COROLLAIRE IV.

La part. 4. du present Th. 4. donne encore le reciproque des deux précedens Corol. 2. 3. fçavoir, que tant de puiffances quelconques qu'on voudra au-deffus de trois, fucceffivement appliquées à autant de cordes atta chées ensemble par un feul noeud commun, & de directions données à volonté, peuvent être entr'elles dans une infinité de rapports differens, & cependant faire toûjours équilibre fuivant ces mêmes directions, pourvû (Lem. 17. Corol. 2.) que ces directions foient répandues en plus d'un demi-cercle ou d'une demi-sphere, dont le noeud commun de ces cordons foit le centre & que

་

61.

pour le cas de quatre cordons leurs directions données foient toutes en même plan: tous les autres cas de plus de quatre cordons les auront en tels plans qu'on voudra, ainfi qu'on le verra dans le Prob. de la Sect. IX. avec les précautions qu'il faut prendre pour trouver ce dont il s'agit ici, lefquelles nous y engageroient à une trop grande digreffion: c'eft pour cela que nous n'y allons parler que de directions données quelconques en même plan au deffus de trois, & répandues en plus d'un demicercle, foient donc, par exemple, dans les Fig. 60. 61. FIG. 601 en même plan, & répandues en plus d'un demi-cercle des directions données AP, AQ, AR, AS, AK, suivant lefquelles les cinq puiffances P, Q, R, S, K, foient en équilibre entr'elles; la part. 4. fait voir, dis-je, qu'une infinité d'autres puiffances cinq à cinq peuvent encore être fucceffivement en équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions, quoique ces nouvelles puiffances de chaque fois cinq, foient entr'elles dans des rapports tout differens de ceux de celles-là, & de toute autre fois cinq. Pour le voir, fur une quelconque des directions données, par exemple, fur KA prolongée vers D, foit prife AD à volonté, & de même AF à volonté fur telle autre AS qu'on voudra de ces directions données; foit le parallelogramme AFDG, dont AD foit la diagonale; de

même ayant pris AE à volonté fur une troifiéme quelconque AR de ces directions, foit achevé le parallelogramme AEGH, dont AG foit la diagonale. Enfin (puifqu'il n'y a ici que cinq directions données) fur les deux autres directions AP, AQ, foient menées les droites HB, HC, qui leur foient reciproquement paralleles, & qui avec elles faffent le parallelogramme BACH, dont AH foit la diagonale.

Cela fait, la part. 2. fait voir que fi l'on applique aux directions données AP, AQ, AR, AS, AK, autant de puiffances P, Q, R, S, K, qui foient entr'elles comme AB, AC, AE, AF, AD; toutes ces puiffances ainfi dirigées feront en équilibre entr'elles. Donc toutes ces proportionnelles (hors AC, AB, qui doivent varier avec les autres) étant arbitraires dans la conftruction précedente; toutes les puiffances P, Q, R,S, K, le font auffi, hors les deux premieres P, Q, qui doivent varier avec les autres. Donc une infinité de puiffances cinq à cinq, de rapports tout differens, peuvent faire fucceffivement équilibre entr'elles fuivant les mêmes cinq directions données AP, AQ, AR, AS, AK; & ainfi de tout autre nombre de directions données, & confequemment auffi de puiffances fucceffivement requifes, excepté s'il n'y en avoit que trois; car le Th. 1. fait voir que s'il n'y avoit que trois directions, ou que trois cordes de directions données, le rapport des trois puiffances requifes pour faire équilibre entr'elles fuivant ces trois directions, feroit auffi donné, & confequemment invariable.

COROLLAIRE V.

La même chofe que dans le précedent Corol. 4. Te peut encore déduire de la part. 4. fans faire aucun paFIG. 6. rallelogramme. Pour cela fur une quelconque des cinq directions données AP, AQ, AR, AS, AK, par exemple, fur KA prolongée du côté A, foit prife AL à volonté, & encore AE, AF, à volonté fur deux autres quelconques AS, AR, des quatre directions reftantes ; foit la

631

i

4.

droite FL prolongée vers H de maniere qu'on ait FL. HL:: 3.1. n'y ayant ici (Hyp.) que cinq directions données: le nomb. 1. du Corol. 4. du Lem. I 1, auquel il y auroit ici une puiffance à ajoûter oppofée à l'impreffion refultante du concours de toutes les autres, fait voir que s'il y en avoit ici tel autre qu'on voudra, fait de l'unité ajoutée au nombre quelconque n de toutes celles-là, il y faudroit FL. LH::m-2. 1. Puifque le nombre de toutes ces puiffances ensemble étant m+I. donne m-2-1. Après cela menez EH prolongée vers G, de maniere que vous ayez EH.HG:: 2.1. Enfin par le point G menez ( Lem. 1 3.) la droite BC telle que ce point G la divife en deux parties égales. Cela fait, la part. 4. du prefent Th. fait voir que fi l'on applique aux directions données AP, AQ, AR, AS, AK, qui foient entr'elles comme AB, AC, AE, AF, 4×AL; toutes ces puiffances feront en équilibre entreelles. Donc toutes ces proportionnelles AB, AC, AE, AF, 4×AL (hors AB, AC, qui doivent varier avec les autres) étant arbitraires dans la conftruction précedente, toutes les puiffances P, Q, R, S, K, le font auffi, hors les deux premieres P, Q, qui doivent varier avec les autres. Donc une infinité de puiffances cinq à cinq, de rapports tout differens, peuvent fucceffivement faire équilibre entr'elles fuivant les mêmes cinq directions données au deffus de trois, & confequemment auffi de puiffances fucceffivement requises, ainfi qu'on l'a déja vû dans le précedent Corol. 4.

