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AVERTISSEMENT IT.

On ne fuppofe ici de Géométrie dans le Lecteur, que la valeur des fix premiers Livres & de l'onziéme des Elemens d'Euclide; mais auffi on l'en suppose affez inftruit pour n'avoir pas besoin de nous affujettir à les citer dans l'ufage que nous en allons faire. S'il arrive qu'on fuppofe ici quelque chofe de plus, on en inftruira le jeune Lecteur par exemple, comme l'on ne trouve pas d'ordinaire dans les Elemens d'Euclide certains fignes ufitez en Algebre, defquels nous nous fervirons quelquefois dans la fuite, pour abreger nos démonstrarions, & pour moins partager l'efprit de ce Lecteur. Voici l'explication de ce que nous en employerons.

EXPLICATION

De quelques marques ou fignes dont on fervira dans la fuite pour y abreger les démonstrations, & les rendre plus claires.

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1. Cette marque fignifie plus, ou addition: ainfi 75 fignifie 7 plus 5, ou 5 ajoûté à 7.

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II. Celle-ci fignifie moins, ou soustraction: ainsi 12-4 fignifie 12 moins 4, ou 4 retranchez de 1 2. III. Celle-ci x fignifie multiplication: ainfi 3×5 fignifie 3 multipliez par 5.

La multiplication entr'elles de deux ou de plufieurs grandeurs, appellée ( fi l'on veut ) a, b, c, &c. s'exprimera auffi par la juxta-pofition arbitraire de ces lettres comme en un feul mot, ainfi que dans l'Algebre, dont nous ne fuppoferons que cela, pour ne rien dire ici qui ne foit à la portée des moindres Géométres. Ainfi dans la fuite par ab, ou ba, on entendra a multiplié par b, par a, de même que par axb ou bxa pareillement, par abc, acb, bac, &c. on entendra également la multiplication entr'elles des trois grandeurs appellées a, b, c, de même que par axbxc, axcxb, bxaxc, &c.

.ou b

IV. Celle-ci fignifie égalité : ainfi 7512 fi gnifie que 75 eft égal à 12; de même 12-4-8: fignifie que 1 2-4 est égal à 8; pareillement 7+5= 16-4 fignifie que 75 eft égal à 16-4, chacune de ces deux quantitez étant égale à 12..

V. Celle-ci > ou < fignifie majorité du côté de forr ouverture, & minorité du côté de fa pointe: ainfi 12> 8 fignifie que 12 eft plus grand que 8 ; & 8 < 1 2 fignifie au contraire que 8 eft plus petit que 1 2.

VI. Ces quatre points :: placez après le fecond des quatre termes d'une analogie ou proportion, dont les trois autres font fuivis chacun d'un point, font la marque de cette proportion: ainfi 2.4:: 3.6. fignifie que 2 font à 4, comme 3 font à 6. Et pour exprimer une proportion continue, c'est-à-dire, une fuite de raifons ou de rapports femblables, on repete les quatre points de deux en deux termes, en mettant un point après chacun des autres; par exemple, 2.4:: 3.6:: 5.10::7. 14: &c. fignifie que 2 font à 4, comme 3 à 6, comme 5 10, comme 7 à 14, &c.

VII. Si à la place des quatre points :: précedens, placez entre le fecond & le troifiéme des quatre termes où ils fignifioient égalité de raifon, on met quelqu'un des deux fignes>,<, il y fignifiera inégalité de raison: fçavoir, le premier >, majorité de raifon, & le fecond <, minorité de rzifon. Ainfi 5. 2 > 6. 3. fignifie que 5 font à 2 en plus grande raifon que 6. à 3. Au contrai re, 2.53.6. fignifie que 2 font à 5 en moindre raifon que 3 à 6.

VIII. La lettre Л longue fera prise dans la suite pour une marque ou caracteriitique qui aura deux fignifications differentes, felon qu'elle précedera des angles, ou d'autres grandeurs.

1° Elle fignifiera finus d'un angle, lorfqu'elle le précedera: par exemple, ABC fignifiera le finus d'un angle appellé ABC.

2o. Cette même lettre f longue fignifiera auffi la fomme

de plufieurs autres grandeurs, lorfqu'elle les précedera par exemple, s3+5+7=15 fignifiera que la fomme de 3+57 vaut 15 ; de même (6+7¬5=8 fignifiera que 675 valent 8.

On aura foin dans la fuite d'avertir dans lequel de ces deux fens cette longue fera prife: mais en cas qu'on oubliât de le faire, ce double fens eft ( je croi) ici affez marqué pour ne s'y pas méprendre. On ne donne ici cette double fignification à cette longue, que parce qu'étant la premiere lettre des mots de finus & de fomme, elle fera très-propre à les rendre prefens à l'imagination ou à l'efprit; outre que cette longue fitalique n'entre d'ordinaire, & n'entrera dans la fuite ni dans le calcul, ni dans › les figures pour aucune autre fignification.

LEMME I.

