THEOREME VIII.

Quelques foient les directions des corps pefans, fi deux poids F10.79 quelconques K, L, font fufpendus à deux points auffi quelConques C, D, d'une corde lâche parfaitement flexible ACDB, attachée par les deux bouts à deux clous ou crochets A, Bi &qu'on faffe deux parallelogrammes DCME, CDNF,qui ayent CD pour côté commun, & dont les diagonales CE DF, foient fur les directions KC, LD, de ces deux poids prolonge de ce côté-là.

I. Ces deux poids K, L, en ce cas d'équilibre, feront entreeux comme tes diagonales correspondantes CE, DF.

II. Reciproquement fi ces deux poids K, L, font entr'eux en raison de ces deux diagonales CE, DF, ils demeureront en équilibre entr'eux dans la pofition donnée ACDB de la corde,

DEMONSTRATION.

PART. I. Le Th. 1. fait voir qu'en cas d'équilibre le poids K eft à la force dont la partie CD de la corde est tirée de C vers D:: CE. CD. Et que la force dont cette même partie CD de la corde eft tirée de D vers C, est au poids L:: CD. CF. Mais ces forces avec lesquelles cette même partie CD de la corde eft tirée en même tems de C vers D, & de D vers C, font (Ax. 4.) égales entr'elles en ce cas d'équilibre. Donc (en raifon ordonnée} le poids K eft ici au poids L, comme CE eft à CF. Ce qu'il falloit 1°.démontrer.

PART. II. Les deux poids donnez K, L, devant fe mettre tôt ou tard en équilibre entr'eux, à caufe des résistances invincibles (Hyp.) des crochets A, B; fi pour cela la position de la corde ACB devoit être autre que lá donnée ACDB, cette pofition donnée ne pouvant changer que par l'augmentation d'un de fes deux angles ACD, CDB, & par la diminution de l'autre, les directions des poids demeurant (Hyp.) toûjours les mêmes, fans faire augmenter une des deux diagonales CE, DF, & fans faire diminuer l'autre ; c'est-à-dire, fans faire changer le

rapport que ces deux diagonales ont entr'elles dans la polition donnée ACDB de cette corde; les deux poids. K, L, fuppofées en raifon de ces deux diagonales, pourroient être en équilibre entr'eux, fans y être en ce rap port: ce que la part. 1. fait voir être impoffible. Donc il eft pareillement impoffible qu'ils ne demeurent pas en équilibre entr'eux dans la pofition donnée ACDB de la corde ACB. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

COROLLAIRE I

Si prefentement on fuppofe à l'ordinaire que les dire. ctions EK, FL, de ces deux poids K, L, foient paralleles. entr'elles, & qu'on prolonge BD, AC, jufqu'à leur rencontre en G, H; les nouveaux parallelogrammes DECH, CFDG, qui en refulteront, rendant: DH CE, & CG-DF; la part. 1. qui vient de donner K. L:: CE.DF. pour toutes fortes de directions des poids K, L, donnera.. pareillement K. L:: DH.CG. pour ces paralleles-ci; &.. confequemment K×CG=L×DH..

COROLLAIRE I I.

Reciproquement fi les deux poids K, L, de directions CK, DL, paralleles l'une à l'autre, font entr'eux.comme DH, CG la part. 2. fait voir qu'ils demeureront en équi libre dans la pofition donnée ACDB. de la corde ACB: puifque DHCE, & CGDF, les rendroient entr'eux comme les diagonales correfpondantes CE, DF.

COROLLAIRE III..

