Donc fans le mouvement de la ligne AB, fuppofé feulement pour aider l'imagination, le point mobile A fans pefanteur, pouffé tout à la fois fuivant les lignes AC, AB, par les deux puiffances E, F, fuppofées en raifon de ces deux lignes, & employées (hyp.) toutes entieres à le mouvoir en ces deux fens, parcourra la diagonale AD du parallelogramme ABCD dans le même tems que chacune de ces deux puiffances E, F, lui en feroit feule parcourir chacun des côtez AC, AB, correspondans. Ce qu'il falloit démontrer.

Pour démontrer cela on fe contente d'ordinaire du Lem. 1: qui y eft effectivement fuffifant: auffi n'ai-je employé que lui dans le Projet que je donnai en 1687. de cette Mécaniqueci; mais ayant reconnu depuis que quelques Phyficiens y trouvoient de la difficulté, dans la pensée où ils étoient la que ·ligne mobile AB fervoit à transporter le point mobile A vers CD, pendant qu'il fe mouvoit de A vers B: c'est pour montrer qu'elle y eft inutile, & qu'elle ne fext qu'à foûtenir ici l'imagination, que j'ajoûte ce fecond Lemme-ci au premier, que je ne repete que pour rendre la démonftration de celui-ci plus courte & plus aifée. En voici les Corollaires.

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COROLLAIRE I

Puifque la force refultante du concours des puiffances E, F, fait parcourir la diagonale AD du parallelogramme ABCD, au point mobile A, dans le même tems que chacune de ces forces lui en auroit feule fait

parcourir le côté AB, ou AC, fuivant lequel elle eft dirigée ; non feulement ces trois forces doivent avoir leurs trois directions dans un même plan; mais encore la réfultante fuivant AD du concours d'action des deux autres E, F, dès le premier inftant du mouvement qu'en reçoit le point A, doit dès cet inftant être à chacune de celles-là (ax. 8.) comme cette diagonale AD du parallelogramme BC eft à chacun de fes côtez AC, AB, correfpondans.

COROLLAIRE

COROLLAIRE

I I.

C'est donc la même chose (ax. 2.) que le point A foit pouffé le long de AD par le concours d'action des puifTances E, F, ou qu'il y foit pouffé par une feule puiflance ainfi dirigée, laquelle foit à celles-là comme AD eft à AC, AB; puifque cette nouvelle puiffance étant Corol. 1.) égale à la résultante du concours d'action de celles-là, & (hyp.) dirigée fuivant la même AD qu'elle, feroit suivre cette ligne à ce point mobile A (ax. 2.) de la même vîteffe que la force réfultante du concours d'action des fuppofées E, F, c'est-à-dire, de la même vîteffe que ces deux-ci la lui font fuivre ensemble. Ainfi un point quelconque mû d'une vîtesse uniforme aussi quelconque, & en ligne droite AD, peut également T'avoir été par une feule puiffance dirigée en ce fens, ou par le concours de deux autres E, F, dirigées fuivant les côtez AC, AB, d'un parallelogramme quelconque BC, dont cette ligne AD, foit la diagonale, & qui foient à cette puiffance-là comme ces côtez correfpondans font à cette diagonale.

COROLLA IRE II I.

Il fuit auffi de ce Lemme-ci, que fi la force ou l'impreffion réfultante du concours d'action des deux puiffances E, F, dirigées fuivant AP, AQ, fe trouve dirigée fuivant AO, tout parallelogramme BC, dont la diagonale AD fera fur cette droite AO, & les côtez AC, AB, fur AQ, AP, aura ces mêmes côtez AC, AB, entr'eux en raifon des deux puiffances E, F, dont ils font (hyp.) les directions: autrement l'impreffion réfultante du concours d'action de ces deux puiffances, ne fe feroit pas fuivant la diagonale AD du parallelogramme BC, ainfi qu'on le fuppofe; mais (Lem. 2.) fuivant celle d'un autre parallelogramme, dont les côtez aufsi pris fur les directions AQ, AP, de ces deux puiffances E, F, feroient ent'reux comme ces mêmes puiffances.

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COROLLAIRE IV..

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Donc auffi lorfque l'impreffion réfultante du concours d'action des puiffances E,F, dirigées fuivant AQ, AP, fe fait fuivant AO; tout parallelogramme BC, dont la diagonale AD fera fur cette droite AO, & fes côtez AC, AB, fur AQ, AP, aura cette diagonale AD à chacun de ces côtez AC, AB, comme cette impreffion réfultante du concours d'action des puiffances E, F,, fera à chacune d'elles: puifque ces deux puiffances E,. E, étant alors entr'elles (Corol. 3.) comme ces côtez AC,, AB, correfpondans, feroient auffi pour lors à l'impreffion réfultante de leur concours d'action, comme ces. mêmes côtez AC, AB du parallelogramme BC, feroient à fa diagonale AD.

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COROLLAIRE V...

