moins la fomme de leurs profondeurs, ou comme l'excès de la premiere de ces deux fommes fur la feconde, eit à chacune des proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. de ces mêmes puiflances. Ce qu'il falloit encore dé

montrer.

COROLLAIRE I

Puifque fuivant la premiere des deux démonstrations Fre. 75% précedentes, & fuivant le Corol. 3. du Lem. 1o. tant ✯1· que le poids K eft en équilibre (comme ci-dessus) avec les puiflances P, Q, R, S, T, &c. la fomme de leurs fublimitez, moins la fomme de leurs profondeurs, eft toûjours égale à la diagonale du dernier des parallelogrammes faits de leurs proportionnelles comme dans la démonftration r. & comme dans la démonstration de la part. 2. du Th. 4. Il fuit reciproquement de la part. 4. de ce Th. 4. qu'il y aura toujours équilibre entre ce poids & ces puiffances, tant que la fomme de leurs fublimitez,. moins celle de leurs profondeurs, prifes les unes & les autres fur fa direction, fera égale à cette derniere diago nale prife auch fur la direction de ce poids.

Puifque (Démonftr. 2.) les efforts verticaux c,e,f,des puiffances fublimes Q, R, S, font entr'eux comme les fublimitez Ac, Ae, Af, de ces puiffances; & que (Démonstr. 2.) leur fomme c+e+f est égale à la fomme b+m+K des verticaux directement contraires b,m, des puiliances profondes P, T, & du poids K, tant que ce poids eft en équilibre avec toutes ces puiffances: il fuit manifeftement que les portions de b+m+K que les puiffances fublimes Q, R, S, portent chacune alors pour fa part, font entr'elles comme les fublimitez Ac,,, Ae, Af, de ces mêmes puiffances.

COROLLA IEE III

Par la même raison fi toutes les puiffances P, Q, R, S, T, &e. étoient fublimes, c'est-à-dire ( Déf. 16.) i elles

tiroient toutes de bas en haut contre le poids K en équilibre avec elles, en forte que leurs forces verticales b, c, ,e,f,m, &c. fuffent toutes de bas en haut directement contraires à ce poids, & que confequemment (Def. 10.) Ab, Ac, Ac, Af, Am, &c. fuffent autant de fublimitez de ces puiffances ; ce que chacune d'elles porteroit ou foûtiendroit de ce poids, feroit alors comme chacune de ces mêmes fublimitez.

COROLLARE IV.

Si de toutes ces puiffances il n'en reftoit que deux R, S, qui feules foutinffent ensemble le poids K en équilibre avec elles, comme dans les Fig.7-2.73. il fuit des deux derniers Corol. 2. 3. conformément aux Corol. 2. 5. 6. du Th..2.

1o. Que fi une de ces deux puiffances, par exemple R, tiroit le poids K de haut en bas, & l'autre S de bas en haut, comme dans la Fig. 73. ce poids feroit ( Corol. 2.) à chacune de ces puiffances R, S, comme l'excès Af—Ae de la fublimité Af de la feconde S fur la profondeur Ae de la premiere R, feroit à chacune des proportionnelles AE, AF, de ces mêmes puiffances R, S, conformément au Corol. 6. du Th. 2.

2o. Qu'alors l'effort vertical fde bas en haut de la puiffance fublime S, feroit feul égal à K―e somme du poids K & de l'effort verticale de la puiffance profonde R: de forte que la puiffance fublime Ŝ foûtiendroit alors feule le poids K augmenté de l'effort vertical e que la puiffance profonde R fait de haut en bas en faveur de ce poids, conformément encore au Corollaire 6. du Théo

reme 2.

3°. Mais fi les puiffances R, S, étoient fublimes toutes deux domme dans la Fig. 72. c'est-à-dire (Déf. 16.) fi elles tiroient toutes deux de bas en haut contre le poids Ken équilibre (Hyp.) avec elles; les précedens Corol. 2, 3.font auffi voir que ce poids feroit alors à chacune de ces puiffances R, S, comme la fomme Ac†Aƒ de leurs

Tublimitez

fublimitez Az, Af, feroit à chacune de leurs proportionnelles AE, AF, conformément au Corol. 5. du Th. 2.

4. Ces précedens Corol. 2. 3. font voir auffi que la partie du poids K foûtenue par la puiffance R, feroit alors à fon autre partie foûtenue par la puiffance S, comme la fublimité Ae de la premiere de ces deux puiffances feroit à la fublimité Af de la feconde, conformément au Corol. 2. nomb. 1. du Th. 2.

Il est manifefte que tous les autres Corollaires du Th. 2. ce Théoreme lui-même pourroient étre ainfi déduits du précedent Corol. 3. Auffi ce Th. 2. n'est-il qu'un cas particulier du prefent Th. 6. d'où refulte ce Corol. 4.

COROLLAIRE V.

Pour faciliter le calcul de tout ceci, foient pris a pour F 1 6. 74 le finus total, & p, q,r,f,t, &c. pour les finus des angles ABb, AC, AEe, AFf, AMm, &c. complemens (chacun à un droit) des aigus que font les directions des puiffances P, Q, R, S, T, &c. avec celle du poids K (Hyp.) en équilibre avec elles.

