PART. II. Regardons pour un moment la puissance H oifive & fans action ; le nomb. 1. du Corol. 1. du Lem. 3 fera voir, comme on l'a déja vû dans la démonstration de la part. 2. du Th. 19. & ailleurs, que du concours d'action des puiffances E, F, il doit réfulter fur le Levier MN une nouvelle force fuivant quelque ligne AG qui paffe par la pointe A de l'angle RAS compris entre les directions de ces deux puiflances, fuivant laquelle ligne AG ce corps feroit ici preffé, pouffé, ou tiré par le concours de ces deux puiffances E, F, comme fi au lieu de l'être ainfi par elles ensemble, il ne l'étoit fuivant cette ligne AG que par une feule force égale à la résultante de leur concours ; & que ce corps ainfi preffé, pouffé, ou tiré suivant cette ligne AG, fe meuvroit effectivement (Ax. 1.) fuivant cette direction de A vers G, fi rien ne s'y oppofoit. Donc n'y ayant ici (Hyp.) d'obstacle qu'en B, de la part de la puiffance H remise en action fuivant BH contre les deux autres E, F, ou de la part de l'appui B, qui mis à la place de cette puiffance H, la fupplée ( Ax. 2.) par la réfiftance, non feulement cette direction AG de la force résultante du concours des puiffances E, F, doit dans le cas d'équilibre ici fuppofé, fe trouver effectivement (Lem. 3. Corol. z. nomb. 1.) fuivant BH, fi c'est avec la puiffance H que les puiffances E, F, y demeurent en équifibre, ou paffer (princ. gener. Corol. 2. ) par l'appui B, fi c'eft fur cet appui que ces deux puiffances demeurent ainfi en équilibre entr'elles ; mais encore cette force réfultante de A vers G du concours de ces deux puiffances E, F, doit alors (Lem. Corol. 2. 3. nomb. 3.) être égale à la résistance de cette puiffance H, ou de l'appui B; c'està-dire (Lem. 3. (Lem. 3. Corol. 2.) égale & directement opposée à cette résistance. Ce qu'il falloit 20. démontrer.

PART. III. Suivant cette précedente part. 2. l'on voit qu'en ce cas d'équilibre entre les trois puiffances E, F, H, , ou entre les deux premieres E, F, fur l'appui B, qui (Ax. 2.) fuppléeroit à la troifiéme H; la force réfultante du concours de ces deux puiffances E, F, doit étre égale

& directement oppofée à la résistance que leur fait la puiffance H, ou l'appui B mis à la place de cette puiffan ce H; de forte que BH étant (Hyp.) la direction de la réfiftance de la puiffance H ou de l'appui B, cette force réfultante du concours d'action des puiffances E, F, contre cette résistance, doit en ce cas-ci d'équilibre, non feulement être égale à cette même réfiftance de la puiffance H ou de l'appui B, mais encore être dirigée fuivant HB en fens directement contraire à celui de cette réfiftance, qui eft (Hyp.) fuivant BH, c'est-à-dire (part.2.) être dirigée fuivant AB, ou (conftr.) fuivant la diagonale AG du parallelogramme RS, lequel ayant (conftr. ) les côtez AR, AS, fur les directions des puiffances E, F, du concours defquelles cette force résulte, fait confequemment voir (Lem. 3. Corol. . nomb. 2.) que cette même force suivant AG, doit être ici à chacune des puiffances E, F, comme cette diagonale AG eft à chacun de ces côtez AR, AS, correfpondans fur leurs directions. Donc la puiffance H, ou la résistance de l'appui B mis en fa place, & par confequent auffi (Déf. 21. Corol.) la charge de cet appui, doit être ici à chacune des puiffances E, F, (fuppofées en équilibre contre cette puiffance H, ou fur cet appui B) comme la diagonale AG du parallelogramme RS eft à chacun de fes côtez AR, AS, correfpondans fur les directions de ces deux puiffances E, F. Ce qu'il falloit 3°. démontrer.

PART. IV. Puifque (Hyp.) E.F:: AR. AS. la direction: de la force réfultante du concours de ces deux puissances E, F, doit être Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1.) de A vers G fuivant la diagonale AG du parallelogramme RS, ou (ce qui revient au même) cette diagonale AG doit être fuivant cette direction de la force réfultante du concours des puiffances E, F. Or (part. 2.) en cas d'équili bre cette même direction doit être fuivant BH ou paffer par B. Donc en ce même cas d'équilibre ici fuppofé, la diagonale AG doit toujours auffi être fuivant BH, ou paffer par B; & confequemment (part. 3.) la puiffance

Q g ii j

H, ou la charge de l'appui B mis en fa place, doit en core être ici à chacune des deux puiffances E, F, ( fuppofées en équilibre avec cette puiflance H, ou fur cet appui B) comme la diagonale AG du parallogramme RS, elt à chacun de fes côtez AR, AS, qui leur répondent fur leurs directions. Ce qu'il falloit 4o. démontrer.

PART. V. Cette part. s. fe trouve démontrée dans le Corol. 1. du principe general, en ce que lorfque la direction de la force refultante du concours des puiflances E, F, palle par l'appui B, la résistance invincible (Hyp.) de cet appui, que cette force trouve alors à fon paffage, quand elle tend vers lui, comme dans les Fig 153. 1 5 5 1 57. 159. 1 6 2. 164. 166. 167. ou quand il tire (pour ainfi dire) contr'elle, lorfqu'elle tend à s'en éloigner, comme dans les Fig. 154. 156. 158. 160. 161. 163. 165. doit l'arrêter tout court, & mettre ainfi ( Lem. 3. Corol. 1.nomb. 4.) en 4.) en équilibre entr'elles fur cet appui B les puiffances E, F, fans qu'aucune d'elles puiffe faire pancher le Levier MN d'aucun côté ; puifque cette for ce résultante de leur concours, & ainfi arrêtée ou foûtenue toute entiere par l'appui, eft ( Lem. 3. part. 3. & Cam rol. 6.) tout ce que ces deux puiffances E, F, font d'effort fur ce Levier MN. Ce qu'il falloit 5o. démontrer, & ce qu'on verra encore l'étre ci-après dans le Schol. du Th.

