, tirent F toutes deux de bas en haut, les parties du poids K, ou de fa pefanteur, foutenues dans ces Figures par ces puiffances P, R, étant égales en pefanteur (Lem. 3. Corol. nomb. 3.) aux forces verticales E, F, directement contraires à ces pefanteurs partiales & en équilibre avec elles.

1. Il fuit encore du prefent Th. 2. que ces parties du poids K, ainfi foûtenues chacune par chacune des puiffances P, R, en vertu de ces efforts verticaux E, F, font toûjours alors entr'elles comme les fublimitez AE, AF, de ces deux puiffances; & confequemment auffi comme les parties AE, ED de la diagonale AD, ou comme fes parties DF, FA: puifque les triangles égaux & femblables AFC, DEB, de même que AEB, DFC, rendent AFIED, & AEDF. D'où l'on voit que chacune des ·

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55.950

perpendiculaires BE, CF, menées des extrêmitez B, C, des proportionnelles AB, AC, des puiffances P, R, fur la diagonale AD du parallelogramme ABDC, divifera toujours cette diagonale AD en raifon des parties du poids K foûtenues par les puriffances P, R, fuppofées en équilibre avec lui, ou en raison des efforts verticaux que ces deux puiffances font chacune contre lui.

2o. Il fuit du même Corol. 1. que ces mêmes parties du poids K foûtenues chacune par chacune des puiffances P, R, en équilibre (Hyp.) avec lui, font auffi toujours entr'elles en raifon reciproque des tangentes des angles PAD, RAD, que les cordes ou directions de ces deux puiffances P, R, font avec celle de ce poids.

COROLLA IEE III

De plus de ce que les pefanteurs des parties du poids K foûtenues par chacune des puiffances P, R, font (Lem. 3. Corol. 2. nomb. 3.) égales aux forces verticales E, F, directement contraires à ces pefanteurs partiales, & en équilibre avec elles ; il fuit que la puiffance, par exemple, Pfera à la partie qu'elle foûtient de ce poids ou de fa pefanteur: P. E(Lem. 3. part. 1.) : : AB. AE. c'est-à-dire ( Déf. 9. Corol. 1.) comme le finus total au finus de l'angle ABE de fa direction AP avec l'horisontale BE. On trouvera de même que la puiffance R est à la partie qu'elle foûtient de ce même poids K ou de fa pefanteur

AC. AF. c'eft-à-dire encore, comme le finus total au finus de l'angle ACF de fa direction AR avec l'horisontale CF. D'ou l'on voit que chacune de ces deux puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec le poids K, eft toû jours alors à ce qu'elle foutient pour fa part de la pefanteur de ce poids, comme le finus total est au finus de l'angle que la direction de cette puiffance fait avec l'horifontale.

COROLLAIRE IV.

Si l'on appelle prefentement Y, Z, les parties du

poids K, ou de fa pefanteur, foûtenue chacune par chacune des puiffances P, R, en forte que Y➡Z=K, l'on aura (Corol. 3.) P. Y:: AB. AE. le nomb. 1. du Corol. 2.. donnera de plus AE. AF:: Y. Z. & confequemment AE. AEAF:: Y. Y+Z:: Y. K. ou Y. K:: AE. AE→ AF. Donc en raison ordonnée (entre cette derniere Analogie & la premiere ) P. K : : AB. AE➡AF. On trouvera de même R.K:: AC. AE-+AF. Mais les triangles (conftr.) semblables BAE, CDF, ayant AB-DC, ont aussi DF AE. Donc P. K:: AB. DE+AF :: AB. AD. Et R.K:: AC.DF+AF:: AC. AD.

COROLLAIRE V.

AD

BDxBD ACxAC
AD

AD

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&

Si l'angle PAR compris entre les directions des puiffances P,R, étoit droit, & qu'ainfi le parallelogramme ABDC fût rectangle, par exemple, dans la Fig. 52. les angles (Hyp.) droits en E, rendant alors les trois triangles ABD, AEB, BED, femblables entr'eux, l'on auroit pour lors AD. AB:: AB. AE. Et AD. BD :: BD. DE. D'où refulteroit AEBAB, DE ou AF= de-là AE. AF:: ABXAB. ACXAC. Or fuivant les noms. du Corol. 4. le nomb. 1. du Corol. 2. donne en general Y.Z::AE. AF. Donc l'on auroit ici Y. Z:: ABXAB. ACxAC. c'est-à-dire, que dans la prefente hypothese de l'angle PAR droit, les parties Y,Z, que les puiffances P.,R, foûtiendroient du poids K en équilibre avec elles, feroient toujours entr'elles comme les quarrez des proportionnelles AB, AC, de ces puiffances P, R.

COROLLAIRE VI.

