rapportée en plufieurs Lettres depuis la pag. 122. jufqu'à la pag. 151. du Recueil qu'on vient de citer de fes Ouvrages, laquelle a duré fix mois entre lui d'une part, & Mellieurs Pafchal & Roberval de l'autre, fans pouvoir s'accorder fur les proprietez du Levier dans l'hypothese des directions des poids concourantes au centre de la Terre, dont il s'agiffoit de donner une démonftration immédiate & indépendante du parallelifme: chacun des deux partis trouvoit toujours à rédire à la démonstration que l'autre croyoit en avoir trouvée.

eux,

IV. Sans entrer dans le détail de cette conteftation qui fe trouve dans les Lettres dont on vient de parler, il est aisé de voir par tout ce qui précede, que ces trois grands Géométres, aufquels les mouvemens compofez étoient fi familiers, auroient été bien-tôt d'accord entres'ils avoient alors feulement tourné la tête de ce côtélà: car voyant, fuivant la doctrine de ces mouvemens,conformément au Cor. 7. du Lem. 3. que les deux poids fuppofez appliquez à un Levier avec des directions tendantes de part & d'autre au centre de la Terre, n'agiffoient enfemble fur ce Levier que comme une force unique, égale à la résultante deleur concours, dirigée comme elle fuivant la diagonale d'un parallelogramme fait de côtezpris entr'eux en raifon de ces poids fur les directions de ces mêmes poids; ils auroient tout-auffi-tôt, conformément au Corol. 2. du principe general, conclut que pour l'équilibre entre ces deux poids l'appui du Levier devoit être en quelque point à volonté, de fa rencontre avec cette diagonale prolongées, & de-là se seroient offertes à eux toutes les proprietez & les fuites qu'on va voir de cet équilibre par cette voye dans le Théoreme fuivant, qui renfermera beaucoup plus que ces Meffieurs ne cherchoient, étant d'une univerfalité qui embraffe toutes fortes de Leviers à la fois, quelques foient leurs figures, leurs fituations, & les directions des poids ou des puiffances qui s'y trouveront appliquées ; & cela fans aucune dépendance du parallelifime de ces directions, fans lequel

avant le Projet de ceci publié en 1687, perfonne (que je fçache) n'avoit encore rien démontré de ce qui réfulteici de leur concours, qui bien loin d'être ainfi une fuite de ce parallelifme, eft au contraire le general dont ce parellelifme lui-même n'est qu'un cas fur une infinité de pofitions differentes de ces directions, toutes comprifes dans ce Théoreme univerfel fous le nom general d'angles quelconques, defquels le plus aigu de toutes les poffibles eft (dis-je) ce parallelifme lui-même, ainsi qu'il paroît par les Corol. 1. 2. du Lem. 6.

DEFINITION XXII.

Les perpendiculaires menées de l'appui d'un Levier quelconque fur les directions des poids ou puiffances qui feur feront appliquées, feront appellées leurs diftances à l'appui, ou fimplement les distances de ces poids ou de ces puiffances; & les parties du Levier comprises entre ce même appui & les directions de ces poids ou puiffances, feront appellées bras du Levier.

Le produit de chaque poids ou puiffance abfolue par sa fa distance à l'appui du Levier auquel elle eft appliquée, s'appelle en Latin Momentum, ce que le Corol. 4. du Th. 21. qu'on va voir, me fait croire ne pouvoir mieux s'exprimer en François que ( Déf. 1.) par le mot de Force relative, ou d'impreffion ou d'action fur le Levier auquel ce poids ou cette puiffance eft appliquée : nous ne laisserons pourtant pas de l'appeller aufli Moment, pour nous moins éloigner du langage ordinaire. La raifon de ce nom vient fans doute de ce que ces produits font égaux ou inégaux (ainfi qu'on le verra dansles Corol. 7. 8. 9. 10. du Théoreme fuivant) comme les impreffions de deux puiffances fur un Levier, felon qu'elles font ou ne font pas équilibre entr'elles fur fon appui. Ce qui fe dit ici des forces relatives ( Momenta) des forces ou puiffances abfolues, fe dit auffi des réfiftances relatives des abfolues, qui (4x. 2.3.4.) fuppléent ces forces.

DEFINTION

DEFINITION XXIIL

170.

Outre l'usage ordinaire des Leviers pour enlever ou FIG. Igi remuer de grands fardeaux, le droit MÑ, dont l'appui B eft entre le poids & la puiffance, fert encore à pefer des marchandifes placées à une de fes extrêmitez contre un poids de pefanteur connue fufpendu à l'autre extrêmité de ce Levier, dans l'hypothefe des directions des poids paralleles entr'elles, & alors ce Levier s'appelle Balance, lorfque les bras BM, BN, en font égaux; & Pefon ou Ro-. maine, lorfqu'ils font inégaux.

FIG.

Dans la Balance le Levier MN s'appelle Flean ou Tra- F16. 169; verfain ; BH, l'Anfe ou la Chaffe; BG, l'Aiguille, laquelle d'une piece avec le fleau, lui eft perpendiculaire, & mobile avec lui autour de l'effieu B; les deux pieces E, F, fixement fufpendues aux extrêmitez M, Ñ, du fleau,s'appellent Baffins,lorfqu'elles font creufées en forme d'Ecuelles fans oreilles, & Plateaux, lorfque ce ne font que des pieces de bois plates ordinairement quarrées, comme dans certaines Balances des pauvres gens pauvres gens de campagne, ou dans les grandes des Douanes.

