ce qu'elles font enfemble d'effort fuivant cette direction. La part. 4. du prefent Th. 4. fait voir qu'en general fui vant le Corol 4. nomb. 2. du Lem. II. fi m étoit le nombre quelconque de ces puiffances données, cette distance du nœud A au centre principal d'équilibre de toutes, moins une, devroit être égale à la derniere diagonale divifée par m-1, pour pouvoir être toutes en équilibre entr'elles autour de ce noeud commun A de leurs cordes ; & confequemment dans le cas prefent de cinq puiffances, pour leur équilibre entr'elles la diftance AL doit être égale à la derniere diagonale divisée par 5-1, c'est-à-dire, par 4, ainfi qu'on le vient de dire. Donc pour mettre ici en équilibre entr'elles tant de puiffances données qu'on voudra, fans faire aucun parallelogramme, il y faut obferver tout ce qu'on a marqué dans l'art. 4. pour les y mettre par le moyen des parallelogrammes; c'est-à-dire, que pour mettre plus promtement & fûrement en équilibre les puiffances données P, Q, R, S, K, &c. fans faire aucun parallelogramme, il faut commencer (comme dans l'art. 4.) par les moindres d'elles, ou par les moindres de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, &c. qu'il faut diriger toutes, hors la plus grande refervée pour la derniere, de maniere qu'elles faffent des angles affez grands entr'elles pour arriver fùrement à l'équilibre requis.

Par exemple, fi dans l'ordre qu'on les voit ici, les moindres font les premieres, en forte que les plus grandes y foient par tout après les moindres, il faut commencer par un angle affez grand ABC fait des deux premieres AB, AC, & divifer également en G la base BC; de ce point G par l'extrêmité E de la troifiéme proportionnelle AE, mener la droite GE, qu'il faut divifer en H, de maniere qu'on ait EH.HG:: 2. r. De ce point Hpar l'extrêmité F de la quatrième proportionnelle AF, mener la droite HF, laquelle doit être divifée en L, de maniere qu'on ait FL. LH:: 3. 1. Et ainfi de fuite fuivant le Corol. I. du Lem. I I. comme dans la démonftra

tion de la part. 3. du prefent Th. 4. jufqu'à la plus grande exclufivement de ces proportionnelles ou puiflances, refervée pour la derniere, laquelle foit ici K. Après cela il faut diriger toutes les puiffances P, Q,R, S, fuivant leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, ainfi placées, & la plus grande K refervée pour la derniere, fuivant LA, diftance du noeud commun A de leurs cordes au dernier point L de divifion, lequel fera Déf. 13.) le centre principal d'équilibre de toutes les puiflances P, Q, R, S, hors de la derniere K : alors 4xAL fe trouvant à AB, AC, AE, AF, comme la puiffance K dirigée fuivant LA, eft aux autres puiffances P, Q, R, S, dirigées fuivant AP, AQ, AR, AS; la part. 4. du prefent Th. 4. fait voir que toutes ces puiffances ainfi dirigées feront alors en équilibre entreelles ; & ainfi de quelqu'autre nombre m de puiffances données que ce foit, dirigées de maniere que le produit de m-1 par la diftance du noeud commun A de leurs cordes au centre principal d'équilibre de toutes ces puiffances, moins une, foit à chacune des proportionnelles de celles-là, comme cette exceptée eft à chacune d'elles,

THEOREME V.

La conftruction demeurant la même que dans les démon- F1\0, 68. Atrations des part. 2. 3. du précedent Th. 4. fi les cordes AP, 69. AQ, AR, AS, &c. avoient chacune plufieurs branches chacune de ces branches encore plufieurs autres, & ainfi juf qu'à tant de branches qu'on voudra de chacune d'elles ; qu'au lieu d'être tirées par les puissances P, Q, R, S, &c. comme dans ce Th. 4. leurs dernieres branches l'étoient toutes par autant d'autres puissances, en quelque nombre qu'elles fuffent: Tout le contenu du précedent Th. 4. en feroit encore vrai i fçavoir,

I. Qu'en cas d'équilibre de toutes ces puissances avec le poids K, l'effort refultant de leur concours d'action contre lui, feroit toûjours fuivant la direction KA de ce poids en fens contraire, & égal à fa pesanteur.

FIC. 68.

II. Que ce poids K ainfi foûtenu par toutes ces puiffan ses en équilibre avec lui, feroit auffi toûjours à chacune d'elles comme la diagonale du dernier des parallelogrammes faits en A comme dans la démonstration 1. de la part. 2. du Th. 4 feroit à chacune des proportionnelles de ces mêmes puissances.

III. Que dans cet équilibre du poids Kavec toutes ces puiffances, fi l'on appelle m le nombre des cordes (quel qu'il foit) dont A eft le neud communi ce poids K fera auffi toûjours à chacune de ces puiffances, comme le produit de m-1 par la distance de ce nœud A à leur centre principal d'équilibre, fera à chacune de leurs proportionnelles...

·IV. Reciproquement que fi ce poids eft à ces puissances em celle qu'on voudra des deux raifons ici marquées dans les part. 2. 3.& qu'il foit directement contraire à l'effort resultant de leurs concours, il fera en équilibre avec elles..

DEMONSTRATION.

PART. I. Cette part. 1. fe démontrera de même que la part. 1. du Th. 4. les nomb. 1. 2. 3. du Corol. 2. du Lem. 3. faifant pareillement voir ici qu'en cas d'équilibre entre le poids K & l'effort refultant du concours de tout ce qu'il peut y avoir ici de puiffances qui lui foient appliquées à l'extrêmité d'autant de branches de cordes ; cet effort doit être directement contraire à ce poids, & égal à fa pefanteur. Ce qu'il falloit 1°.démontrer.

PART. II. Si la corde, par exemple AP, avoit plufieurs branches PX, PY, PZ, &c. iffues d'un même nœud P, aufquelles fuffent appliquées autant de puiflances X, Y, Z, &c. qui fuffent entr'elles comme les parties PO, PT, PV, &c. de ces branches, prifes depuis leur noeud commun P; que de deux quelconques PT, PV., de ces proportionnelles on fît le parallelogramme TV que de fa diagonale PM, & d'une troifiéme auffi quelconque FO de ces proportionnelles, on fît le parallelogramme MO; que de fa diagonale FN, & d'une quatriéme encore quelconque de ces mêmes proportionnelles, on fît de même un autre parallelogramme, & ainfi jufqu'à la derniere.