Lesangles (Hyp.) droits en b, c, e,f,m, &c. donneront

a. p:: AB. AbXAB
a. q:: AC. Ac=2xAC
a. r:: AE. Ac×AE
a. S:: AF. Af=£×AF

a.t:: AM. Am×AM

&c.

D'où refulte Ac➡ Ac➡ Aƒ— Ab — Am ±&c= g×AC➡rxAE÷Sx AF-p× A B—t× AM ± &c.

a

mais fuivant le present Th. 6. le poids K icien équilibre (Hyp.)avec les puiffances P,Q, R, S, T,&c. y eft à chacune d'elles comme Ac➡+Ac➡+Aƒ—Ab—Am±&c. est à cha

Y

FIG. 74

cune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. Donc ce poids K y doit pareillement être à chacune de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. comme qxAC++rx AE+/xAF-px AB-txAM+&c.

a.

eft à chacune de leurs mêmes proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. Et confequemment auffi comme qxAC++. rxAE+xAF-pxAB-txAM+&c eft à chacun des. produits ax AB, axAC, axAE, axAF,axAM, &c. faits. du finus total par chacune de leurs proportionnelles. D'où l'on voit que n'y ayant ici que des proportionnelles de puiffances données, avec des finus d'angles donnez, il fera aifé d'en conclure par le calcul la valeur requise du poids ainfi en équilibré avec ces puissances.

THEOREME V I I..

De quelque maniere qu'un poids foit foûtenu avec des cor des par quelque nombre de puissances que ce foit, appliquées aux branches de tant de nauds qu'on voudra, dirigées fuivant quelques plans que ce foient's chacune de ces puiffances eft toûjours à ce poids en raifon composée d'autant d'autres raifons qu'il y a de nœuds entre cette puissance & ce poids :· Sçavoir, à chaque nœud, de la raifon qui eft entre la proportionnelle à la force dont ce nœud est tiré fuivant la corde quż lui donne communication avec cette puissance, & la fomme des fublimitez, moins celle des profondeurs, de toutes les forces dont les branches dans lesquelles ce même nœud fe divife, font tirées fuivant fa direction contre la résistance qui leur vient par la corde de communication de lui au poids fuppofé en équilibre avec toutes les puiffances qui lui font ainfi appliquées.

DEMONSTRATION..

Si le poids K dont la corde Ax fe divife en tant de branches AZ, AX, AY, A, qu'on voudra, dont celles qu'on voudra auffi, fe divifent encore en plufieurs branches,

& celles qu'on voudra encore de celles-ci en plufieurs autres de la maniere qu'on voit ici ; & toûjours de même jufqu'auffi loin qu'on voudra. Commencez au premier noeud A à marquer fur les branches AZ, AX, AY‚A?, &c. des parties AM, AN, AP, A§, &c. qui foient entre elles comme les forces avec lefquelles ces cordes font tirées chacune fuivant fa direction. Faites-en autant fur les branches dans lefquelles celles-ci fe fubdivifent; & toûjours de même jufqu'aux dernieres aufquelles les puiffances C, E, D, B, F, G, H, I, T, 0, &c. font appliquées. Après cela des extrêmitez de toutes ces proportionnelles foient marquées ( Déf. 16.) les fublimitez & les profondeurs de toutes ces forces.

Cela fait, je dis qu'en cas d'équilibre entre toutes ces forces ou puiffances & le poids K, chacune d'elles, par exemple, la puiffance D fera toûjours alors à ce poids K en raifon compofée d'autant d'autres raifons telles qu'elles font énoncées dans ce Théoreme-ci, qu'il y a de noeuds entre cette puiffance & ce poids.

Car, 1°. la puiffance D étant (Hyp.) à la puiffance E, comme OS à OV, elle eft auffi ( Th.6.) à la force dont le noeud O leur réfifte fuivant OZ, comme OS à la fomme de leurs fublimitez Of & Ou, c'est-à-dire :: OS. Of+Ou. 2°. Cette même réfistance ou force du nœud O fuivant ZO, étant auffi (Hyp.) aux puiffances C,B, comme ZR à ZL & ZQ, elle est de même ( Th. 6.) à la réfistance leur fait le noeud Z fuivant ZA, comme que ZR à la fomme des fublimitez Zr & Zq moins la profondeur Zl, c'est-à-dire :: ZR. Z+Zq-Zl. 3°. Enfin la valeur de cette réfiftance fuivant ZA, étant encore (Hyp.) aux forces dont le noeud A eft tiré fuivant AX, AY, Ap, &c. comme AM à AN, AP, A, &c. elle eft auffi (Th. 6.) au poids K comme AM à la fomme des fublimitez Am, An, &c. moins celle des profondeurs AX, Ap, &c. c'est-à-dire :: AM. Am-+AAλ-Ap. Donc en multipliant par ordre ces trois rangées de proportionnelles, la puiffance D fe trouvera être au poids K, comme