Le même raifonnement qui dans la démonftrat. du préfent Lem. 2. vient de prouver que le point mobile A doit parcourir la diagonale AD le concours d'action par des deux forces E, F, fuppofées entr'elles comme les côtez AC, AB, du parallelogramme BC, fuivant lefquels on les fuppofe auffi dirigées : ce même raifonnement, disje, prouvera que le même point A pouffé à la fois par deux autres puiffances dirigées fuivant les côtez AM, AN, d'un autre parallelogramme quelconque MN qui . auroit la même diagonale AD que celui-là, & entr'elles en raifon de ces deux côtez AM, AN; parcourroit encore par leur concours d'action cette diagonale AD du parallelogramme, MN dans le même tems que feparément elles lui en feroient parcourir les côtez, chacune celui fuivant lequel elle feroit dirigée. De forte que fi ces deux nouvelles forces fuivant AM, AN, étoient aux deux premieres E, F, comme AM, AN, font à AC, AB, étant alors feparément capables (ax. 8.) de faire parcourir au point A les côtez correfpondans AM, AN, du parallelogramme MN, dans le même tems que les forces

E, F, feparément auffi lui feroient parcourir les corref pondans AC, AB du parallelogramme BC; elles feroient auffi enfemble parcourir à ce point A la diagonale commune AD dans le même tems que les deux forces E, F, la lui feroient parcourir ensemble. Par confequent (ax. 8.). la force réfultante du concours d'action de ces deux-là, feroit alors égale à la réfultante du concours d'action de ces deux-ci. Il en fera de même de toutes autres forces qui agiroient deux à deux fur le même point A, fuivant les côtez de tout autre parallelogramme qui auroit la même diagonale AD, & qui feroient non feulement entr'elles comme les côtez de ce parallelogramme, fuivant lefquels elles feroient dirigées; mais encore aux autres puiflances prifes de même deux à deux, comme ces côtez correfpondans de ce parallelogramme aux corref pondans des leurs. D'où l'on voit ( Corol. 2.) qu'il n'y a point de mouvement uniforme en ligne droite, qui ne puiffe également être l'effet d'une feule puiffance, ou du concours d'action d'une infinité d'autres prifes deux à deux de cette maniere-là.

Ce qu'on dit ici des mouvemens uniformes en lignes droites, Je pourroit appliquer à toutes fortes d'autres mouvemens mais cela nous écarteroit de notre fujet.

COROLLAIRE VI

Si le point mobile A, au lieu d'être pouffe (comme ci- Fr. deffus) par deux forces ou puiffances feulement, l'étoit tout à la fois par tant de puiflances quelconques qu'on voudra, dirigées fuivant les lignes AC, AB, AM, AN, &c. menées à volonté dans un ou plufieurs plans, lefquelles puiffances fuffent entr'elles comme ces lignes, & confequemment (Ax. 8.) capables feparément de les faire parcourir chacune la fienne à ce point A en tems égaux. Si fous deux AC, AB, de ces deux lignes, choifies à volonté, on fait le parallelogramme BC avec fa diagonale AD; enfuite fous AD, & fous celle AM qu'on voudra des autres proportionnelles aux puiffances fup

pofées, le parallelogramme DM avec fa diagonale AL de même fous AL, & fous celle AN qu'on voudra de ces proportionelles reftantes, le parallelogramme LN avec fa diagonale AP, &c. on verra fuivant ce qui précede, que toutes ces forces ou puiffances confpireroient enfemble à faire parcourir au point A la derniere diagonale, qui eft ici AP, dans le même tems que féparément elles lui feroient parcourir chacune celui des côtez de ces parallelogrammes, fuivant lequel elle feroit dirigée.

Car fuivant le prefent Lem. z. ce point mobile A parcourroit la diagonale AD du parallelogramme BC en vertu de la force réfultante du concours des dirigées fuivant AC, AB, dans le même tems que chacune de celles-ci lui en feroit parcourir feparément le côté AC ou AB fuivant lequel elle eft dirigée. De même ce point A parcourroit la diagonale AL du parallelogramme DM dans ce même tems par le concours de cette réfultante fuivant AD, & de la dirigée fuivant AM ; & confequemment en vertu de la réfultante du concours des trois dirigées fuivant AC, AB, AM. Pareillement ce même point A parcourroit encore AP pendant ce même tems, par le concours de cette derniere résultante suivant AL, & de la dirigée fuivant AN; & confequemment auffi en vertu de la résultante du concours des quatre dirigées fuivant AC, AB, AM, AN; & ainfi toûjours quelque foient le nombre, les directions & les quantitez ou les rapports des puiffances qui agiffent à la fois fur ce point mobile A. D'où l'on voit que par le concours d'action de toutes, ce point A fuivra toûjours la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme ci-deffus, & la parcourra dans le même tems que chacune de ces puiffances feparément lui auroit fait parcourir celui des côtez de ces parallelogrammes fuivant lequel elle eft dirigée..

COROLLAIRE VII.

Suivant le Corol. 1. la force du point A suivant AD