COROLLAIRE XVII.

Si prefentement on fuppofe que les cordons qui tou-chent ces Poulies, font tous deux à deux parallèles entr'eux fur chacune d'elles, cette hypothese rendant (Lem. 6. Corol. ) les angles MHN, PKQ, XLY, &c. infiniment aigus, leurs finus feront alors ( Lem. 7.) doubles de ceux de leurs moitiez ; ou (ce qui revient au même) les foutendantes MN, PQ, XY, &c. des arcs enveloppez par les cordes qui les foûtiennent, paffant alors toutes par les centres A, B, C, &c. de ces arcs ou des Poulies, feront auffi pour lors chacune double du rayon de chaque Poulie, dont cette foutendante eft alors le diamétre. Ainsi ayant en general le poids Dà la puiffance R Corollaire 15. comme le produit des finus des angles totaux MHN, PKQ, XLY, &c. au produit des finus des moitiez de chacun de ces angles, ou (Corollaire 16.) comme le produit des foutendantes MN, PQ, XY, &c. au produit des rayons des Poulies: l'on aura ici D.R:: 1x1XIX &c. xxx &c:: 2×2×2× &c. . c'eft-à-dire, le poids D à la puif- · fance R, comme le degré de 2, qui auroit pour expofant le nombre des Poulies, feroit à l'unité: de forte qu'en prenant pour ce nombre quelconque des Poulies, ce cas de parallelifme fuppofé dans toutes entre les cordons touchans de chacune donneroit en general D. R:: 2" 1./ Ce qui fignifie qu'alors le poids D feroit à la puiffance R, comme le plus grand terme d'une progreffion Géométrique double, qui en auroit autant qu'il y a de Poulies, plus un, feroit au premier. D'où l'on voit que n=3 dans le cas de la prefente Fig. 106. de trois Poulies, donneroit D. R : : 23. 1:: 8. r. s'il y en avoit quatre, alors n=4donneroit D.R:: 24. 1 :: 16. 1. s'il y en avoit cinq, alors

5 donneroit D.R:: 25. 1 :: 32. 1. & ainfi de tel autre nombre n qu'on voudra de Poulies.

COROLLAIRE XVIII.

-Ce cas ( Corol. 17. ) de parallelifme deux à deux de tous les cordons touchans des Poulies employées, comme dans la prefente Fig. 106. eft le feul fur une infinité, dans lequel le poids D en équilibre avec une puiffance R, puiffe être à cette puiflance comme le plus grand terme d'une progreffion Géométrique double, qui en auroit autant qu'il y a de Poulies, plus un, feroit au premier. Car dans tous les autres cas de cordons touchant les Poulies fans être paralleles deux à deux fur chacune, ce poids D doit toûjours être à cette puiffance R en équilibre (Hyp.) avec lui, en moindre raison (Corol. 3.) que ce dernier terme au premier de cette progreffion double, & même (Corol. 4. ) en moindre à l'infini ; parce que les angles MHN, PKQ, XLY, &c. ne pouvant devenir plus aigus (Lem. 6. Corol. 1.) que lorfque ces parties de cordes, tangentes des Poulies, font deux à deux ( fur chaque Poulie) paralleles entr'elles, les raifons de leurs finus aux finus de leurs moitiez, ne peuvent jamais être plus grandes (Corol. 7.) que celle de 2 à 1. Pareillement les foutendantes MN, PQ, XY, &c. alors diamètres de leurs Poulies, ne pouvant jamais être plus grandes qu'en cet état ; le rapport de chacune au rayon de fa Poulie, ne peut être non plus jamais plus grand que de +2 Au contraire les angles MHN, PKQ, XLY, &c. pouvant devenir toûjours plus grands ou plus obtus à l'infini, les rapports de leurs finus aux finus de leurs moitiez, peuvent (Lem. 8. Coxol.. 6.) diminuer à l'infini"; ou (ce qui revient au même) les foutendantes MN, QP, YX, &c. devant diminuer à mesure que ces angles augmentent ou deviennent plus obtus ; le rapport de chacune d'elles au rayon de fa Poulie, peut auffi par ce moyen diminuer à l'infini.

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à I.

De-la on voit affez la méprife de ceux qui dans cet usage des Poulies, ont avancé comme propofition generale, que ļe poids D eft la puiffance R, comme le plus grand terme

d'une progreffion double, qui en auroit autant qu'il y a de Poulies, plus un, eft au moindre. Ce qui les a trompez, c'est l'usage trop étendu qu'ils ont donné à la propofition rapportée dans la réflexion qui fuit le Corol. 1 2. de ce Théore

me-ci...

COROLLAIRE XIX.

Le précedent Corol. 17. fait déja voir, & on le verrá encore dans la fuite, que les Poulies mobiles peuvent confiderablement épargner les forces qu'il faudroit em ployer pour foutenir immédiatement, & fans aucune machine le poids qu'on foûtient avec elles; puifque fuivant ce Corol. 17. dans le cas du parallelifme des cordons touchans de chacune des trois Poulies de la Fig. 106, il ne faut pour foutenir le poids D par leur moyen, qu'une force égale à la-huitiéme partie de fa pefanteur, au lieu qu'il la faudroit (Ax. 4.) égale à cette pefanteur entiere pour foûtenir ce poids immédiatement & fans le fecours d'aucune machine. Si on le vouloit foûtenir de même avec quatre Poulies ainfi mobiles, ce Corol. 17. fait pareillement voir que dans ce cas de parallelifine des cordons touchans chacune de toutes ces Poulies, il ne faudroit qu'une puiffance égale à la feiziéme partie de la pefanteur de ce poids ; qu'avec cinq Poulies il ne faudroit qu'une puiffance égale à la trente-deuxième partie de fa pefanteur; & toujours moindre à l'infini, que ce poids fuivant la progreffion marquée dans ce Corol. 17. à mesure qu'on augmentera le nombre des Poulies: de forte que fim étoit un terme d'une telle progreffion double 1. 2. 4. 8. 16......, m. &c. lequel fût précedé d'autant d'autres qu'il y auroit ici de Poulies toutes touchées par des cordons paralleles entr'eux deux à deux pour chacune; le poids D feroit alors à la puiffance

R::m. I.