Dans le Pefon ou la Romaine le Levier MN s'appelle F10.170 la Verge; BH, l'Anfe MC, le Crochet, auquel la marchandife E, ou le poids à pefer est suspendu à l'extrémité M de fon petit bras BM ; & F, la Maffe, qui eft un poids de pefanteur connue, comme d'une livre, ou deux, &c. fufpendu à un Anneau O plat, pofé fur fon tranchant, & mobile le long du grand bras BN, dont il est enfilé, & qui eft divifé en parties égales à BM.

THEOREME XXI.

Fondamental de la prefente Section 5.

& fuivantes

Dans toutes fortes de Leviers MN de figures & de pofitions F10. 153. quelconques, quelques foient auffi les directions XE, OF, BH, jusqu'à167. des trois puiffances E, F, H, qui y foient appliquées en autant de points quelconques X, O, B, fçavoir, celle du point du mi

lieu contre les deux autres, ou deux quelconques E, F, d'entr'elles contre un appui invincible B mis à la place de la troifiéme H.

I. En cas d'équilibre entre ces trois puissances E, F, H, ou entre les deux premieres E, F, fur l'appui Bi quelqu'angle DAP ou RAS, que faffent entr'elles les directions XE, OF, prolongées des puiffances E, F, la direction BH prolongée de la puiffance H, ou de la résistance de l'appui B mis en fa place, paffera toujours par le fommet A de cet angle DAP ou RAS, à travers ce même angle fuivant fon plan.

II. Cette direction BH de la puissance Hou de l'appui B, fera auffi toujours alors en ligne droite avec la direction de la force refultante (princip. gener. & Lem. 2. 3. ) du concours d'action des puiffances E, F ou (ce qui revient au méme ) la direction de cette force refultante du concours de ces deux puiffances E, F, paffera toûjours alors du point A de concours de leurs directions, par l'appui B, ou fuivant la direction BH de la puiffance H, dont cet appui tient lieu (Ax. 2. ) par sa réfiftance. Cette puiffance H, ou cet appui B mis en fa place, fera auffi toujours alors d'une résistance égale à la force résultante du concours d'action des deux autres puissances E, F.

III. En quelque raifon que la direction BH prolongée de la puiffance H, ou de la résistance de l'appui B mis à fa place, divife ( part. 1) l'angle DAP ou RAS compris entre les directions auffi prolongées des puissances E, Fifi l'on imagine un parallelogramme RASG fur une diagonale quelconque AG prife depuis A dans l'angle RAS fur HA, ou BA prolongée de ce cóté-là, lequel parallelogramme ait fes cótez AR, AS, fur les directions EX, FO, pareillement prolongées du méme cotés la puissance H, ou la charge de l'appui B, refultante fur lui (part. 2.) du concours des puiffances E, F, en cas d'équilibre fera à chacune des puiffances E, F, comme la diagonale AG de ce parallelogramme RS, fera à chacun de fes cote AR, AS, correfpondans fur leurs directions.

IV. En ce même cas d'equilibre, fi les puiffances E, F, font entr'elles comme les parties AR, AS, de leurs directions, & que de ces deux cótek AR, AS, on faffe un parallelogram

me RS; la diagonale AG de ce parallelogramme paffera toûjours fuivant la direction prolongée BH de la puissance H ̧ ou par l'appui B mis en fa place, fi c'eft fur cette puiffance H ou fur cet appui B, que ces deux puiffances E, F, font équilibre; & la puiffance H, eu la charge de l'appui B mis en fa place, fera encore pour lors à chacune des puiffances E, F, comme la diagonale AG du parallelogramme RS, eft à chacun de fes côtez AR, AS, correspondans fur leurs directions! V. Reciproquement fi la direction de la force réfultante f princ. gener. Lem. 2. 3.) du concours des puiffanees E, paffe par l'appui B, il y aura équilibre entre ces deux puissan ces fur cet appui mis à la place de la puiffanee H ici retranchée.

F.

VI. Pareillement fi la diagonale AG prolongée du paralle logramme RS fait comme dans la part. 4. de côtez AR, AS. pris fur les directions des puiffances E, F, en raison de ces memes puissances, paffe par l'appui B; ou (ce qui revient an méme ) fi l'on met un appui B dans quelque point que ce foit de la rencontre de cette diagonale prolongée avec le Levier MN: il y aura toûjours encore équilibre entre ces puissances E, F, fur cet appui B.

DEMONSTRATION.

PART. I. Le Corol. 14. du Lem. 3. fait voir qu'en cas d'équilibre entre les trois puiffances E, F, H, appliquées Hyp.) au corps MN, ou entre les deux premieres E, F, & l'appui B fuppléant (Ax. 2.) la troifiéme H; leurs trois directions XE, OF, BH, doivent passer le long d'un même plan, chacune à travers l'angle des deux autres, & par fon fommet, lequel fera infiniment éloigné( Lem. 6. Corol. I. 2.) fi ces trois directions font paralleles entr'elles. Donc en ce cas d'équilibre, quelque foit l'angle DAP ou RAS compris entre les deux premieres XE, OF, de ces trois directions prolongées; la troifiéme BH de la puiffance H, ou de la réfistance de l'appui B, qui (Ax. 2.) la fuppléeroit, paffera toûjours par le fommet A de cet angle, à travers ce même angle fuivant fon plan. Ce qu'il falloit 1°. démontrer,

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