branches de ce noeud feront dirigées; & les quatre puiffances qui y feront appliquées, feront alors entr'elles comme ces trois côtez & cette diagonale de parallelepi-pede. Cela fe prouvera comme le nomb. 2. du Corol.7. du Th. 4.

4°. Si ces quatre puiffances font ainfi dirigées, & en ce rapport entr'elles il y aura équilibre aufli entr'elles. Tout cela fe prouvera comme le nomb. 3. du Corol. 7% du Th. 4.

5o. Chacun des noeuds où il n'y auroit encore que quatre branches répandues en plus d'une demi-fphere, fera au centre de gravité d'une pyramide triangulaire, par les quatre angles de laquelle ces quatre branches palleront, en cas d'équilibre ; & les puiffauces qui y feront appliquées, feront alors entr'elles comme les diítances correfpondantes de ce centre de gravité aux quatre angles de la pyramide; c'est-à-dire, que ces puiflances. feront alors entr'elles comme les parties de leurs directions ou de leurs cordes, comprifes entre ce centre & chacun de ces angles. Cela fe prouvera comme le nomb. 2. du Corol. 8. du Th. 4..

6°. Reciproquement fi les quatre puiffances de chaque noeud, ainfi dirigées par le centre de gravité & par les quatre angles d'une telle pyramide, font entreelles en ces rapports; elles feront auli pour lors équili bre entr'elles. Cela fe prouvera comme le nomb. 3. du Corol. 8. du Th. 4.

SCHOLI E.

S'il fe trouvoit ici des noeuds de cordes, lefquels n'euffent que trois branches, le Th. 3. part. 1. 2. fait voir qu'en cas d'équilibre entre les puiffances qui y feroient appliquées, ce noud feroit dans le centre de gravité d'un triangle rectiligne, par les trois angles duquel les directions de ces trois puillances pafferoient ; & de plus que ces trois puiffances feroient alors entr'elles comme les parties de leurs cordes ou directions, comprises entre

ce centre & chacun de ces angles, c'eft-à-dire, comme les distances de ce centre de gravité à chacun de ces angles correfpondans.

Le Th. 3. part. 3. fait reciproquement voir que fi les trois puiffances de chacun de ces noeuds font dirigées par le centre de gravité & par les trois angles d'un triangle rectiligne quelconque ; que de plus elles foient entreelles comme les diftances de ce centre à chacun de ces angles correfpondans ; elles feront alors en équilibre entr'elles.

Pour des noeuds à deux branches feulement, le nomb. 1. du Corol. 2. du Lem.3. fait voir qu'il n'y en peut avoir, & que ce qu'on prendroit pour deux branches, fe dirigeroit bien-tôt en une; c'eft-à-dire, qu'elles fe mettroient bien-tôt en ligne droite par l'action des deux puiffances qui y feroient appliquées feules l'une contre l'autre.

THEOREME VI

71.

-Soit encore le poids K foûtenu en équilibre partant de puif- 10.70. Jances P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra, appliquées à autant de cordes AP, AQ, AR, AS, AT, &c. attachées ensemble par un méme naud A, & dirigées fuivant quelques plans que ce foient: je dis prefentement que ce poids ainfi en équilibre avec toutes ces puiffances, fera toujours à chacune d'elles comme la fomme de leurs fublimitez, moins celle de leurs profondeurs, c'est-à-dire, comme l'excès dont la premiere de ces deux fommes furpaffe la feconde, eft à chacune des proportionnelles de ces mêmes puiffances.

DEMONSTRATIO N.

Depuis le nœud commun A des cordes AP, AQ, AR, F10.70. AS, AT, &c. foient fur ces mêmes cordes autant de parties AB, AC, AE, AF, AM, &c. proportionnelles aux puiffances P, Q, R, S, T, &c. qui leur font appliquées, des extrêmitez B, C, E, F, M, &c. de ces proportionnelles foient menées autant de lignes Bb, C, Ee,

Ff, Mm, &c. perpendiculaires en b, c,e,f,m, &c. fur la direction AK du poids K prolongée de part & d'autre.. On voit fuivant la Déf. 16. que Ac, Ae, Af, font ici les fublimitez des puiffances Q, R, S, qui tirent de bas en haut, & que Ab, Am, y font les profondeurs des puif fances P, T, qui y tirent de haut en bas. Je dis donc que le poids K en équilibre (Hyp.) avec les puiffances P, Qė, R, S, T, &c. eft à chacune d'elles comme Ac+ Act Af-Ab¬Am+, &c. eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c.

Pour le voir, foit le parallelogramme BACH fait de deux quelconques AB, AC, de ces proportionnelles ; de fa diagonale AH, & d'une troifiéme quelconque AE de ces mêmes proportionnelles foit enfuite le parallelogramme HAEG; de fa diagonale AG,& d'une quatriéme proportionnelle AF, foir auffi le parallelogramme GAFD de fa diagonale AD; & d'une cinquiéme proportionnelle AM, foit pareillement le parallelogramme DAMN; de fa diagonale AN, & d'une fixiéme proportionnelle, foit encore un autre parallelogramme, & toujours de même jufqu'à la derniere inclufivement des proportionnelles aux puiffances fuppofées en équilibre avec le poids K, laquelle étant ici AM, la derniere des diagonales y fera AN. Par con→ fequent (Th. 4. part. 1.2.) non feulement cette derniere diagonale AN fera ici en ligne droite avec la direction AK de ce poids, mais encore ce poids. K y fera à chaeune des puiffances P,Q, R, S, T, fuppofées en équilibre avec lui, comme cette derniere diagonale AN eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF,

AM.

