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FIG. 112

par ce point de concours A, sur lequel on suppose deux pieux mobiles sans pouvoir glisser. .

COROLLAIRE XVIII. Il en seroit de même non seulement dans la Fig. 11. si ces deux pieux, au lieu d'être appuyez en A, l'étoient en M, N, sur un plan ou surface fixe quelconque PQ, fur laquelle ils ne puffent que se mouvoir autour de ces deux points M, N, sans glisser ; mais encore dans la Fig. 12. fi MG, NH, y étoient deux pieux ainsi appuyez en M, N, sur la surface fixe PQ, & que leurs directions concourussent en A : on prouvera, dis-je, de même encore que le poids BCGH, ne peut point du tout être en repos sur ces deux pieux des Fig. 11. 1 2. soit que les directions de ces pieux concourent haut ou bas, à moins que celle DX de ce poids ne passe par leur point de concours A.

COROLLA IR E XIX. Si l'on imagine presentement en équilibre entr'elles F1 G. Igi quatre puissances E, H, G, F, appliquées à autant de cordons CE, CH, BG, BF , attachez deux à deux aux extrêmirez C, B, d'une autre corde , ou verge CB, & qui prolongées concourent aussi deux à deux en deux autres points quelconques AD ; il suit encore du précedent Corol. 14. que l'effort résultant du concours d'action des deux puissances H, G, de directions concourantes en D,& le résultant du concours d'action des deux puissances E, F, de directions concourantes en A , auront DA pour direction commune en sens contraires ; puisque l'effort résultant du concours d'action en D des deux puissances H,G,en équilibre ( Hyp.) avec les deux autres E, F, fait la fonction d'une nouvelle puissance qui égale à lui, & appliquée en D suivant sa direction , fcroit seule équilibre avec ces deux-ci E, F, & que reciproquement l'effort résultant du concours d'action en A de ces deux dernieres puissances E, F, fait la fonction

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d'une nouvelle puiilance , qui égale à lui, & appliquée en A suivant sa direction, feroit seule équilibre avec les deux autres puiffances H, G.

Ce raisonnement conviendra également à tout ce qu'on voudra exprimer d'autres cas de ce Corob. 1 9. par rapport que les points A, D, peuvent avoir de positions differentes de selles qu'on leur voit dans la presente Fig. 13. qui seule suffit ici, les autres étant aisées à imaginer sur elle.

COROLLAIRE XX. Deux clous ott erechets en E, F, à la place des deux puissances de ces noms résistant ( Ax. 2.) comme elles aux deux autres puiffances H, G, il fuit du précedent Corol. 19.que la direction de l'effort résultant du concours d'action de ces deux dernieres puissances H, G, passeroit toujours du concours D de leurs directions

par le concours A des directions des cordons accrochez aux crochets supposez en E, F.

SCHOLI E. 1. N'y ayant dans une question que ce qu'on y suppofe, il est visible que ne fupposant dans le present Lem. 3. aucune résistance differente de ce que les puissances lupposées s'en peuvent faire l'une à l'autre comme dans la Part. 3. de ce Lemme , ce seroit sortir de la question, que de vouloir en considerer ici d'autre que celle-là. Il ne faut cependant pas dire pour cela que les mouvemens précedens n'étant tels qu'on les vient de démontrer, que dans le vuide, le rapport des forces qu’on en a conclu ne feroit d'aucun ulage dans un milieu résistant ; puisque l'équilibre qu'on en verra résulter dans la suite conformément au Corol. 1. du principe general , se feroit dans le plein comme dans le vuide , le plein. ne résistant qu'au mouvement, & non au repos: de sorte que si deux ou plusieurs forces appliquées à un même corps , fe foûtenoient mutuellement en équilibre sur ce corps en repos dans un espace vuide, elles s'y soutiendroient appli

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quées de même dans un espace plein. D'où l'on voit non leulement que le rapport des forces, quicauferoit l'équi. libre dans le vuide , le causeroit aussi dans le plein où elles auroient de feinblables applications ; inais encore que la cessation de ce rapport , ou de la ressemblance des applications de ces forces , qui causeroit la rupture de l'équilibre dans le vuide , la causeroit aussi dans le plein avec cette seule difference que le mouvement qui en résulteroit , se feroit plus lentement dans le plein que dans le vuide, à moins que cette difference de forces ne fût au dessous de la moindre résistance possible du plein. Donc en fait d'équilibre , il seroit inutile de demander s'il le fait dans le plein ou dans le vuide, pour avoir ( du moins à une petite difference près ) le rapport des forces qui le causent, & reciproquement. C'est pour cela qu'à l'exemple de tout ce qu'il y a eu d'Auteurs qui ont traité cette matiere, nous ne parlerons plus de cette difference des milieux,