Voilà (Corol. 2. 3. 4. 5.) pour le cas où les puiffances F16. Sal P., R, tirent toutes deux de bas en haut, contre le poids Ken équilibre (Hyp.) avec elles. Mais fi une d'elles, comme R dans la Fig. 54. tire de haut en bas en faveur de ce poids, & l'autre P encore de bas en haut: alors la force verticale F de la puiffance R, fe joignant à la pefan

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teur du poids en fa faveur fuivant une même direction: AX, contre la feule force verticale E de la puiffance P, qui par fon action en fens contraire fuivant cette même direction, les foûtient feule toutes deux en équilibre; cette force verticale E, qui foutient ainfi feule ces deuxlà réunies contr'elle en fens directement contraire au sien, doit ( Lem. 3. Corol. 2. nomb. 3.) en égaler la fomme, & être E=F+K, ou E-F-K. Mais le present Th. 2. donnant E. F: : AE. AF. donne confequemment E. E-F :: AE. AE-AF. Donc E. K:: AE. AE-AF. Mais la part... 1. du Lem. 3. donne P. E:: AB. AE. Donc (en raison ordonnée ) P. K:: AB. AE-AF. on trouvera de même R. K:: AC. AE-AF. Mais les triangles (conftr.) femblables BAE, CDF, ayant AB DC, ont auffi AE-DF. Donc P. K:: AB. DF-AF:: AB. AD. Et R. K:: AC. DF -AF:: AC. AD.

COROLLAIRE. VII.

Les Corol. 4. 6. donnant P. K:: AB. AD. Et R. K:: 54.55.56. AC. AD. dans tous les cas imaginables d'équilibre entre deux puiffances P, R, avec des cordes feulement; chacune des puiffances P, R, fera toûjours au poids K en équilibre (Hyp.) avec elles, comme chacun des côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, pris fur leurs directions, fera à la diagonale AD de ce parallelogramme, prise fur la direction de ce poids, ainfi qu'on l'a déja vû dans les part. 3. 4. du Th. 1. Et de-là fuit encore tout ce qu'on a tiré des Corollaires de ces part. 3. 4, du Th. 1.

COROLLAIRE VIII.

Donc, puifque (Corol. 4.) AD=AE-+AF, lorfque les puiffances P, R, tirent toutes deux de bas en haut contre le poids K, comme dans les Fig. 52. 53. 55. 56. & ( Corol. 6.) AD AE-AF, lorfqu'une de ces puiffances, comme P dans la Fig. 54. tire de bas en haut contre ce poids, & l'autre R de haut en bas en fa faveur ; ces deux. puiffances P, R feront (Corol. 7.) à ce poids K, comme

leurs proportionnelles AB, AC, à la fomme AE+AF de leurs fublimitez dans le premier cas, & comme leurs proportionnelles à la difference AE-AF, dont la subliinité de l'une furpaffe la profondeur de l'autre dans le fe.cond.

COROLLAIRE IX.

Si les cordes GP, HR, des puiffances P, R, étoient paralleles entr'elles, & confequemment aufli (Theor. I part. 1.) toutes deux paralleles à la direction XD du poids K en équilibre (Hyp.) avec elles; leurs fublimitez AE, AF, dans les Fig. 52. 55. 56. où la fublimité AE de P, & la profondeur AF de R dans la Fig. 54. fe confondant alors avec leurs proportionnelles AB, AC.

1o. Le poids K feroit (Corol. 8.) à chacune de ces deux puiflances P, R, comme la fomme ou la difference de leurs proportionnelles feroit à chacune de ces mêmes proportionnelles correfpondantes: fçavoir, comme la fomme ABAC, lorfque ces puiffances tirent toutes deux de bas en haut ; & comme la difference ABAC, lorfqu'une d'elles tire de bas en haut, & l'autre de haut en bas. D'où il fuit que dans ce cas de directions paralleles de deux puiffances, & d'un poids en équilibre avec elles, ce poids fera toûjours égal à la fomme ou à la difference de ces deux puiffances, ainfi qu'on l'a déja vû dans le Corol. 11.

(

2°. Lorfque ces puiffances P, R,tirent toutes deux de bas en haut, les parties du poids K, qu'elles foutiennent chacune pour fa La part, font entr'elles Corol. 2. nomb. 1.) comme les proportionnelles de ces puiffances; & chacune de pefanteur égale ( Corol. 4.) à chacune de ces puiffances. Ce qui fuit encore immediatement de l'Ax. 4.

Voilà (Corol. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.) pour ce qui concerne tous les cas dans lefquels les puiffances P, R, tirent toutes deux de bas en haut, ou une de bas en haut, & l'autre de haut en basi voici prefentement pour le cas où une de ces puissances tire de bas en baut, & l'autre horisontalement.

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