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FIG. 53.

COROLLAIRE X. Lorsqu'une des deux puissances, comme R dans la Fig: 53. tire de bas en haut contre le poids K, pendant que l'autre P tire horisontalement, c'ett-à-dire ( Déf. 14.) perpendiculairement à la direction XD de ce poids supe posé en équilibre avec ces deux puissances;

1°. Ce cas rendant AE=0, en ce que la perpendiculaire BE sur la diagonale AD romberoit alors en A , la puissance P n'auroit point ici de force verticale E, ni pour ni contre le poids K suivant sa direction KX. Cela fuit aussi de ce que le Corol. 1. donnant en general E. F::CF. FQ. le cas present , qui rend FQ_infinie, & conconsequemment FC nulle par rapport à elle , rendroit ausli E nulle

par rapport à F, c'est-a-dire, E=o-, la force verticale F de la puillance R étant finie.

2o. Cela étant, la puissance P ne loûtiendroit ici rien ( Lem. 3. Corol. 2. nomb. 1.) de la pesanteur du poids K: elle n'y serviroit qu'à soutenir l'effort horisontal (Lem. 3. Corol

. 2:.nomb. 1: 2: ) de la puissance R, auquel cette puissance P directement opposée , & en équilibre avec lui, seroit ( Lem. 3. Corol. 2: nomb. 3. ) égale.

3°: L'effort vertical F de la puissance R , qui doit ici tirer de bas en haut , y loûtiendroit donc seul la pesanteur du poids K; & confequemment ( Lem. 3. Corol. 2: nomb. 3. ) il lui seroit égal. Ce qui suit aussi de ce que la part. E. du Lem. 3. donnant F. Ř :: AF: AC. Et le Corol. 6. donnant R.K:: AC. AD: l'on auroit ici ( en raison ordonnée :) F. K::AF. AD. de sorte que la construction donnant ici AF=AD, l'on y auroit aussi F=K, ainsi qu'on le vient de voir.

4o. Ayant ici AF=AD, les puissances P, R, y seront au poids K Corol. 8.) comme leurs proportionnelles AB, AG, à la sublimité AF de la seconde R de ces deux puisfances.

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SCHOLI E. F Des deux forces, l'une verticale , & l'autre horison_ F16.32. 13: tale, dont est composée ( Lem. 2: Corol. 2.) l'oblique de 54. 88. so! chacune des puissances P, R, voilà jusqu'ici l'usage de la premiere, c'elt-à-dire, de la force verticale de chacune de ces deux puissances , lequel usage consiste en ce que cette force verticale est employée toute entiere contre ou pour le poids K suivant la direction, selon que la puislance qui l'employe, tire de bas en haut, ou de haut en bas; de sorte que les forces horisontales suivant AS, AV, des puissances P,R , ne faisant ni pour ni contre la pefanteur du poids K, tout ce qui relte d'action à ces deux puissances pour solltenir ce poids: consiste dans la somme ou dans la difference de leurs forces verticales suivant AE, AF, selon que ces mêmes puissances obliques tirent toutes deux de bas en haut , ou l'une de bas en haut plus fort -que l'autre de haut en bas:& comme cette fomme ou difference de forces verticales est ( Déf. 14. ) directe ment opposée à la pesanteur du poids K , l'égalité de cette pesanteur du poids K avec cette somme de forces verticales des puissances P, R, dans le premier cas, ou avec la difference de ces mêmes forces verticales dans le second, doit mettre ( Ax.3.) ce poids K en équilibre avec ces deux puissances P, R ; & reciproquement s'il y a équilibre entre lui & elle, l'une ou l'autre de ces deux égalitez doit ( Ax. 4. ) s'y trouver. Tel est l'usage qu'on vien de voir des forces verticales suivant AE, AF, des puisfances P, R, dans la démonstration du present Th. 2. & dans ses Corollaires.

II. Pour ce qui est des forces horisontales de ces mêmes puissances P, R, si dans le plan PAR de leurs directions , par leur concours A, on fait SV horisontale, c'est-à-dire ( Déf. 14. ) perpendiculaire à la direction XD du poids K, laquelle horisontale foit rencontrée en S,V; par B, CV, paralleles à cette direction XD; on verra ( ainsi que dans la démonitration de la part. 3.du Lem. 3.)

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que les forces horisontales suivant AS, AV, des puissan-
ces obliques P, R, font directement opposées & égales
entr'elles : de sorte que n'ayant rien ni pour ni con-
tre le poids K, ne tendant ni à le faire descendre, ni à le
faire monter ; tout leur emploi & tout leur usage est de
s'empêcher mutuellement par leur égalité & leur directe
.contrarieté de le mouvoir à droit ni à gauche , ainsi qu'on
vient de voir ( art. 1.) que l'égalité & l'opposition directe
de la pesanteur de ce poids avec la somme ou avec la dif-
ference des forces verticales de ces mêmes puissances
obliques P, R , empêche ce poids de monter ni descendre.

C'est par ce double empêchement d'aller ni à droit ni à
gauche, de monter ni descendre, que le fait le repos &
le parfait équilibre de ce poids K avec ces deux puissan-
ces P, R.

DEFINITION XVII.

F 16.58. 52.

