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Donc sans le mouvement de la ligne AB, supposé seule: ment pour aider l'imagination, le point mobile A sans pesanteur, poussé tout à la fois suivant les lignes AC, AB, par les deux puissances E, F, supposées en raison de ces deux lignes , & employées ( hyp. ) toutes entieres à le mouvoir en ces deux sens, parcourra la diagonale AD du parallelogramme ABCD dans le même tems que chacune de ces deux puissances E, F, lui en feroit seule parcourir chacun des côtez AC, AB, correspondans. Ce qu'il falloit-démontrer.

Pour démontrer celu on se contente d'ordinaire du Lem. I. qui y est effectivement suffisant : aussi n'ai-je employé que lui dans le Projet que je donnai en 1687. de cette Mécaniqueci i mais ayant reconnu depuis que quelques Physiciens y trouvoient de la difficulté , dans la pensée ils étoient que

la ligne mobile AB servoit à transporter le point mobile A vers CD , pendant qu'il se mouvoit de A vers B : c'est pour montrer qu'elle; est inutile , & qu'elle ne sert qu'à soutenir ici l'imagination , que j'ajoute ce fecond Lemme-ci au premier, que je ne repete que pour rendre la démonstration de celui-ci plus courte & plus aisée. En voici les Corollaires.

COROLLA IRE 1.

parcourir

Puisque la force résultante du concours des puissances E,F, fait parcourir la diagonale AD du parallelogramme ABCD, au point mobile A, dans le même tems que chacune de ces forces -lui en auroit seule fait le côté AB, ou AC, suivant lequel elle est dirigée ; non seulement ces trois forces doivent avoir leurs trois directions dans un même plan ; mais encore la résultante suivant AD du concours d'action des deux autres E, F, dès le premier instant du mouvement qu'en reçoit le point A, doit dès cet instant être à chacune de celles-là (ax. 8.) comme cette diagonale AD du parallelogramme BC est à chacun de ses côtez AC, AB , correspondans.

COROLLAIRE

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COROLLAIRE II. C'est donc la même chose ( ax. 2.) que le point A foit poussé le long de AD par le concours d'action des puisTances E, F,

ou qu'il y foit poussé par une seule puissance ainsi dirigée, laquelle soit à celles-là comme AD est à AC , AB ; puisque cette nouvelle puissance étant (Corol. 1.) égale à la résultante du concours d'action de celles-là, & (hyp. ) dirigée suivant la même AD qu'elle, feroit suivre cette ligne à ce point mobile A (ax. 2. ) de la même vîtelle que la force résultante du concours d'action des supposées E, F, c'est-à-dire, de la mêine vîtesle

que

ces deux-ci la lui font suivre ensemble. Ainsi un point quelconque mû d'une vîtesse uniforme aussi quelconque , & en ligne droite AD, peut également l'avoir été par une seule puissance dirigée en ce sens, ou par le concours de deux autres E, F, dirigées suivant les côtez, AC, AB, d'un parallelogramme quelconque BC, dont cette ligne AD, soit la diagonale, & qui soient à cette puissance-là comme ces côtez correspondans font à cette diagonale.

CORO L L'AIRE II I. Il suit aussi de ce Lemme-ci, que si la force ou l'im pression résultante du concours d'action des deux puisTances E, F, dirigées suivant AP, AQ, se trouve dirigée suivant AO, tout parallelogramme BC, donc la diagonale AD sera sur cette droite AO, & les côtez AC, AB, sur AQ, AP, aura ces mêmes côtez AC, AB, entr'eux en raison des deux puissances E, F, dont ils sont ( hyp.) les directions: autrement l'impression résultante du concours d'action de ces deux puissances, ne se feroit

pas suivant la diagonale AD du parallelogramme BC., ainsi qu'on le suppose ; mais (Lem. 2.) suivant celle d'un autre parallelogramme, dont les côtez aussi pris sur les directions AQ; AP, de ces deux puissances E, F, seroient ent'reux comme ces mêmes puissances.

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CORO Ľ I AL R E IV.. Donc aussi lorsque l'impression résultante du concours d'action des puiffances E, F, dirigées suivant AQ, AP, se fait suivant AO; tout parallelogramme BC, dont la diagonale AD fera fur cette droite AO, & ses côtez AC, AB, fur AQ, AP, aura cette diagonale AD à chacun de ces côtez AC, AB, comme cette iinpression résultante du concours d'action des puisfances E, F, , sera à chacune d'elles : puisque ces deux puissances E, E, étant alors entr'elles ( Corol. 3. ) comme ces côtez AC, AB, correspondans, seroient aussi pour lors à l'imprefLion résultante de leur concours d'action, comme ces mêmes côtez AC, AB du parallelogramme BC, seroient e à sa diagonale AD.

