2

PHR que leurs directions font entr'elles, eft au finus de fa moitié. Ce qu'il falloit 20. démontrer.

P

Cette démonstration fait voir que les trois puissances D, R, font ici en équilibre fur la Poulie MDNC, & dans le même rapport entr'elles, que fi elles n'étoient en équilibre (Th. 1. Corol. 4.) qu'avec des cordes HD, HP, HR, nouées enfemble en H, & dirigées comme elles font ici, c'est-à-dire, de maniere que les angles PHD fuffent égaux entr'eux comme ils le font ici & qu'ainfi l'équilibre des puiffances entr'elles fur des Poulies, peut fort bien paffer pour un cas de l'équilibre avec des cordes feulement & confequemment auffi le prefent Th. 14. pour un feul cas du Th. 1. ce qui fournit encore une autre démonstration que voici de la même part. 2. du prefent Th. 14.

AUTREMENT. 11 eft vifible que tant que la puiffance D demeure ainfi en équilibre avec les puiffances P, R, fur la Poulie MBNC, non feulement cette Poulie demeure fans mouvement, mais encore la corde PMBNR demeure deffus fans gliffer, ni fe mouvoir non plus que fi elle y étoit collée, ou phyfiquement unie depuis M jufqu'à Navec la partie MBN de fa circonference; & les points M, N, de cette corde auffi fixes que fi PM, RN, étoient deux cordes differentes qui y fuffent feparément attachées fuivant les tangentes de la Poulie, en ces deux points-là: de forte qu'on peut regarder ici cette Poulie MBNC comme un corps qui tend vers D fuivant AD d'une force égale à celle de la puiffance D, & retenn avec les cordes PM, RN, par les puiffances P, R, en équilibre avec lui. Or en ce cas non feulement fa ligne de direction AD pafferoit (Lem. 3. Corol. 13. 14.) par le point H où concourent ces cordes prolongées, & le long de leur plan, mais encore cette Poulie MBNC regardée avec une telle impreffion, auroit (Th. 1. Corol. 4.) cette force à chacune des puiflances P, R, qui la retiennent, comme le finus de l'angle MHN à chacun des finus des angles NHA, MHA. Donc en effet la ligne de direction AD de la force ou puiffance D, avec laquelle la Poulie

MN eft ainfi tirée contre les puiffances P, R, en équili bre (Hyp.) avec elle, paffe toujours par le point H, dans lequel leurs cordes prolongées concourent, & le long de leur plan, ainfi qu'on le vient de démontrer dans la part. 1. mais encore en ce cas d'équilibre entre ces trois puillances D, P, R, la premiere D appliquée au centre A de la Poulie, eft toûjours à chacune des deux autres P, R, comme le finus de l'angle MHN eft à chacun des finus des angles NHA, MHA.

Or à caule que DA pafle (Hyp.) par le centre A de la Poulie, & par H, & que MH, NH, en font deux tou--chantes en M, N les deux angles NHA, MHA, fontchacun la moitié de l'angle MAN. Donc en la presente hypothefe d'équilibre entre les trois puiffances D,P,R, fur la Poulie MBNC, la premiere D`, dont la direction AD paffe par le centre A de cette Poulie, est toujours à chacune des deux autres P, R, comme le finus de l'angle MHN, ou PHR, que leurs directions ou cordes prolongées font entr'elles,eft au finus de fa moitié. Ce qu'it falloit encore 2. démontrer.

PART. III. Puifque (Hyp.) M, N, font les points ou la Poulie eft touchée par les parties PM, RN de la corde PMBNR, & que dans l'équilibre ici fuppofé entre les trois puiflances D,P,R,ces parties de corde (directions des puif-Tances P, R) prolongées concourent en H, fur la direction AD, perpendiculaire à la foutendante MN; les angles AMH, ANH, feront droits de même que ceux que fait la droite MN avec AD; & par confequent l'on aura ici non feulement l'angle MAN, complement de MHN à deux droits, mais encore tous les angles AMN, AHM, AHN, ANM, égaux entr'eux. Donc (Déf. 9. Corol. 2.) le finus de l'angle MAN fera ici au finus de chacun des angles AMN, ANM, comme le finus de l'angle MHN y eft au finus de chacune de fes moitiez AHM, AHN. Ör en ce cas d'équilibre la puissance D eft (part. z.) à chacune des deux autres puiffances P, R, comme le finus de Langle MHN est au finus de chacune de fes moitiez

AHN, AHM. Donc en ce cas d'équilibre cette puiffance D doit auffi être à chacune des deux autres P, R, comme le finus de l'angle MAN eft au finus de chacun des angles ANM, AMN, du triangle ifofcelle MAN, c'est-à-dire ( Lem, 8. Corol. 2.) comme la foutendante MN eft à chacun des rayons AN, AM, de la Poulie MBNÇ. Ce qu'il falloit 3o, démontrer.

AUTREMENT. Puifque (conftr.) les trois côtez AM, AN, MN, du triangle MAN, font perpendiculaires aux trois directions PH,RH, AD, ( chacun à chacune) des trois puiffances P, R, D, en équilibre (Hyp.) entr'elles, & que ces trois puiffances font ici en équilibre comme fur un corps MBNC, auquel elles feroient appliquées en M, N, B le Corol. 6. du Th. 1. fait voir que la puiffance D y doit être à chacune des deux autres P,R, comme le côté MN du triangle MAN eft à chacun de fes deux autres côtez AN, AM, c'est-à-dire, encore comme la foutendante MN de l'arc MBN de la Poulie, enveloppé de la corde PMBNR, qui foutient cette Poulie MBNC, eft à chacun des rayons de cette même Poulie. Ce qu'il falloit encore 30. demontrer.

