lés puissances P, R, demeureront par tout ici (part. 5.) en équilibre entr'elles.

En prenant ici AE pour le finus total, le Corol. de la Déf. 9. fait voir fait voir que les droites AM, AN, y feront les finus des angles AEM, AEN, que les directions MP,NR, des puiffances P, R, y feront avec cette droite AE. Donc (Corol. 6.) lorfque ces deux puiffances P, R, feront entr'elles en raifon reciproque des finus des angles compris entre chacune de leurs directions, & la droite menée de l'appui A de la Machine au concours E de ces directions entr'elles ; ces mêmes puiilances P, R, demeureront en→ core en équilibre fur cet axe ou appui A.

COROLLAIRE VIII.

Il fuit pareillement de chacune des part. 4 5. qué fi la charge de l'axe ou appui A, tant du Tour que du Treüil ou du Vindas, réfultante du concours des puiffances P, R, qui y font appliquées, eit à chacune de ces deux puiffances, comme le finus de l'angle MEN compris entre leurs directions prolongées MP, NR, eft au finus de chacun des angles reciproquement pris AEM, AEN, que chacune de ces directions fait avec la droite EA menée: de leur concours E à cet appui A ; ces deux puissances P, R, demeureront en équilibre entr'elles fur cet appui A.. Car fi l'on imagine encore le parallelogramme GH fait comme dans le Corol. 6. l'on verra pour lors les finus des angles EGF, FEG, EFG, du triangle EGF être les mêmes que ceux des angles MEN, AEM, AEN ; & confequemment (Lem. 8. Corol. 2. ) le premier de ces finus-ci être à chacun des deux autres, comme le côté EF de ce triangle EGF eft à chacun de fes deux autres côtez GF, EG, c'est-à-dire (à caufe de EH GF) comme la diagonale EF du parallelogramme GH eit à chacun de fes côtez EH, EG. Mais on fu pofe ici la charge de l'axe ou de l'appui A, résultante du concours des puissances P, R,

être à chacune de ces puiffances, comme le finus de l'angle MEN eft à chacun des finus des angles AEN, AEM. Donc auffi la charge fuppofée de l'appui A, eft ici à chacune de ces puiffances P, R, comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG,EH, qui leur répondent fur leurs directions. Par confequent ces deux puiffances P, R, feront ici entr'elles comme ces mêmes côtez EG, EH; &(princ. gener. Cor. 2.) la force réfultante de leur concours fera non feulement égale à cette charge, mais encore dirigée fuivant EF qui passe (Hyp.) par l'appui A. Donc enfin (part. 4. 5.) il y aura ici équilibre entre ces deux puiflances P, R, ainfi qu'on le vient d'avancer.

-COROLLAIRE IX.

Puifqu'en cas d'équilibre dans toutes les Machines de ee Théoreme-ci, la charge de l'axe ou de l'appui A qui reprefente cet axe, réfultante du concours d'action des puiffances P, R, fur lui, eft toûjours (part. 3.) à chacune de ces puillances P, R, comme la diagonale EF du parallelogramme GH, eft à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions : le Lem. 9. fait voir que lorfque l'angle MEN, que font entr'elles les directions MP, NR, de ces deux puiffances, eft infiniment aigu, c'eft-à-dire (Lem. 6. Corol. 1.) lorfque ces deux directions font paralleles entr'elles ; cette charge de l'appui A, eft toujours égale à la fomme PR, de ces deux puiffances, tant qu'elles agiffent en méme fens ; ou feulement égale à leur difference P-R, tant qu'elles a giffent en fens contraires. Les Corol. 1. 2. de ce Lem. 9. font pareillement voir que dans l'un & l'autre de ces deux cas cette charge de Pappui A eft toûjours alors dirigée parallelement aux directions de ces deux puiffances P, R; fçavoir, vers le même côté qu'elles dans le premier cas, & vers le côté de la plus forte d'entr'elles dans le fecond. Car,

L...

138. 139.

1. Lorfque l'angle MEN eft infiniment aigu, celui Fro. 136. GEH du parallelogramme GH l'eft aufli dans les Fig. 140. · 136. 138. 139. 140. du premier cas; & confequemment auff (Lem. 9. part. 1.) la diagonale du parallelogramme GH fe trouve toujours égale en ce cas à la fomme de ces côtez EG, EH. Donc fuivant la part. 3. de ce Théoreme-ci, la charge de l'appui A, réfultante du concours d'action des puiffauces P, R, fur cet appui, eft auffi toujours égale à la fomme P+R de ces deux puiffances F18.143. dans ce cas des Fig, 136. 139. 140. 141. qui fe rédui- 145. fent alors aux Fig. 143. 145. dans lefquelles ces deux puiffances P, R, de directions (Hyp.) paralleles entr'elles, agiffent vers le même côté, où font appliqués de differens côtez de l'appui A de la Machine: & cela conformément au Corol. 1. du Lem. 9. lequel Corol. 1. fait voir auffi que cette charge toûjours dirigée (part. 3.) fuivant la diagonale EF doit l'être alors de E vers A parallelement aux directions P, R, vers le même côté qu'elles, comme dans les Fig. 143. 145

137. 141.

