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d'autant plus petite dans celui des Figures 135. 137 141. 142. que l'angle MEN eft plus aigu; il fuit manifeltement que cette charge de l'appui A, fera auffi d'autant plus grande dans le premier cas, & d'autant plus petite dans le fecond, que cet angle MEN fera plus aigu. Donc cet angle ne pouvant jamais être plus aigu que lorfqu'il l'eft infiniment, c'est-à-dire ( Lem. 6. Corol. I. ) que lorfque les directions des puiffances P, R, font pa-ralleles entr'elles ; & la charge de l'appui A, résultante du concours de ces puiffances, n'étant pourtant alors (Corol. 9. 10.) égale qu'à leur fomme PR dans le : premier cas, & qu'à leur difference P-R dans le fecond :il fuit encore évidemment que cette charge de l'appui A,. ne peut jamais être plus grande que la fomme de ces deux. puiffances P, R, dans le premier cas, ni plus petite que. leur difference dans le fecond...

COROLLAIRE XII..

que

Par confequent tant que les directions des deux puiffances P, R, ne feront point paralleles, quelqu'angle fini qu'elles faffent entr'elles, la charge de l'appui A réfultante du concours d'action de ces deux puiffances, fera toujours moindre leur fomme dans le cas des Fig. 136. 138. 139. 140. & toûjours plus grande que leur difference dans celui des Fig. 135.137.141. 142. fans pourtant que cette charge de l'appui A puiffe jamais devenir égale à la fomme de ces deux puiffances dans le fecond cas: de forte que tant que les directions de ces. deux puiffances P, R, font entr'elles quelqu'angle fini, la charge de l'appui A, résultante de leur concours d'action fur lui, eft toûjours moindre que la fomme de ces deux puiffances dans l'un & l'autre des cas précedens,. & dans toutes les Machines de ce Théoreme-ci.

Tout cela fuit encore immédiatement de la part. 3. la diagonale EF du parallelogramme GH, le trouvant toûjours moindre que la fomme de fes côtez EG, EH, tant qu'ils font quelqu'angle fini entr'eux, quoiqu'elle devien

ne d'autant plus grande que l'angle GEH devient plus

aigu.

COROLLAIRE XIII, ·

de

Il eft vifible dans le Tour que la puiffance R fuppofée FIG. 135 ici en équilibre avec le poids P, pourroit fe mouvoir de 136. 137 maniere, en defentortillant ou en entortillant fa corde 138. autour de la roue BNB, que fon point N d'application à cette roue, pafferoit du côté de M dans les Fig. 136.1 3 8. ou du côté oppofé à M dans les Fig. 135. 137. maniere, dis-je, qu'alors le cas des deux premieres de ces quatre Figures fe changeroit en celui des deux autres, & reciproquement celui de ces deux autres Figures, en celui des deux premieres: & cela ( Corol. 5.) fans l'équilibre fuppofé entre les puiffances P, R, ceffat jamais; puifque l'on y auroit toûjours P. R:: AN. AM. ainfi (Corol. 1.) que dans cet équilibre fuppofé.

que

142.

Il eft auffi vifible dans le Treüil ou le Vindas, que la FIG. 139.7 puiffance R paffant d'un côté à l'opposé par rapport à 140 1415 l'appui A, à la même distance AN, duquel elle fût encore appliquée; le cas des Fig. 139. 140. fe changeroit en celui des Fig. 141. 142. & reciproquement: & cela encore (Corol. 6.) fans que l'équilibre fuppofé entre cette puiffance & le poids P, ceffât; puifque l'on y auroit encore (Hyp.) P.R:: AN. AM. ainfi (Corol. 1) que dans cet équilibre fuppofé.

142.

Or (Corol. 11.) la charge de l'axe ou appui A, réful- F18. 135. tante du concours de ces puiffances P, R, ne peut jamais & fuivantes être plus grande que la fomme de ces puiffances dans le jusqu'à premier cas exprimé par les Fig, 136. 138. 139. 140. ni plus petite que leur difference dans le fecond exprimé par les Fig. 135. 137. 141. 142. Donc la charge de l'axe ou appui A du Tour, & du Treüil ou du Vindas, réfultante du concours d'action des puiflances P, R, › qu'on y vient de fuppofer en équilibre, & toujours enfuite appliquées chacune à même distance que d'abord de cet appui, de quelque côté que ce foit, & confequem.....

Nn iij.

ment (Corol. 1.6.) toujours en équilibre entr'elles, ne peut jamais être plus grande que la fomme de ces deux puiffances, ni plus petite que leur difference, en quelque varieté de points de cès Machines que ces deux puiffances foient fuccellivement appliquées, toûjours chacune à même distance de l'appui A,pour y conferver (Corol. 1.6.) l'équilibre entr'elles.

Voilà jufqu'ici pour ce qui concerne l'équilibre des puissances P, R, fur les Machines dont il s'agit ici. Voici auffi quelque chofe qui en résulte pour le cas méme où ces puiffances n'y Jeroient pas en équilibre entr'elles, & feulement pour le befoin que nous en aurons dans la fuite.

COROLLAIRE XIV.

