FIG. 53.

COROLLAIRE X...

Lorfqu'une des deux puiffances, comme R dans la Fige 5.3. tire de bas en haut contre le poids K, pendant que l'autre P tire horisontalement, c'ett-à-dire ( Déf. r4. perpendiculairement à la direction XD de ce poids fuppofé en équilibre avec ces deux puiffances;

1o. Ce cas rendant AEo, en ce que la perpendiculaire BE fur la diagonale AD tomberoit alors en A, la puiffance P n'auroit point ici de force verticale E, ni pour ni contre le poids K fuivant fa direction KX. Cela fuit auffi de ce que le Corol. 1. donnant en general E. F:: CF. FQ. le cas prefent, qui rend FQ infinie, & conconfequemment FĈ nulle par rapport à elle, rendroit auffi É nulle par rapport à F, c'est-à-dire, E=o, la force verticale F de la puillance R étant finie.

2o. Cela étant, la puiffance P ne foûtiendroit ici rien (Lem. 3. Corol. 2. nomb. 1.) de la pefanteur du poids K: elle n'y ferviroit qu'à foutenir l'effort horisontal (Lem. 3. Corol. 2.nomb. 1. 2.) de la puiffance R, auquel cette puiffance P directement oppofée, & en équilibre avec lui, feroit (Lem. 3. Corol. z. nomb. 3.) égale.

3°. L'effort vertical F de la puiffance R, qui doit ici tirer de bas en haut, y foûtiendroit donc feul la pesanteur du poids K; & confequemment (Lem. 3. Corol. 2. nomb. 3.) il lui feroit égal. Ce qui fuit auffi de ce que la part. 1. du Lem. 3. donnant F. R:: AF. AC. Et le Corol 6.donnant R.K:: AC. AD: l'on auroit ici ( en raison ordonnée) F. K:: AF. AD. de forte que la conftruction. donnant ici AF AD, l'on y auroit auffi FK, ainfi qu'on le vient de voir.

4°. Ayant ici AF AD, les puiffances P, R, y feront au poids K Corol. 8.) comme leurs proportionnelles AB, { AG, à la fublimité AF de la feconde R de ces deux puif fances..

SCHOL I E.

F. Des deux forces, l'une verticale, & l'autre horifon- FIG. 52. 53. tale, dont eft compofée (Lem. 2. Corol. 2.) l'oblique de 54. 55. 56: chacune des puiffances P, R, voilà jufqu'ici l'ufage de la premiere, c'elt-à-dire, de la force verticale de chacune de ces deux puiffances, lequel ufage confifte en ce que cette force verticale eft employée toute entiere contre ou pour le poids K fuivant fa direction, felon que la puiflance qui l'employe, tire de bas en haut, ou de haut en bas; de forte que les forces horifontales fuivant AS, AV, des-puiffances P, R, ne faisant ni pour ni contre la pefanteur du poids K, tout ce qui relite d'action à ces deux puiffances pour foûtenir ce poids, confifte dans la fomme ou dans la difference de leurs forces verticales fuivant AE, AF, felon que ces mêmes puiffances obliques tirent toutes deux de bas en haut, ou l'une de bas en haut plus fort-que l'autre de haut en bas : & comme cette fomme ou difference de forces verticales eft ( Déf. 14.) directement oppofée à la pefanteur du poidsK, l'égalité de cette pefanteur du poids K avec cette fomme de forces verticales des puillances P, R, dans le premier cas, où avec la difference de ces mêmes forces verticales dans le fecond, doit mettre ( Ax. 3.) ce poids K en équilibre avec ces deux puiffances P, R ; & reciproquement s'il y a équilibre entre lui & elle, l'une ou l'autre de ces deux égalitez doit (Ax. 4.) s'y trouver. Tel eft l'ufage qu'on vient de voir des forces verticales fuivant AE, AF, des puiffances P, R, dans la démonstration du prefent Th. 2. & dans fes Corollaires.

II. Pour ce qui eft des forces horisontales de ces mêmes puiffances P, R, fi dans le plan PAR de leurs direations, par leur concours A, on fait SV horifontale, c'est-à-dire (Déf. 14.) perpendiculaire à la direction XD du poids K, laquelle horifontale foit rencontrée en S, V; par B, CV, paralleles à cette direction XD; on verra tainfi que dans la démonitration de la part. 3.du Lem. 3.)

:

que les forces horifontales fuivant AS, AV, des puiffances obliques P, R, font directement oppofées & égales entr'elles de forte que n'ayant rien ni pour ni contre le poids K, ne tendant ni à le faire defcendre, ni à le faire monter; tout leur emploi & tout leur ufage eft de s'empêcher mutuellement par leur égalité & leur directe contrarieté de le mouvoir à droit ni à gauche, ainfi qu'on vient de voir (art. 1.) que l'égalité & l'oppofition directe de la pefanteur de ce poids avec la fomme ou avec la difference des forces verticales de ces mêmes puiffances obliques P, R, empêche ce poids de monter ni defcendre. C'eit par ce double empêchement d'aller ni à droit ni à gauche, de monter ni defcendre, que fe fait le repos & le parfait équilibre de ce poids K avec ces deux puiffances P, R.

DEFINITION XVII.