PART. VI. Puifque les puiffances E, F, font ici entr'elles (Hyp.) comme les côtez AR, AS, du parallelo gramme RS, fuivant lefquels elles font dirigées: la force réfultante de leur concours fera ( Lem. 3.Corol. 2. nomb. 1.) fuivant la diagonale AG de ce parallelogramme. Done cette diagonale prolongée paffant (Hyp.) par l'appui B, il y aura encore ici équilibre (part. 5.) entre ces deux puif fances E, F, fur cet appui B. Ce qu'il falloit 6°. démontrer,

AUTRE DEMONSTRATION.

Ce Th. 21. pourroit encore fe démontrer par le Th. 1. en confiderant le Levier MN comme un corps fans pefanteur, tiré avec des cordes par trois puillances E, F,H,

à la fois, ou comme un corps tiré par les deux premieres E, F, contre la troifiéme H qui lui tienne licu de pefanteur, de même que fi ce Levier MN étoit un poids de cette pefanteur H, foutenu ou tiré avec des cordes XE, OF, par ces deux premieres puiffances E, F. Suivant cela, PART. I. La partie 1. du Th. 1. fera voir qu'en cas d'équilibre, la direction BH prolongée de la pefanteur ou puiffance H, paffera toujours par le concours A des directions pareillement prolongées XE, OF, des puiffances E, F, fuivant leur plan, & à travers l'angle DAP ou RAS, que ces deux directions-ci prolongées font entreelles, quel qu'il foit: de forte qu'en imaginant au Levier MN un appui B, dont la réfiftance contre les puiffances E, F, y fupplée (4x. z.) celle de fa pefanteur ou puiffance H, c'est-à-dire, dont la résistance & la direction foient les mêmes que celles de cette puiffance ou pefanteur H de ce Levier; cette direction HB prolongée de cet appui B, ou de cette puiffance H, paffera encore (en cas d'équilibre) par le fommet A de l'angle DAP ou RAS compris entre les directions ainfi prolongées des puiffances È‚F, à travers de cet angle & fuivant fon plan. Ce qu'il falloit encore xo. démontrer.

PART. II. La part. 2. du Th. 1. fait auffi voir qu'en ce cas d'équilibre cette direction BH de la puiffance ou pefanteur H du Levier MN, fera toujours en ligne droite avec celle de la force résultante du concours des puiffances E, F. Donc en fubftituant encore un appui B dans la direction BH de cette pefanteur ou puiffance H, au lieu d'elle, lequel (Ax. 2.) la fupplée par la réfiftance; la direction de la force résultante du concours des puissan→ ces E, F, paffera auffi toujours (en cas d'équilibre) par cet appui B. Ce qu'il falloit encore 2o. démontrér.

PART.III. La part. 3. du Th. 1. fait auffi voir qu'en ce même cas d'équilibre, la puiffance ou pefanteur H du Levier MN, & confequemment auffi (Ax. 2.) la réfiftance de l'appui B mis en la place de cette puffiance ou pefanteur H, doit toujours être à chacune des puiflances

E, F, comme la diagonale AG du parallelogramme RS, eft à chacun de fes corez AR, AS, correfpondans fur les directions EX, FO, prolongées de ces puiffances E, F. Ce qu'il falloit encore 3°. démontrer.

PART. IV. La part. 4. du Th. 1. fait pareillement voir qu'en ce cas d'équilibre, non feulement la direction de la force résultante du concours des puiffances E, F, c'eft-à-dire (Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1.) la diagonale AG du parallelogramme RS, fait des côtez AR, AS, pris en raifon de ces deux puiffances fur leurs directions, paffera toûjours fuivant la direction BH de la puiffance ou pefanteur H du Levier MN, & confequemment auffi par l'appui B, mais encore que la réfiftance de cette puiffance ou pefanteur H, ou de l'appui B mis en fa place dans fa direction BH, doit alors être à chacune des puiffances E, F, comme cette diagonale AG du parallelogramme RS eft à chacun de fes côtez AR, AS, correfpondans fur les directions de ces deux puissances E, F. Ce qu'il falloit encore 4°. démontrer.

Les part. 5.6. de ce Théoreme-ci peurroient aussi se démontrer par la part. 6. du Th. 1. mais les démonstrations qui en réfulteroient, ne feroient que celles-là mêmes qui feroient de aes deux part. 5.6. dans la démonstration generale qui précede celle-ci, feulement plus longues & moins claires là par le tour qu'il faudroit prendre alors pour y revenir; c'est pour cela que nous ne nous y arréterons pas davantage.

que

celles

Nous ne parlerons pas non plus davantage de la puissance H qui,prife au hazard entre les trois puissances E, F,H,appliquées au Levier MN, en quelque ordre, & fuivant quelques direcions que ce foient, ne vient d'être employée que pour faire voir que l'appui B mis en fa place, c'est-à-dire, en fon point d'application à ce Levier, refifteroit de même qu'elle aux deux autres puiflances E, F, en équilibre entr'elles; & qu'un Levier quelconque pressé, poussé, ou tiré par deux puissances fur un appui placé à tel point qu'on voudra de ce Levier, revient toûjours à un qui le feroit par trois puissances, dont une quelconque feroit à la place de cet appui, dont une quelconque