Cela étant ainfi, des points H, G, D, des parallelogrammes précedens, hors du dernier, foient encore Hh,. Gg, Dd, perpendiculaires en h,g,d, fur la direction AK du poids K, prolongée de part & d'autre. Le Lem. 10.donne, 1°. Ak—Ab-Ac. 2°. Ag=Ae-Ah ( nomb. 1.) Ae-Ab-Ac. 3°. Ad Ag-+Aƒ (nomb. 2.) Ac AbTACTAƒ. 4°. AN—Ad—Am (nomb. 3.) =Ae-Abi

Ac Af Am. Et en continuant toûjours ainfi jufqu'à la derniere diagonale inclufivement, telle qu'elt ici AN, laquelle fe trouve toujours (Th. 4. part. 1.) dans la direction prolongée KA du poids- K en équilibre avec les puiffances fuppofées ; on trouvera toûjours cette derniere diagonale Ac Ab+Ac Af Am +&c. ce qui fe voit aussi tout d'un coup par le Corol. 3. au Lem. 10.Or le Th. 4. part. 2. fait voir qu'en ce cas d'équilibre le poids K eft toûjours à chacune des puriffances P, Q, R, S, T, &c. qui l'y foûtiennent, comme cette derniere diagonale eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. Donc ce poids K eft auffi toû jours alors à chacune de ces puiflances P, Q, R, S, T, &c. comme Ac Ac Af AbAm+, &c. eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. c'eft-à-dire (Déf. 16.) comme la fomme de leurs fublimitez Ac, Ae, Af,&c. moins la fomme de leurs profondeurs Ab, Am, &c. ou comme l'excès dont la premiere-de ces deux sommes furpaffe la feconde, eit à chacu ne de ces mêmes proportionnelles. Ce qu'il falloit démon-

trer..

AUTRE DEMONSTRATIO N

Soient encore les lignes AB, AC, AE, AF, AM, &c} F1 6/71proportionnelles aux puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuppofées en équilibre avec le poids K fuivant ces dire ctions. Des extrêmitez B, C, E, F,M, &c. de ces proportionnelles foient encore auffi Bb, C, Ee, Ff, Mm, &c> perpendiculaires en b, c,e,f,m,&c. fur la direction AK de ce poids, prolongée de part & d'autre. Soient de plus appellées b,c,e,f,m, &c.les forces verticales employées felon le Lem. 3. part. 1. par les puiffances P, Q, R, S, T, &c. pour ou contre le poids K fuivant la direction Am ou Ad

Cela pofé, le Lem. 3. part. 1.donnera e. R:: Ae. AE.

f. S: Af. AF.

m.T:: Am. AM,

&c.

Donc les puiffances P, Q, R, S, T, &c. étant (Hyp.) entr'elles comme AB, AC, AE, AF, AM, &c. leurs forces verticales b,c,e,f,m, &c. pour ou contre le poids K, font auffi entr'elles comme Ab, Ac, Ae, Aƒ, Am, &c. Par confequent l'on aura ici c++ fbmt, &c. b:: Ac+Ae+Aƒ— Ab→ Am &c. Ab. Mais on vient de voir b. P: Ab. AB. Donc auffi ( en raifon ordonnée (+e+f—b—m±, &c. P:: Ac++Ae-† Af Ab—Am±, &c. AB. Or les efforts verticaux, e, f, &c. des puiffances Q, R, S, &c. étant ici de bas en haut directement contraires au poids K, & aux efforts verticaux b, m, &c. de haut en bas, que les puillances P, T, &c. y font directement contre ceux-là en faveur de ce poids; l'équilibre ici fuppofé exige ( 4x. 4; ) c++e+f+ &c=K+b+m+&c. Et confequemment c++ƒ b¬m + &c=K. Donc K. P:: Ac+AeAƒ¬Ab-Am± &c. AB. Mais (Hyp.) P eft à Q, R, S, T, &c. comme AB eft à AC, AE, AF, AM, &c. Donc auffi ( en raison ordonnée) ce poids K eft à chacune de toutes les puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuppofées en équilibre avec lui comme Ac Ac~+Af-Ab Am+, &c. eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. Or (Def. 16.) Ac, Ae, Af, font les fublimitez des puiffances Q, R, S, qui tirent de bas en haut ; & Ab, Am, font les profondeurs des puiflances P, T, qui tirent au contraire de haut en bas. Donc enfin le poids K en équilibre avec elles & avec les autres, c'est-à-dire, avec toutes les puiffances P, Q, R, S, T, &c. eft toûjours alors à chacune d'elles, comme la fomme de leurs fublimitez,