Puifque le cas d'équilibre entre les puiffances P, R, doit donner ici ( Corol. 1.) P. R:: AN. AM. ou (Corol. 2.) PàR, comme le finus de l'angle AEN au finus de l'angle AEM; il eft manifefte que lorfqu'une de ces puiffances eft plus grande qu'il ne faut pour avoir ce rapport à l'autre, elle doit (Ax. 5. l'emporter fur elle : puifqu'alors elle feroit plus grande qu'il ne faudroit ( Corol.1. & 7.) pour faire équilibre ici avec elle.

COROLLAIRE X V.

Reciproquement fi une de ces deux puiffances P, R, l'emporte ici fur l'autre, étant alors plus grande qu'il ne faudroit pour faire équilibre avec elle, leurs directions demeurant les mêmes; elle fera auffi pour lors à l'autre en plus grande raison que la requife pour cet équilibre, laquelle eft (Corol. 1.) de P.R:: AN. AM. ou (Corol. 2.) de P à R, comme le finus de l'angle AEN eft au finus de l'angle AEM. Donc alors, fi c'est la puiffance ou le poids P qui l'emporte fur la puiffance R, l'on aura P'à R en plus grande raifon que AN à AM, ou que le finus de l'angle AEN au finus de l'angle AEM. Pareillement fi c'est la puiffance R qui l'emporte fur le poids P, l'on aura de même R à P en plus grande plus grande raifon que AM à

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AN, ou que le finus de l'angle AEM au finus de l'angle AEN.

COROLLAIRE XVI.

De plus lorfqu'une des deux puiffances P, R, l'emportera ici fur l'autre, la direction de la force résultante (Lem. 3. Corol. 1.) de leur concours, ne paffera point (princip. gener. Cor. 1.) par l'axe ou l'appui A, mais entre cet appui & la direction de celle des deux puiffances qui l'emportera fur l'autre. Car puifque (Lem. 3. Cor. 6.) ces deux puiffances P, R, n'agiffent ensemble que de cet

te force réfultante de leur concours fur chacune des Ma-chines dont il s'agit, & de même que feroit cette force feule; il eft vifible (princ. gener. Cor. 1) que la direction de cette force résultante du concours de ces deux puisances P, R, doit paffer du côté de celle des deux qui l'emportera fur l'autre, entre l'appui A, & la direction de cette puiffance prédominante.

SCHOLI E

Il fuit de tout ce qui précede, que dans le Tour, en cas d'équilibre entre les puiffances P, R, qui y font appliquées, la varieté des directions de ces deux puiffances, y varie toujours (Corol. 8. 9. 10. 11. 12. 13.) la charge de l'appui A, résultante du concours d'action de ces deux puiffances fur lui; mais qu'elle n'y varie jamais (Cor. 4.)

rapport de ces puiffances entr'elles ; & qu'ainfi la confideration de leurs directions est tout-à-fait inutile dans la recherche de ce rapport. C'est pour cela que dans la fuite, pour avoir ce rapport entre deux puiffances en équilibre entr'elles fur tel nombre de Tours à la fois qu'on voudra, nous ne nous mettrons plus en peine des angles que les directions de ces deux puiffances y pourroient faire ou ne pas faire entr'elles, mais feulement des rayons ou des diamétres des rouleaux & des roues de toutes ces Machines.

FIG. 147.

148.

THEOREME X X.

la

Soient pluficurs-Tours AMD, BNE, COF, &c. mobiles autour de leurs centres fixes A, B, C, &c. foient autant de cor ́des DD, EE, FR, &c. roulées fur les roues ou tambours MD, EN, OF, &c. de ces Machines, de maniere que corde DD roulée fur le tambour DM fuivant MD, le puisse être fur le rouleau ou cylindre KD fuivant DK ; que celle EE qui l'eft fur le tambour E N fuivant NE, le puiffe étre auffi fur le rouleau LE fuivant EL; & par tout de même jusqu'au dernier Tour COF fur la roue FO duquel foit auffi la corde FR, roulée fuivant OF: à l'extrémité R de cette corde FR foit une puiffance R, qui par le moyen de toutes ces Machines ou de tous ces Tours ainfi équipe, agile contre le poids ou la puiffance P appliquée à une autre corde GP, qui fe puiffe rouler ou filer fuivant GH. Cela pofé, quelques foient les directions GP, DD, EE, FR, des cordes, je dis,

I. Qu'en cas d'équilibre ici entre les puiffances P, R, la puif fance R fera à la puissance ou poids P, comme le produit des rayons de tous les rouleaux eft au produit des rayons de toutes les roues, ou (ce qui revient au même ) comme l'unité est à la fraction refultante du fecond de ces produits, divifé par le premier, quelques foient les directions de ces puiffances P, R.

II. Reciproquement fi les puiffances P, R, font entr'elles en ce rapport, elles feront ici en équilibre entr'elles, quelques en foient encore les directions.

DEMONSTRATION.

PART. I. En ce cas d'équilibre fuppofé les deux forces dont chacun des cordons DD, EE, &c. eft directement tiré en fens contraires, étant ( Ax. 5.) égales entr'elles, foient appellez D chacune des deux dont le cordon DD est ainfi tiré ; E, chacune des deux dont le cordon EE eft auffi tiré directement en fens contraires, &c. Cela pofé, fi des appuis ou centres fixes A, B, C, &c. par les points G,D,D,E, E, F, &c. où les rouleaux & les roues font touchées par les parties droites des cordes, on imagine les rayons AG, AD, BD, BE, CE, CF, &c. de ces rouleaux

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