PART. IV. Puifque (Hyp.) les trois puiffances D, P,R, appliquées comme ci-deflus à la Poulie MBNC, le font de maniere que la direction AD de la premiere D de ces puiffances, paffe par le concours H des directions PM, RN, prolongées des deux autres puiffances P, R, le long de leur plan, & à travers leur angle MHN ; que de plus cette premiere puiffance D eft à chacune des deux autres PR, comme le finus de l'angle MHN compris entre leurs directions ou cordes prolongées, eft au finus de fa moitié ; & que ( la direction AD paffant par le centre A de la Poulie fuivant fon plan, & les deux autres PM, RN, la touchant en M, N,) chacun des angles MHA, NHA, est la moitié de l'angle MHN: ces trois puiflances D, P, R, en action (Hyp.) les unes contre les autres fur la Poulie MBNC, feront ici entr'elles comme les finus des angles MHN, NHA, MHA, que les directions ou

Cordes

cordes prolongées font entr'elles au point H, où elles concourent (Hyp.) toutes trois ensemble. Donc (· Th. I. Corol. 15.) ces trois puiffances D, P, R, ainfi appliquées à la Poulie MBNC comme à un corps tiré de ces trois forces à la fois, doivent ici demeurer en équilibre entreelles. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

AUTREMENT. Si quelqu'une de ces trois puiffances D, P, R, par exemple, D, ne fuffifoit pas pour faire ici équilibré avec les deux autres P, R, fuivant les directions fuppofées, foit en fa place telle autre puiffance B qu'on voudra, qui appliquée comme elle) fuivant AD, y fuffife. La part. 2. fait voir que cette puiffance B feroit alors à chacune des deux autres P, R, comme le finus de l'angle MHN eft au finus de fa moitié, c'est-à-dire (Hyp.) comme la puiffance D eft à chacune de ces deux puiflances P, R; & que par confequent cette puiffance D feroit égale à l'autre B fubftituée en fa place. Donc ayant ici (Hyp.) la même direction AD qu'elle, cette puiffance D feroit auffi (ax. 2.) équilibre avec les deux autres P, R.

Si l'on vouloit que ce fut une de ces deux-ci, par exemple, P, qui ne fuffit pas pour leur faire faire équilibre avec la troifiéme D; l'on n'auroit qu'à fuppofer de même en la place de P fuivant fa direction PM quelqu'autre puiffance K, qui y fuffit, & l'on trouveroit pareillement que cette nouvelle puiffance K lui feroit égale; & confequemment que la puiffance P, auffi-bien que K, feroit équilibre avec les deux autres R, D.

Donc les trois puiffances D, P, R, appliquées comme on les fuppofe ici, à la Poulie MBNC,& entr'elles (Hyp.) comme les finus de l'angle MHN & de fes moitiez, feroient ici en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit encore 4o. démontrer.

PART. V. Puifque (Hyp.) les directions prolongées DA, PM, RN, des puiffances D, P, R, concourent ici toutes trois en H dans un même plan, & que (Hyp.)M,N, font les points ou la Poulie MBNC eft touchée par

Ee

les

parties PM, RN, de la corde PMBNR; l'on aura ici comme dans la démonft. 1. de la part. 3..)le finus de l'angle MHN au finus de chacune de fes moitiez AHM, AHŇ, comme le finus de l'angle MAN eft aufinus de chacun des angles AMN, ANM, du triangle MAN, c'est-à-dire (Lem. 8. Corol. 2.) comme la foutendante MN eft à chacun des rayons AN, AM, de la Poulie MBNC ; & confequemment aufli (Hyp.) comme la puiffance D eft à chacune des puiffances R, P. Donc (part. 4.) ces trois puiffances feront encore ici en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit 5o. démontrer.

AUTREMENT. Ces trois puiffances D, P, R, étant ici (Hyp.) entr'elles comme les côtez MN, AM, AN, du triangle MAN, perpendiculaires (Hyp.) à leurs directions AD, PM, RN, & en action les unes contre les autres fur la Poulie MBNC comme fur un corps auquel elles feroient appliquées en B, MN; le Corol. 19. du Th. r. fait voir que ces trois puillances D, P, R, doivent encore ici demeurer en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit encore : démontrer.

Cette part. 5. fe pourra encore démontrer ( fi l'on veut) par un raisonnement semblable à celui de la feconde démonftration de la part. 4.

z.

COROLLA KRE I

La part. . faifant voir qu'en cas d'équilibre fur la Poulie MBNC entre les puiffances D, P, R, la premiere D appliquée au centre A de la Poulie, eft toûjours à chacune des deux autres PR, appliquée a la corde PMBNR qui paffe fur cette Poulie, comme le finus de l'angle MHN compris entre les directions de ces deux puiffan ces P, R, eit au finus de fa moitie, fait voir que la puiffance D est toujours alors en même raifon à chacune de ces deux mêmes puiffances P, R; & confequemment que ces deux-ci font toujours alors égales entr'elles.

Cela fuit auffi de la part. 3. laquelle en ce cas d'équilibre donnant toûjours la puiffance D à chacune des deux