Si d'un angle quelconque E d'un triangle rectiligne auffi quelconque BEC, fur le milieu H de fon côté oppofé BC, on mene dans la Fig. 58. une ligne droite ÊH, laquelle foit divifée de maniere que EA foit double de AH; ce point A s'appelle d'ordinaire le centre de gravité de ce triangle. Et fi dans la Fig. 59. la droite FA menée du fommet F d'une pyramide BECF à ce centre de gravité A de fa bafe BEC, eft divifée en G, de maniere que FG foit triple de AGice point G s'appelle ordinairement auffi le centre de gravité de cette pyramide.

Nous parlerons ici le même langage, fans cependant nous mettre encore en peine fi la proprieté qu'on attribue à ces deux points A, G, d'etre tels (Déf. 14.) qu'en quelque fituation que le triangle BEC feul, foit appuyé fur le premier A de ces points, & la pyramide BECF fur le fecond G, ces deux figures y demeureront toûjours en équilibre chacune par la feule pefanteur uniforme dans toutes fes parties, d'autres proprietez de ces points A, G, par rapport à cette Section-ci, nous engagent à en parler, & confequemment à leur donner des noms, ceux-là en valent bien d'autres,

THEOREME III.

I. Si trois puiffances P, R, K, appliquées à des cordes feu- 10.58; lement, font en équilibre entr'elles, leurs directions ou cordes PB, RC, KE, prolongées, fe rencontreront dans le centre de gravité d'un triangle rectiligne, par les trois angles duquel elles pafferont.

II. Ces cordes ou directions prolongées auront leurs parties comprises entre ce centre de gravité & ces angles, en raison de ses mêmes puiffances.

III. Reciproquement trois puiffances P, R, K, étant appliquées à trois cordes AP, AR, AK, qui passent par les trois angles B, C, E, d'un triangle rectiligne quelconque BEC, au centre A de gravité duquel foit le naud qui retient ces trois cordes attachées enfemble; ces trois puissances P, R, K, fe foûtiendront mutuellement en équilibre en cet état (de leurs · cordes) fi elles font entr'elles comme les diftances AB, AC, AE, de ce centre A, aux angles B, C, E, par où l'on fuppofe que leurs directions paffent.

DEMONSTRATION.

PART. I. Puifque (Hyp.) les trois puiffances P, R, K, font ici en équilibre entr'elles fuivant des directions dif- ferentes, la part. 1. du Th. 1. fait voir que leurs cordes PB, RC, KÊ, feront en même plan, & que prolongées elles s'y rencontreront toutes trois en un même point quelconque A. Cela étant, fur une d'elles, par exemple, fur KA prolongée foit prife AD à volonté, fur laquelle, comme diagonale, foit fait le parallelogramme ABDC, dont les côtez AB, AC, foient fur les deux autres dire-&tions AP, AR. Cela fait, fi l'on prend AE AD fur AK, & qu'on mene les droites BC, BE, CE, dont la premiere BC, rencontre AD en H; l'on aura 2×AH AD (conftr.) =AE. Donc (Déf. 17.) le point A eft le centre de gravité du triangle BEC. Par confequent les diretions ou cordes prolongées PB, RC, KE, fe rencontreront toutes trois dans le centre de gravité A d'un triangle

reciligne BEC, par les angles B, C, E, duquel elles pafferont. Ce qu'il falloit 1°. demontrer.

PART. II. En ce cas d'équilibre entre les trois puiffances P, R, K, la part. 3. du Th. 1. fait voir qu'elles font entr'elles comme les lignes AB, AC, AD. Mais (constr.) AE AD. Donc ces trois puiffances P, R, K, font auffi entr'elles comme les parties AB, AC, AE, de leurs directions, comprises entre le point A (part. a.) centre de gravité du triangle BEC, & les angles B, C, E, de ce triangle, par lefquelles ces directions paffent: c'eft-à-dire, comme les diftances de ce centre de gravité A à ces angles B, C, E. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

PART. III. Sur KA prolongée vers D fait prife AD= AE, laquelle rencontre en H le côté BC du triangle fuppofé BEC. Le point A étant (Hyp.) le centre de gravité de ce triangle, l'on aura ( Déf. 16.) BH HC, & AH=

AE (constr. ) =÷AD, & confequemment_AH=HD. Donc en menant les droites BD, DC, le quadrilatere ABDC fera un parallelogramme qui aura fa diagonale AD à fes côtez AB, AC, comme AE eft à ces mêmes côtez. Mais (Hyp.) AE.eft ici à ces côtez AB, AC, comme la puiffance K eft aux puiffances P, R. Donc ce parallelogramme ABDC aura pareillement ici fa diagonale AD à les côtez AB, AC, en raifon de la puiffance K aux deux autres P, R. Donc( Th. 1.part..5.) ces trois puiffances K, P, R, feront ici en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit 3°. demontrer.

COROLLAIRE.

Cette part. 3. jointe au Corol. 4. du Th. 1. fait voir en Géométrie que les distances AB, AC, AE, du centre de gravité A d'un triangle rectiligne quelconque BEC à fes angles B, C, E, font toujours entr'elles comme les finus des angles EAC, EAB, BAC, que prolongées elles traverferoient: puifque trois puiffances P, R, K, en raison de ces trois ditances AB, AC, AE, & appliquées cha

cune