COROLLAIRE VI.

Les quatre derniers Corollaires 2. 3. 4. 5. font voir que non feulement tant de puiffances données qu'on voudra au deffus de trois, appliquées à autant de cordes attachées ensemble par un noeud commun, peuvent demeurer en équilibre entr'elles fuivant une infinité de directions differentes pour toutes & pour chacune, mais encore que fi les directions de ces cordes font données

፡

répandues en plus d'un demi-cercle ou d'une demifphere, dont ce noeud commun foit le centre: les puiffances qui y feront fucceffivement appliquées, peuvent être entr'elles en une infinité de rapports differens, & cependant faire toûjours équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions, excepté lorfqu'il n'y en a que quatre en plus d'une demi-sphere : le premier fe voit dans les Corol. 2. 3. le fecond dans les Corol. 4. 5. de forte que fuivant ces quatre Corollaires tant de puiffances données qu'on voudra au deffus de trois, peuvent faire équilibre entr'elles fuivant autant de directions variées à l'infinis & reciproquement tant de directions qu'on voudra étant données répandues en plus d'un demi-cercle ou d'une demi-fphere, autant de puiffances de rapports variez à l'infini, peuvent faire équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions, excepté forfqu'il n'y en a que quatre en plus d'une demi-sphere, le rapport des puiffances étant invariable en ce cas, ainfi qu'on le verra dans le Probl. 9. de la Section I.

COROLLAIRE VII.

F10. 64. S'il n'y a que trois puiffances P, Q, R, qui résistent aut poids K avec trois cordes feulement AP, AQ, AR, dirigées à volonté fuivant differens plans, du noeud commun A de ces cordes auquel eft auffi attachée celle du poids K, foient prifes fur elles des parties AB, AC, AE, proportionnelles à ces trois puiffances P, Q, R,qui leur font appliquées; de ces trois proportionnelles AB, AC, AE, comme côtez, foit fait le parallelepipede BACFDHEG, avec fa diagonale AD.

1. Il fuit de la part. a. de ce Théoreme-ci, que fi le poids K demeure ainfi en équilibre avec les trois puiffances P, Q, R, l'effort refultant du concours de ces trois puiffances fera toûjours fuivant la direction KA de ce poids en fens contraire, & égal à fa pefanteur. Mais le parallelogramme ABFC étant (Hyp.) fait de deux AB, AC, des trois proportionnelles AB, AC, AE ; & le paral

lelogramme AEDF fait enfuite (Hyp.) de la diagonale AF de celui-là, & de la troifiéme proportionnelle AE; cer effort refultant du concours des trois puiffances P, Q, R, contre le poids K, doit fe faire (Lem. 3. Corol. 10.) de A vers D fuivant la diagonale AD de ce dernier parallelogramme & tout à la fois du parallelepipede BACFDHEG, doit (en cas d'équilibre entre le poids K & les trois puiffances P, Q, R,) être en ligne droite avec la direction AK du poids K, c'est-à-dire, qu'alors cette direction KA prolongée doit paffer par l'angle D de ce parallelepipede. 2o. Il fuit auffi de la part. 2. de ce Théoreme-ci, qu'en ee cas d'équilibre entre le poids K & les trois puiffances P, Q, R, ce poids doit être à chacune de ces puiffances, comme la diagonale AD du parallelepipede BACFDHEG est à chacun de ses trois côtez AB, AC, AE, pris (Hyp.) fur les directions de ces trois puiffances; puifque l'effort refultant de leur concours contre ce poids, lui (nomb. 1.) eft égal, & eft (Lem. 3. Corol. 10.) en cette raifon à chacune de ces trois puiffances.

30. Il fuit reciproquement de la part. 3. de ce Théore-me-ci, que fi la diagonale AD du dernier des deux pa-rallelogrammes ABFC, AFDE, ou du parallelepipede: BACFDHEG, eft en ligne droite avec la direction AK du poids K, c'eft-à-dire, fi cette direction KA prolongée paffe par l'angle D de ce parallelepipede, & que ce poids foit à chacune de ces trois puiffances P, Q, R, comme la diagonale AD de ce même parallelepipede et à chacun de fes trois côtez AB, AC, AE, pris fur leurs directions; ces trois puiffances foutiendront enfemble ce poids en équilibre avec elles: puifque (nomb. 1.) l'effort refultant de leur concours contre ce poids, lui fera direetement contraire & égal.

COROLLATRE VIH.

Les trois puiffances P, Q, R, tirant encore contre le Fion of poids K comme dans le précedent Corol. 7. avec des directions quelconques dans des plans differens, fur lefquel-