COROLLAIRE V.. Le même raisonnement qui dans la démonftrat. du : présent Lem. 2. vient de prouver que le point mobile A doit parcourir la diagonale AD par le concours d'action des deux forces E, F, supposées entrelles comme les côtez AC, AB, du parallelogramme BC, suivant lesquels on les suppose aussi dirigées : ce même raisonnement, disję, prouvera que le même point A poussé à la fois

par deux autres puissances dirigées suivant les côtez AM, AN, d'un autre parallelogramme quelconque MN qui auroit la même diagonale AD que celui-là, & entr'elles en raison de ces deux côtez AM, AN ; parcourroit encore par leur concours d'action cette diagonale AD du

parallelogramme MN dans le même tems que separément elles lui en feroient parcourir les côtez, chacune celui suivant lequel elle seroit dirigée. De sorte que si ces deux nouvelles forces suivant AM, AN , étoient aux deux premieres E, F, comme AM, AN, sont à AC, AB, étant alors separément capables (ax. 8.) de faire parcourir au point A les côtez correspondans AM , AN, du parallelogramme. MN, dans le même tems que les forces

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FE,F, separément aussi lui feroient parcourir les corres

pondans AC, AB du parallelogramme BC; elles feroient aussi ensemble parcourir à ce point A la diagonale commune AD dans le même tems que les deux forces E, F, la lui feroient parcourir ensemble. Par consequent (ax.8.). la force résultante du concours d'action de ces deux-là, seroit alors égale à la résultante du concours d'action de ces deux-ci. Il en sera de même de toutes autres forces qui agiroient deux à deux sur le même point A, suivant les côtez de tout autre parallelogramme qui aurvit la même diagonale AD, & qui seroient non seulement entr'elles comme les côtez de ce parallelogramme, suivant ļesquels elles seroient dirigées ; mais encore aux autres puillances prises de même deux à deux, comme ces côtez correspondans de ce parallelogramme aux correspondans des leurs. D'où l'on voit ( Corol

. 2.) qu'il n'y a point de mouvement uniforme en ligne droite, qui ne puisse égalemeņt être l'effet d'une seule puissance , ou dų concours d'action d'une infinité d'autres prises deux à deux de cette maniere-là.

Ce qu'on. dit ici des mouvemens uniformes en lignes droites, je pourroit appliquer à toutes sortes d'autres mouvemens: mais cela nous écarteroit de notre sujet.

COROLL AIRE V I. Si le point mobile A , au lieu d'être poussé ( comme ci-F16:21 dessus) par deux forces ou puissances leulement , l'étoit tout à la fois par tant de puissances quelconques qu'on voudra, dirigées suivant les lignes AC, AB, AM, AN, &c. menées à volonté dans un ou plusieurs plans , lesquelles puissances fussent entr'elles comme ces lignes, & consequemment ( Ax. 8.) capables separément de les faire parcourir chacune la sienne à ce point A en tems égaux, Si lous deux AC, AB, de ces deux lignes, choifies à volonté , on fait le parallelogramme BC avec la diagonale AD; ensuite sous AD, & sous celle AM qu'on voudra des autres proportionnelles aux puissances fup

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posées , le parallelogramme DM avec sa diagonale AL; de mêine Tous AL , & sous celle AN qu'on voudra de ces proportionelles restantes , le parallelogramme LN avec fa diagonale AP, &c. on verra suivant ce qui précede, que toutes ces forces ou puissances conspireroient ensemble à faire parcourir au point A la derniere diagonale, qui est ici AP, dans le même tems que féparément elles lui feroient parcourir chacune celui des côtez de ces parallelogrammes , suivant lequel elle seroit dirigée.

Car suivant le present Lem. 2. ce point mobile A para courroit la diagonale AD du parallelogramme BC en vertu de la force résultante du concours des dirigées suivant AC, AB, dans le même tems que chacune de celles-ci lui en feroit parcourir separément le côté AC ou AB fuivant lequel elle est dirigée. De même ce point A parcourroit la diagonale AL du parallelogramme DM dans ce même tems par le concours de cette résultante fuivant AD, & de la dirigée suivant AM ; & confequemment en vertu de la résultante du concours des trois dirigées suivant AC, AB, AM. Pareillement ce même point A parcourroit encore AP pendant ce même tems, par le concours de cette derniere résultante suivant AŁ, & de la dirigée suivant AN ; & consequemment aussi en vertu de la résultante du concours des quatre dirigées suivant AC, AB, AM, AN; & ainsi toûjours quelque soient le nombre, les directions & les quantitez ou rapports des puissances qui agissent à la fois sur ce point mobile A. D'où l'on voit que par le concours d'action de toutes , ce point A suivra toûjours la diagonale du . dernier des parallelogrammes faits comme ci-dessus, & la parcourra dans le même tems que chacune de ces puifsances separément lui auroit fait parcourir celui des côtez de ces parallelogrammes suivant lequelelle est dirigée.

COROLLA I RE VII.
Suivant le Corol. 1. la force du point A suivant AD

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ou les

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