Ce cas de parallelifme des cordons touchans de chaque Poulie mobile, eft bien celui où la puiffance eft (Cozal. 6.) la plus petite de celles qui, à l'aide de ces Poulies,

T 1,G. 107. 108.

P

peuvent faire équilibre avec ce poids; mais il n'eft pas le feul où ce poids puifle ainfi être foûtenu par une puiffance moindre que lui. On le verra, fi l'on imagine la puiffance R en équilibre avec le poids D fufpendu au centre A, ou plutôt à la chape AB d'une Poulie mobile MBNC foutenue fur une corde PMBNR, dont une extrêmité foit attachée à un clou ou crochet P, & l'autre retenue par la puiffance R : on verra, dis-je, fuivant les part. 2.3.du prefent Th. 14. & fuivant le Corol 6. du Lem 8. que depuis la fituation où les cordons PM, NR, prolongez font entr'eux un angle PHR de 120 degrez, jufqu'à ce qu'ils foient devenus paralleles entr'eux, la puillance R fera toûjours moindre que le poids D en équilibre (Hyp.) avec elle, & d'autant moindre ( quoiqu'en raifon differente) que cet angle fe trouvera plus aigu. Car le finus de 120 degrez étant le même (Déf. 9. Corol. 2.) que celui de fa moitié 60 degrez, qui en eft le complement à 180 degrez, ou ( ce qui revient au même ) la foutendante MN étant alors égale au rayon AM ou AN de la Poulie MBNC; les part. 2. 3. font voir que lorfque l'angle PHR fera de i 20 degrez, la puiffance R fera précifément égale au poids D: & parce que plus cet angle diminuera, plus au contraire Lem. 8. Corol. 6.) augmentera le rapport de fon finus à celui de fa moitié, auffi-bien que le rapport de la foutendante MN au rayon AM ou AN de la Poulie ; & confequemment plus diminuera pour lors le rapport du finus de la moitié de cet angle PHR au fien, ou du rayon AM de la Poulie à la foutendante MN, plus auffi (part. 2. 3.) diminuera pour lors la puiffance R par rapport au poids D toûjours le même & toujours (Hyp.) en équilibre avec elle, jufqu'à ce qu'enfin elle n'en foit plus que la moitié (Corol. 2.) lorfque les cordons PM, RÑ, feront devenus paralleles entr'eux : ce que le rapport, fur tout du rayon AM ou AN de la Poulie à la foutendante MN de fon arc MBN, enveloppé de la corde PMBNR, fait voir fenfiblement.

(

La

La même chofe feroit encore fenfiblement en imaginant un parallelogramme HEGF, dont la diagonale HG foit une partie quelconque de la direction DĂ du poids D prolongée depuis H vers G, & dont les côtez HE, HF, foient fur les directions PH, HR. Car alors on verra que puifque le poids D doit toûjours être ici (part. 2.) a la puiffance R, comme le finus de l'angle PHR, ou EHF, au finus de fa moitié EHG ou HGF, tant qu'il fera en équilibre avec elle; & confequemment auffi pour ·lors (Déf. 9. Corol. 2.) comme le finus de fon complement HFG eft au finus de HGF, c'est-à-dire ( Lem. 8. Corol. 2.) comme HG eft à HF: on verra, dis-je, alors que le cas de l'angle PHR ou EHF de 120 degrez rendant le triangle HFG équilateral, & confequemment alors HF HG; la puiffance R en ce cas doit être égale au poids D. On verra de plus que le rapport de HF à HG diminuant toûjours (Lem. 8. Corol. 2.& 6.) à mefure que l'angle PHR devient plus aigu, jusqu'à devenir (Lem. 7.& 8. Corol. 2.) HF+FG=HR, & confequemment HF=÷HG lorsque l'angle PHR fe trouve infiniment aigu, c'est-à-dire ( Lem. 6. Corol. 1.) lorfque les directions PM, RN, font paralleles entr'elles ; la puiffance R toûjours en équilibre (Hyp.) avec le poids D, doit toûjours diminuer avec cet angle PHR, depuis l'égalité qu'on lui vient de voir avoir avec ce poids, lorfque cet angle étoit de 1 20 degrez, jufqu'à n'en valoir plus que la moitié (Corol. 2.) lorfque cet angle eft devenu infiniment aigu par l'arrivée (Lem. 6. Corol. 1.) des cordons PM, RN, à être paralleles entr'eux.

Voilà quelle eft Cutilité des Poulies mobiles pour l'épargne des forces dans la Statique : utilité d'autant plus grande que plus on y employera de ces fortes de Poulies à la fois, moins (Corol. 17. ) il faudra de force pour foûtenir, & confequemment auffi pour mouvoir les poids qu'il s'agira de retenir ou de transporter d'un lieu en un autre, on le verra encore da Fantage dans la fuite.

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