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Car s'il n'y paffoit pas, il feroit le diamètre terminant d'un demi-cercle dans lequel feul lui & les autres cordons feroient alors tous répandus; ce qui eft contre l'hypothese. Donc, &c.

II. Dans la même hypothefe de tous les cordons dirigez fuivant un même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle, quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine fur ce plan par le nœud commun de tous ces cordons, fans paffer le long d'aucun d'eux, elle passera toûjours de part & d'autre de ce nœud, à travers deux des angles que ces cordons feront entreux.

Car fi elle ne paffoit à travers aucun de ces angles, elle feroit le diamétre terminant d'un demi-cercle dans lequel feul tous ces cordons feroient alors répandus; ce qui eft contre l'hypothese. Et fi cette ligne droite ne paffoit à travers que d'un des angles de ces cordons, les deux cordons voilins à droite & à gauche de cette ligne droite du côté où elle ne pafferoit à travers aucun de leurs angles feroient en ligne droite terminante auffi un demicercle, dans lequel feul tous ces cordons feroient alors répandus; ce qui eft contre l'hypothese. Donc toute ligne droite mene fur le plan & par le noeud commun de tous ces cordons, pafferà toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de ce noeud. Ce qu'il falloit dé

montrer

III. Lorsque ces cordons font dirigez fuivant des plans differens, & répandus en plus d'une demie-sphere; il n'y a aucun de ces plans qui prolongé par de-là le nœud commun de ces cordons, ne paffe entre les cordons des autres plans.

Car s'il n'y paffort pas, il feroit le plan d'un grand cercle terminant une demie-fphere, dans laquelle feule tous les cordons feroient alors répandus; ce qui eft contre l'hypothese. Donc, &c.

SCHOLI E.

La raifon qui vient de faire voir (Part. 2.) que toute ligne droite menée par le nœud, & fur le plan commu

de plufieurs cordons qui y feroient tous répandus en plus d'un demi-cercle, fans le faire paffer le long d'aucun de ces cordons, pafferoit toûjours à travers deux de leurs angles de pare & d'autre de leur noeud commun: cette railon, dis-je, fera voir de même que tout plan mené par le noeud commun de plufieurs cordons répandus en plus d'une demie-fphere, fans le faire paffer le long d'aucun d'eux, pafferoit auffi toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de leur noeud commun.

Les Figures de ces deux derniers Lem. 4. 5. étant faciles à imaginer, on a negligé de les ajoûter ici, & ce dautant qu'il y auroit fallu exprimer des plans à angles differens avec celui de la Planche, plus difficiles à tracer, & à reconnoître fur elle, qu'à fe les reprefenter fur le difcours que l'embarras de ces Figures n'auroit fait que rendre plus long& moins clair.

AVERTISSEMENT.

Jufqu'ici nous n'avons employé de Géometrie que quelque chofe des fix premiers Livres, & de l'onziéme des Élemens d'Euclide. Voici prefentement quelques Lemmes de pure Géometrie, qui n'en fuppofe pas davantage: c'est pour rendre plus univerfelle l'application du précedent principe general aux machines, & pour faire qu'aucun cas n'échappe à la generalité de nos propofitions, lefquelles n'exigeant dans le Lecteur que la valeur de ces fept Livres d'Euclide, feront (ce me femble) à la portée des Commençans attentifs : c'eft pour eux que j'ajoûte les Définitions fuivantes, qui ne fe trouvent point dans Euclide.

DEFINITION IX.

Si d'un point quelconque D de la demi-circonference F1 G 14CDF d'un cercle, dont A foit le centre, on laiffe tomber une perpendiculaire DE fur le diametre CF en E; cette perpendiculaire DE eft également appellée Sinus des angles CAD,DAF, ou des arcs CD, DF, mesures de ces angles. Suivant la même dénomination le rayon BA per

des

pendiculaire auffi fur CF, eft pareillement appellé Sinus de chacun des angles droits CAB, BAF, ou de chacun quarts de cercle BC, BF, & comme ce Sinus AB eft le plus grand de tous, on l'appelle Sinus total, fur lequel fe mefurent tous les autres. D'où l'on voit que fon égal AD doit auffi être pris pour Sinus total, dont DE foit un des Sinus partiaux. De forte que,

COROLLAIRE I.

Dans le triangle rectangle AED, en prenant AD pour le Sinus total, ou de l'angle droit E, l'on aura DE pour le Sinus de l'angle DAC ou DAF; & par la même raifon l'on aura auffi AE pour le Sinus de l'angle ADE.