Si d'un angle quelconque E d'un triangle rectiligno aussi quelconque BEC, sur le milieu H de son côté oppofé BC, on mene dans la Fig. 58. une ligne droite EH, laquelle soit divisée de maniere que EX soit double de AH; ce point A s'appelle d'ordinaire le centre de gravité de ce triangle. Et fi dans la Fig. 59. la droite FA menée du sommet F d'une pyramide BECF à ce centre de gravité A de la base BEC, est divisée en G, de maniere que FG soit triple de AG;ce point, G s'appelle ordinairement aussi le centre de gravité de cette pyramide.

Nous parlerons ici le même langage , sans cependant nous mettre encore en peine si la proprieté qu'on attribue à ces deux points A, G, d'étre tels (Déf. 14. ) qu'en quelque situation que le triangle BEC seul, foit appuyé sur le premier A de ces points, de la pyramide BECF Jur le second G , ces deux fagures y demeureront toujours en équilibre chacune par la seule pesanteur uniforme dans toutes ses parties , d'autres proprietez de ces points A, G, par rapport à cette Section-ci , nous engagent à en parler, & consequemment à leur donner des noms, ceux-en valent bien d'autres,

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THEOR EME III. 1. Si trois puissances P, R, K, appliquées à des cordes feu- 1 16.580 lement, sont en équilibre entr'elles , leurs directions ou cordes PB, RC, KE , prolongées , fe rencontreront dans le centre de gravité d'un triangle reetiligne , par les trois angles duquel elles passeront.

II. Ces cordes ou directions prolongées auront leurs parties comprises entre ce centre de gravité & ces angles, en raison de ses mêmes puissances.

III. Reciproquement trois puissances P, R, K, étant appliquées à trois cordes AP, AR , AK, qui passent par les trois angles B, C, E, d'un triangle rectiligne quelconque BEC, au centre A de gravité duquel soit le næud qui retient ces trois cordes attachées ensemble ; ces trois puissances P, R, K, e se soủ tiendront mutuellement en équilibre en cet état ( de leurs cordes) si elles sont entr'elles comme les distances AB, AC, AE., de ce centre A, aux angles B, C, E, par l'on suppose que leurs directions passent.

DEMONSTRATION. PART. I. Puisque (Hyp.) les trois puissances P, R, K, font ici en équilibre entr'elles suivant des directions dif. ferentes, la part. 1. du Th. 1. fait voir que

leurs cordes, PB,RC, KĖ, seront en même plan, & que prolongées elles s'y rencontreront toutes trois en un même point quelconque A. Cela étant, sur une d'elles , par exemple, , sur KA prolongée soit prise AD à volonté, sur laquelle, comme diagonale, soit fait le parallelogramme ABDC, dont les côtez AB, AC, soient sur les deux autres dire

tions AP , AR. Cela fait , si l'on prend AE=AD fur AK , & qu'on mene les droites BC , BE, CE , dont la premiere BC, rencontre AD en H; l'on aura 2.XAHEAD ( constr.) =AE. Donc ( Déf. 17.) le point A est le centre de gravité du triangle BÉC. Par consequent les diredions ou cordes prolongées PB, RC, KE, se rencontresont toutes trois dans le centre de gravité A d'un triangle

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rectiligne BEC, par les angles B,C,E, duquel elles passeront. Ce qu'il falloit 1o. dcmontrer.

Part. II. En ce cas d'équilibre entre les trois puissances P, R, K, la part. 3. du Th. 1. fait voir qu'elles sont entr'elles comme les lignes AB, AC, AD. Mais ( constr.) AE=AD. Donc ces trois puissances P, R, K, font aufli entr'elles comme les parties AB, AC, AE, de leurs dire&tions, comprises entre le point A (part. 1.).centre de gravité du triangle BEC, & les angles B,C,E, de ce triangle, par lesquelles ces directions passent: c'est-à-dire, coinine les distances de ce centre de gravité A à ces angles B, C, E. Ce qu'il falloit 2o. démontrer.

PART. III. Sur KĀ prolongée vers D fait prise AD= AE, laquelle rencontre en H le côté BC du triangle supposé BEC. Le point A étant ( Hyp. ) le centre de gravité de ce triangle, l'on aura ( Déf. 16.) BH=HC,& AH= AE (constr.) =AD, & consequeminent AH=HD. Donc en menant les droites BD , DC , le quadrilatere ABDC sera un parallelogramme qui aura sa diagonale AD à ses côtez AB, AC, comme AE est à ces mêmes côtez. Mais ( Hyp. } AE.est ici à ces côtez AB, AC, comme la puissance K eft aux puissances P, R. Donc ce parallelogramme ABDC aura pareillement ici la diagonale AD à les côtez AB, AC, en raison de la puissance K aux deux autres P, R. Donc( Th. 1.part. 15. i ces trois puissances K, P, R , seront ici en équilibreentrelles. Ce qu'il falloit 3 demontrer.

COROLLA I R E.

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Cette part. 3. jointe au Corol. 4. du Th. 1. fait voir en Géométrie que les distances AB, AC, AE, du centre de gravité A d'un triangle rectiligne quelconque BEC à ses angles B, C, E, sont toujours entr'elles comme les sinus des angles EAC, EAB,BAC, que prolongées elles traverseroient : puisque trois puissances P, R, K, en raison de ces trois diitances AB, AC, AE, & appliquées cha

A

Cline

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