2o. Tant que l'angle MEN compris entre les directions F16. 135. de ces deux puiffances P, R, demeure infiniment aigu, 142. celui GEH du parallelogramme GH des Fig. 135. 137. 141. 142. de l'autre cas, eft au contraire (Déf. I I. Corollaire) infiniment obtus ; & confequemment (Lem. 9. part. 2.) la diagonale EF du parallelogramme GH eft Four lors en ce cas égale feulement à la difference des côtez EG, EH, de ce parallelogramme. Donc fuivant la part. 3. de ce Théoreme-ci, la charge de l'appui A, n'est alors égale qu'à la difference P-R des puiffances P, R, en FIG. 144. ce cas des Fig. 135. 137. 141. 142. qui fe réduisent alors aux Fig. 144.146. dans lefquelles ces deux puiffances de diretions (Hyp.) paralleles entr'elles, agillent vers des côtez directement oppofez, ou font d'un même côté de cet appui A: & cela conformément au Corol. 2. du Lem. 9. lequel Corol. 2 fait voir auffi que cette charge toujours dirigée (part. 3.) fuivant la diagonale EF, doit l'ètre alors de A vers E parallelement aux directions de ces deux

Nn

146.

FIG. 135.

jufqu'à142.

puiffances P, R, & vers le côté où tend la plus forte P d'entr'elles, comme dans les Fig. 144. 146.

COROLLAIRE X.

Tout cela fuit encore du Corol. 3. joint au Lem. 9. & à & fuivantes fes Corol. 1. 2. fçavoir, qu'en cas d'équilibre ici entre lespuiffances P, R, & de l'angle MEN infiniment aigu, c'eftà-dire (Lem. 6. Corol. 1.) de leurs directions paralleles entr'elles ; non feulement la charge de l'appui A eft toûjours égale à la fomme P+R de ces deux puiffances, tant qu'elles agiffent enfemble en même fens; ou feulement égale à leur difference P-R, fi elles agiffent en fens contraires, mais encore que cette charge de l'appui A eft toûjours dirigée parallelement aux directions de ces deux puiffances vers le même côté qu'elles dans le premier cas, & vers le côté où tend la plus forte d'entr'elles dans le fe

FIG. 136.

138. 139. 140.

FIG. 144 146.

FIG. 135. 137 141. 142.

cond. Car,

1o. Lorfque l'angle MEN eft infiniment aigu, la part. 1. du Lem. 9. fait voir que le finus de cet angle total MEN dans les Fig. 136. 138. 139. 140. du premier cas, eft égal à la fomme des finus des angles partiaux AEN, AEM. Donc (Corol. 3.) la charge de l'appui A eft auffi toûjours alors égale en ce premier cas à la fomme PR des puiffances P, R, du concours d'action defquelles (part. 2. 3.) il eft chargé ; & cette charge toûjours dirigée ( part. 2. 3.) fuivant EF, le fera pour lors de E vers A dans les Fig. 144. 146. de la prefente hypothese, vers le même côté où ces deux puillances tendent, & (Lem. 9. Corol. 1.) parallelement à leurs directions, ainfi dans le nomb. i. du Corol. 9.

que

2°. Lorfque l'angle MEN devient infiniment aigu par l'éloignement infini de fon fommet E, l'angle AEN le devenant auffi pour lors, le Corol. 1. du Lem. 9. fait voir que le finus du premier MEN de ces deux angles, partial de l'autre AÊN dans les Fig. 135. 137. 14. 142. du fecond cas, n'eft alors égal qu'a la difference dont le finus de cet angle total AEN fürpaffe le finus de fon au

tre partial AEM. Donc (Corol. 3.) la charge de l'appui A n'eft non plus alors en ce fecond cas, qu'egale à la difference PR, dont le poids ou la puiffance P furpaffe la puiffance R: & cette charge, toujours dirigée (part. 2. 3.) fuivant EF, le fera pour lors de A vers E dans les Figures 144. 146. de cette hypothese-ci en même fens que la FIG. 144. plus forte P de ces deux puillances, pour lors directe- 146. ment contraire à l'autre R, & ( Lem. 9. Corol. 2.) parallelement à leurs directions, ainfi que dans le nomb. 2. du Corol. 9.

142

La même chofe fe peut encore démontrer autrement. Fra: 135. F1 Car fi dans ce fecond cas d'équilibre l'angle MEN eft 137. 141 infiniment aigu, & confequemment aufli AEM, ou fon égal FEG, le complement GEH du premier étant alors (Déf. 11. Corollaire) infiniment obtus avec un partial FEG infiniment aigu; le Corol. 2. du Lem. du Lem. 7. fait voir que le finus de cet angle total GEH ne fera pour lors qu'égal à la difference des finus de fes angles partiaux FEH, FEG; & par confequent (à caufe de FEH

EFG, & de EGF com lement de GEH à deux droits) le finus de l'angle EGF ne fera non plus alors qu'égal à la difference des finus des angles EFG, FEG. Donc (Corol. 3. la charge de l'appui A ne fera encore ici égale qu'à la difference F-R des deux puiffances P, R, & dirigée (part. 2. 3.& Lem. 9. Corol. 2.) de A vers E dans le fens de la plus forte P d'entr'elles, parallelement à leurs directions, ainfi qu'on le vient de voir dans les Fig. 144. 146.

COROLLARE XI.

La charge de l'appui A, réfultante du concours d'action Fre. 135. des puiffances P, R, en équilibre (Hyp.) entr'elles, étant & fuivantes jufqu'à toûjours alors (part. 3.) à chacune d'elles, comme la dia- 142. gonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG, EH, pris fur leurs directions, & cette diagonale devenant (quoiqu'en raison differente) d'autant plus grande dans le cas des Fig. 136. 138. 139. 140. &