COROLLAIRE IL

On voit auffi que deux angles DAC, DAF, complemens l'un de l'autre a deux droits, c'est-à-dire, dont la fomme vaut deux droits, ont chacun le même Sinus DE, en prenant toûjours AD pour le Sinus total.

DEFINITION X.

Si à l'extrêmité C du rayon AC, on mene une perpendiculaire, ou tangente CM, laquelle foit rencontrée en G par l'autre côté AD prolongé de l'angle CAD; la partie CG de cette perpendiculaire, eft appellée Tangente de cet angle CAD, où de l'arc CD. De même fi a l'extrêmité F du rayon AF, on mene une perpendiculaire FN, laquelle foit rencontrée en H par l'autre côté DA prolongé de l'angle FAD complement du premier CAD à deux droits; la partie FH de cette feconde perpendiculaire fera auffi appellée Tangente de ce complement FAD ou de l'arc FD

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COROLLAIRE.

Les lignes CG, FH, étant égales entr'elles, de même que le font les autres côtez AČ, AF, des triangles ACG, AFH(conftr.) femblables on voit que les tangentes des

deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits, font toûjours égales entr'elles, de même que leurs finus le font toûjours ( Déf. 9. Corol. 2.) entr'eux; c'est-àdire, que deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits, ont toûjours la même tangente & le même finus. Il en est de même de AG, AH, qu'on appelle leurs

Secantes.

DEFINITION XI.

Lorfqu'un angle à force de devenir aigu, s'évanouit en parallelisme de fes côtez entr'eux, foit qu'ils foient ou non confondus en un, on l'appelle infiniment aigu & lorfqu'à force de devenir obtus, fes deux côtez deviennent (comme bout à bout) en ligne droite, on l'appelle infiniment obtus.

COROLLAIRE.

On voit de-là qu'un angle infiniment aigu en a toûours un infiniment obtus pour complement à deux droits; & reciproquement.

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A l'inftant qu'un angle rectiligne s'évanouit à force de diminuer, fes côtez deviennent paralleles entr'eux.

DEMONSTRATION.

Car le parallelifme de ces deux lignes entr'elles (dont la réduction de ces mêmes lignes en une, eft une efpece) naiffant de l'évanouiffement du dernier, c'est-à-dire, du plus petit des angles qu'elles puiffent faire entreelles, la fin de ce dernier angle doit être le commencement de ce parallelifme, & comme le terme où ils se touchent, pour ainfi dire; par confequent à l'instant de cet évanouiffement il doit y avoir tout à la fois entre ces deux lignes & angle finiffant, & parallelifme naiffant. Donc à l'inftant que leur angle s'évanouit à force de dintinuer, elles deviennent paralleles entr'elles. Ce qu'il falloit démontrer.

G

COROLLA FRE I

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Cet angle finiffant ainfi ( Définit. II.) par l'infiniment aigu, il s'enfuit que deux lignes droites arrivées à ce terme, le font auffi à leur parallelifime, & confequemment que lorfqu'elles ne font plus entr'elles qu'un angle infiniment aigu, elles peuvent à la rigueur paffer pour paralleles, & reciproquement puifqu'elles n'ont plus de chemin à faire pour paffer de cet angle au parallelifme.

COROLLAIRE IL

Si de deux points fixes partent deux lignes droites mobiles chacune autour du fien, lefquelles faffent entr'elles un angle qui devienne aigu de plus en plus par l'éloignement continuel de fon fommet ces deux lignes feront (Corol. 1.) paralleles entr'elles lorfque ce fommet fe trouvera infiniment éloigné de leurs points fixes, l'angle qu'elles feront entr'elles, fe trouvant alors infiniment aigu.

COROLLAIRE III.

Si au contraire d'un même point fixe partent deux lignes droites dont l'angle compris entr'elles, devienne enfin infiniment aigu; alors ces deux lignes devenuës (Corol. 1.) paralleles entr'elles, paffant (Hyp.) par un même point, fe confondront en une feule & même ligne droite, & la bafe de l'angle fini qu'elles faifoient aupa ravant entr'elles, fe trouvera alors anéantie ou réduite en un point, fi ces deux lignes étoient égales, ou égale à leur difference pareillement confondue avec elles, fi elles étoient inégales; reciproquement ces deux lignes feront égales ou inégales entr'elles, felon que leur angle infiniment aigu rendra cette base nulle ou non.

COROLLAIRE IV.

Deux lignes droites qui font entr'elles un angle infiniment aigu d'un côté, en faisant toûjours un(Corol. Déf. 1 L)

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