Il fuit du Corol. 1. que dans cette hypothese des diretions paralleles entr'elles, les prolongemens CH, DG, des parties de corde AC, BD, compris entre les dire-&tions des poids K, L, doivent fe divifer mutuellement en Q en raison réciproque de ces poids en é. uilibre (Hyp.) entr'eux; c'est-à-dire, de maniere qu'elles rendent QH. QC:: K.L:: QD. QG. Et qu'au contraire les paralleles DE, CF, à ces prolongemens CH, DG, & comprifes en

tre les mêmes directions des poids K, L, fe divifent mutuellement en P en raifon directe de ces poids ; c'eft-à-dire, de maniere qu'elles rendent EP.PD:: K. L:: CP. PF. Car le parallelifme fuppofé de ces directions EK, FL, des poius K, L, rendant les triangles CQG, HQD, femblables entr'eux, de même les triangles CPE, FPD, l'on aura ici QH. QC::QD. QG:: DH. CG (Corol. 1.):: K. L. Et EP. PD:: CP. PF:: CE. DE (Th. 8.):: K. L. ainfi qu'on le vient de dire..

COROLLAIRE IV.

Soient prefentement tant de poids quelconques K, L, FIG. 80M, N, &c. qu'on voudra, fufpendus à autant de po ints auffi quelconques C, D, E, F, &c. de la corde lâche & parfaitement flexible ACDB entre fes deux points d'attache A, B. Si après avoir prolongé de CK vers FN, chacun des côtez: AC, CD, DE, &c. du polygone ACDEFB que les poids font faire à cette corde, jufqu'à la rencon tre en H,Q, S, &c. des directions (Hyp.) paralleles entr'elles DL, EM, FN, &c. immédiatement fuivantes des poids L, M, N, &c. On prolonge de même de FN vers CK, les côtez BF, FE, ED, &c. jufqu'à la rencontre en R, P, G,& c. des directions auffi ( Hyp.) paralleles entreelles EM, DL, CK, &c. des poids M, L, K, &c.

Et toûjours de même, quel que nombre de poids quelconques de directions paralleles entr'elles, qu'on fuppofe ainfi fufpendus à autant de points aufli quelconques d'une corde lâche & parfaitement flexible, attachée par les ex-

FIG. 81.

trêmitez à deux clous ou crochets, telle qu'on fuppofe

ici ACDEFB.

THEOREME IX

I. La corde lâche & parfaitement flexible ACDB du pré82.83 84. cedent Th. 8. demeurant attachée par les deux bouts aux deux clous ou crochets A, B, foient encore deux puiffances quelconques K, L, dirigées comme l'on voudra, appliquées à deux points auffi quelconques C, D, de cette corde entre ces deux clous ou crochets A, B. D'un point S pris à volonté dans le plan du polygone ACDB, que ces deux puiffances avec ces deux clous font faire à cette corde, foient se, sf, sg, perpendiculaires en e, f, g, aux trois côtez prolongez AC, CD, DB de ce polygones de plus à une des directions des deux puif fances K, L, par exemple, à la direction CK de la puiffance K, foit faire EF perpendiculaire en k, & rencontrée en E, F, par se, SE, Sg, prolongées jusqu'à elle enfin du point F foit FG perpendiculaire en 1 à la direction DL de l'autre puissanse L, & qui rencontre Sg en G.

Cela fait, je dis qu'en cas d'équilibre la puiffance K fera à la puissance L, comme EF eft à FG ; c'est-à-dire, K. L ::

EF. FG.

II. Reciproquement la corde ACDB étant donnée de pofition, c'est-à-dire, le polygone qu'elle forme étant donné, fi d'un point S pris à volonté dans le plan de ce polygone ACDB, on fait SE, SF, FG, perpendiculaires en e, f, g, à fes côtez AC, CD, DB, prolonge, & de rapports quelconques entrelles deux puissances K, L, dirigées fuivant CK, perpendiculaires aux bafes EF, FG, des deux triangles ESF, FSG, & entr'elles comme ces bafes, retiendront la corde ACDB dans cette pofition donnée demeurant en équilibre

entrelles,

DEMONSTRATION.

DL,

PART. I. Dans le cas d'équilibre que cette part. 1. fuppofe, les deux forces dont chacun des cordons AC, CD,