Pour préparer l'imagination aux mouvemens compofez, PLANC. IF concevons le point A fans pefanteur uniformement mû vers B FIG. 1. le long de la droite AB, pendant que cette ligne se meut aussi uniformement vers CD le long de AC, en demeurant toujours parallele à elle-même, c'est-à-dire, faifant l'angle toûjours le même quelconque avec cette ligne immobile AC: de ces deux mouvemens commencez en même tems, foit la viteffe du premier à la viteffe du fecend, comme les côtez AB, AC, du parallelogramme ABCD, le long defquels ils fe font. Quel que foit ce parallelogramme ABCĎ, je dis que par le concours des deux forces productrices de ces deux mouvemens dans le mobile A, ce point parcourra la diagonachacune le AD de ce parallelogramme, pendant le tems que d'elles lui en auroit fait parcourir feule chacun des côtez AB, AC, correfpondans.

DEMONSTRATION.

Puifque (hyp.) la vîteffe du point mobile A vers B le long de la droite mobile AB, eft à la vîteffe qu'il a avec elle vers CD :: AB. AC:: CD. AC (par un point quel

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FIG. 1.

conque G de AD foit une parallele KHà CD, laquelle
rencontre AC, BD, en K,H,) :: KG. AK. L'ax.
7 fait
voir qu'à l'inftant que la ligne AB aura parcouru AK, &
fera arrivée en KH, le point mobile A aura parcouru
fur elle fa partie KG, & fera ainfi pour lors en G fur
la diagonale AD du parallelogramme BC : lequel point
Gayant
été pris indéterminement fur cette diagonale
AD, fait voir qu'en quelque point que la ligne mobile
AB coupe cette diagonale, le point mobile A y fera toù-
jours; & confequemment qu'il fera fur elle en D avec
le point B de cette mobile AB, lorfqu'elle fera en CD.
Donc par le concours des deux forces productrices des
deux mouvemens fuppofez à ce point mobile A le long
de AB & de AC, il parcourra la diagonale AD du pa-
rallelogramme ABCD pendant le temps que chacune
d'elles lui en auroit fait parcourir feule chacun des cô-
tez AB, AC, correfpondans. Ce qu'il falloit démontrer.

SCHOLI E.

Un point mû le long d'une ligne qui fe meut auffi elle-même, eft une chofe fouvent fuppofée par les Géometres pour la generation de plufieurs lignes courbes differentes felon la variabilité des mouvemens fuppofez à la fois dans le point qui les trace, comme le point mobile A en vient de tracer une droite par le concours de deux mouvemens uniformes. Ce point mobile fe conçoit fans peine, en imaginant un corps ainfi mù, & diminué pendant cela par l'imagination, jufqu'à être réduit en un tel point.

par

LEMME II.

Si le point A fans pesanteur est pouffé en même tems uniformement deux forces ou puiffances E, F, toutes employées fur lui, fuivant des lignes AC, AB, qui faffent entrelles quelqu'angle CAB que ce foit, & que la force ou puiffance E fuivant AC, foit à la force ou puissance F fuivant AB, comme AC eft à AB. Ce point A par le concours

dé ces deux forces E, F, fans le fecours d'aucune ligne mobile, parcourra la diagonale AD du parallelogramme ABCD dans le même tems qu'elles lui en auroient fait parcourir Separement les côtez AC, AB, qu'on leur fuppofe proportion

nels..

DEMONSTRATION..

Deux corps mûs enfemble fans s'aider ni fe nuire, comme lorfqu'ils le font d'égales vîteffes en même fens, chacun par une force particuliere, l'étant chacun comme s'il fe mouvoit feul de la force ou vîteffe qui lui est propre ; il est manifefte que le point A pouffé fuivant AC vers C par la puiffance E, l'eft de même que fi la ligne AB l'étoit en même tems par quelqu'autre caufe qui la mût parallelement à elle-même fuivant ACvers CD, d'une viteffe égale à celle que la puiffance E donneroit feule de A vers C à ce point A; & qu'alors ce point fans être emporté par cette ligne mobile AB, feroit toûjours fur elle ainfi mûe, comme fi elle l'emportoit effectivement avec elle, pendant que la force ou puiffance F le meuvroit le long de cette même ligne AB, ainfi que dans le Lem. 1. Donc ce point mobile A pouffé tout à la fois par les deux puiffances E, F, fuivant AC, AB, doit fe mouvoir de même que fi dans le tems que la force F le meut de A vers B le long de la ligne AB, il étoit emporté par cette ligne mûe parallelement à elle-même le long de AC vers CD, d'une vîteffe égale à celle que la puiffance E donneroit feule à ce point A vers C; c'est-à-dire, (ax. 6.) d'une vîteffe qui fut à celle que ce point auroit le long de cette ligne AB :: E.F (hyp.) :: AC. AB. Or le Lem. 1. fait voir que le point A ainfi mû de A vers B le long de la ligne AB, pendant qu'elle l'emporteroit ainfi vers CD, parcourroit la diagonale AD du parallelogramme BC pendant le même tems que chacune des forces E, F, productrices de ce qu'il a de mouvement en ces deux fens, lui en feroit seule parcourir chacun des côtez AC, AB, correfpondans.

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