II. Quant aux frottemens des corps les uns contre les autres, l'accrochement ( pour ainsi dire ) que l'asperité de leurs surfaces peut causer entr'eux par l'engrenement des parties de ces surfaces. les 'unes dans les autres, faisant ( comme le peu de résistance du plein ) la fonction d'une force ou puissance qui retiendroit ainsi les corps les uns contre les autres , & toûjours en faveur des plus foibles contre les plus fortes qui leur feroient appliquées, pourroit fort bien aider à les retenir en équilibre, sans que ces autres puissances fussent entr'elles dans le rapa port qu'il faudroit dans le vuide pour cela si ces frottemens n'étoient d'aucune résistance, quoique ni eux, ni la résistance du plein ne puissent l'empêcher quand ce rapport s'y trouvera. C'est ce qui nous fera négliger dans la suite ces frottemens avec la résistance du plein, comune s'ils n'en faisoient aucune ; fauf à y compter suivant l'Ax. 2. & la Demand. 1. tout ce qu'ils en ont,

en le prenant pour une puissance d'une force ou résistance qui lui soit égale , quand on l'aura connu.

Les Géometres à qui les trois Lemmes précedens avec leurs Corollaires, se presentent tout d'un coup, seront sans doute surpris de la maniere scrupuleuse dont je viens de les démontrer, ex du grand détail que j'en viens de faire : aussi aureisje supposé tout cela comme connu , si je n'avois en affaire qu'à eux ; mais j'écris pour des commençans , à qui il faut tout expliquer, da ce d'autant plus ici, que c'est sur ces trois Lemmes, & sur le principe general qu'est fondé tout ce qu'on va voir des proprietez des Mazhines.

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.

Plusieurs puissances, étant appliquées à autant de cordons attachez ensemble par un seul & même næud commun que rien autre chose ne retienne ; l'équilibre est impossible entre ces puissances ( quelles qu'elles soient , á quel qu'en soit le nombre ) lorsqu'elles sont dirigées de maniere qu'un plan puisse passer par le næud commun de leurs cordons sans passer entre elles, & fans qu'elles soient toutes dans ce plan.

DEMONSTRATION. Il est manifeste qu'un plan qui rencontreroit ainsi tous les cordons des puissances supposées , auroit toutes ces puissances tirantes d'un seul côté par rapport à lui, ou quelques-unes tirantes vers ce côté-là pendant que tontes les autres tireroient suivant sa direction. Donc ( Corol. 6. du Lem. 2. Corol. 10. du Lem. 3. ) de quelque maniere qu’on combine toutes ces puissances , il ne résultera du concours de toutes qu'une impression totale vers le côté qu'il y aura des puissances hors le plan supposé. Donc (princ.gener.) il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre toutes ces puissances. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I. Donc quelques soient les directions de plus de deux cordons ( en quelque nombre qu'ils soient ) attachez tous ensemble par un seul & même næud, & quelques puis

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fances qu'on leur applique ,. une à chacun ; l'équilibre entr'elles sera imposible.

1°. Dans le cas de tous leurs cordons en même plan, si la direction de quelqu'un d'eux ne divise pas quelqu'un des angles que les autres cordons font entr'eux; puisqu'un autre plan que le leur, mené suivant ce cordon-là , les rencontreroit alors tous en leur næud commun ,fans paffer à travers d'eux.

2.0. Dans le cas des mêmes cordons en plans différens, fi quelqu'un de ces plans prolongé ne passe non plus à travers des cordons des autres plans, puisque celui-là sera lui-même, alors un plan qui rencontrera aussi tous ces cordons en leur noud commun, sans passer à travers d'eux..

COROLLA ERE II. ;:

Il suit encore de ce Lemme-ci, qnelques soient les dis rections de plus de deux cordons ( en quelque nombre qu'ils soient encore ) attachez tous ensemble par un seul & même noud, qui soit regardé comme le centre d'un cercle au d'une fphere; que, si ces cordons ne font pas répandus en plus d'un demi-cercle , lorfqu'ils sont tous en même plan, ou en plus d'une demi-sphere, lorsqu'ils sont en plans differens ; quelque puislance qu'on leur applique, une à chacun, elles ne pourront jamais être en équilibre entr'elles suivant ces directions : puisqu'on pourra toûjours alors faire passer un plan par le næud commun de ces cordons, sans le faire passer entr'eux, & sans qu'ils soient tous dans ce plan.

Il est visible que chacun de ces Corollaires suit aufi.de l'autre , & qu'ils.fe prouvent mutuellement tous deux.

LEM ME V.. I. Lorsque tous les cordons ifjús d'un même næud, sont dirigez suivant un méme plan, de répandus en plus d'un demi cercle, il n'y en a aucun qui prolongé par-delà ce nænd commur , ne paffe entre les autres cordons.

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