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Car s'il n'y palloit pas, il seroit le diamétre terminant d'un demi-cercle dans lequel seul lui & les autres cor. dons seroient alors tous répandus ; ce qui est contre l'hypothese. Donc, &c.

II. Dans la même hypothefe de tous les cordons dirigez fuivant un même plan., répandus er plus d'un demi-cercle, quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine fur ce plan

par le næud commun de tous ces cordons, fans parler le long d'aucun d'eux, elle passera toûjours de part et d'autre de ce nund, à travers deux des angles que ces cordons feront en #r'eux.

Car fi elle ne passoit à travers aucun de ces angles, elle seroit le diamétre terminant d'an demi-cercle dans lequel seul tous ces cordons seroient alors répandus ; ce qui est contre l'hypothese. Et si cette ligne droite ne palloit à travers que d'un des angles de ces cordons, les deux cordons voisins à droite & à gauche de cette ligne droite du côté où elle ne passeroit à travers aucun de leurs angles seroient en ligne droite terminante aussi un demicercle , dans lequel feul tous ces cordons seroient alors répandus ; ce qui eft contre l'hypothese. Donc toute ligne droite mene sur le plan & par le næud commun detous ces cordons, passera toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de ce næud. Ce qu'il falloit

III. Lorsque ces .cardons font dirigez suivant des plans differens , de répandus en plus d'une demie-Sphere ; il n'y a aucun de ces plans qui prolongé par de-le næud.commun de ces cordons, ne passe entre les cordans des autres plans.

Car s'il n'y passoit pas , il seroit le plan d'un grand cercle cerminant une demie-fphere, dans laquelle seule tous les cordons seroient alors répandus ; ce qui est contre l'hypothese. Donc, &c.

SCHOL I E.
La raison qui vient de faire voir ( Part. 2.) que toute
Jigne droite menée par le næud, & sur le plan commua

montrer

angles de

de plusieurs cordons qui y feroient tous répandus en plus d'un demi-cercle, sans le faire passer le long d'aucun de ees cordons, pafferoit toûjours à travers deux de leurs

pare & d'autre de leur noud commun: cette railon , dis-je, fera voir de même que tout plan mené par le næud commun de plusieurs cordons répandus en plus d'une demie-sphere, sans le faire passer le long d'aucun d'eux, palleroit aussi toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de leur næud commun. Les Figures de ces deux derniers Lem. 4. 5.

étant faciles à imaginer, on a negligé de les ajouter ici , eo ce dautant qu'il y auroit fallu exprimer

des plans à angles differens avec celui de la Planche, plus difficiles à tracer, da à reconnoître sur elle , qu'à se les representer sur le discours que l'embarras de ces Figures n'auroit fait que rendre plus long & moins clair,

AVERTISSEMEN T. Jusqu'ici nous n'avons employé de Geometrie que quelque chose des fix premiers Livres, & de l'onziéme des Elemens d’Euclide. Voici presentement quelques Lemmes de pure Géomerrie, qui n'en fuppose pas davantage: c'est potir rendre plus universelle l'application du précedent principe general aux machines , & pour faire qu'aucun cas n'échappe à la generalité de nos propositions , lesquelles n'exigeant dans le Lecteur que la valeur de ces sept Livres d’Euclide, seront ( ce me semble ) a la portée des Commençans attentifs : c'est pour eux que j'ajoûte les Définitions suivantes, qui ne se trouvent point dans Euclide.

DEFINITION IX. Si d'un point quelconque D de la demi-circonference F i G. 14 CDF d'un cercle, donc Á soit le centre, on laisse tomber une perpendiculaire DE sur le diametre CF en E; cette perpendiculaire DE est également appellée Sinus des angles CAD,DAF, ou des arcs CD, DF, mesures de ces angles. Suivant la même dénomination le rayon BA per

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que son

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pendiculaire ausli sur CF, est pareillement appellé Sinus
de chacun des angles droits CAB, BAF, ou de chacun
des quarts de cercle BC, BF , & comme ce Sinus AB
est le plus grand de tous, on l'appelle Sinus total., sur le-
quel le mesurent tous les autres. D'où l'on voit
égal AD doit aussi être pris pour Sinus total, dont DE
fait un des Sinus partiaux. De sorte que,

COROLL AIRE I.
Dans le triangle rectangle AED, en prenant AD

pour le Sinus total, ou de l'angle droit E,,l'on aura DE pour le Sinus de l'angle DAC ou DAF; & par la même raifon l'on aura aussi AE pour le Sinus de l'angle ADE.

COROLL AIRE IL. On voit ausli que deux angles DAC, DAF, complemens l'un de l'autre a deux droits , c'est-à-dire, dont la fomme vaut deux droits, ont chacun le même Sinus DE, en prenant toûjours AD pour le Sinus total.

DEFINITION X. Si à l'extrêmité C du rayon AC, on mene une perpendiculaire , ou tangente CM, laquelle soit rencontrée

par l'autre côté AD prolongé de l'angle CAD ; la partie CG de cette perpendiculaire, est appellée Tangente de cet angle CAD, ou de l'arc CD. De même si a l'extrêmité F du rayon AF, on mene une perpendiculaire FN, laquelle soit rencontrée en H par l'autre côté DA prolongé de l'angle FAD complement du premier CAD à deux droits ; la partie FH de cette seconde perpendiculaire sera aussi appellée Tangente de ce complement FAD ou de l'arc FD.

COROLLAIRE.
Les lignes.CG, FH, étant égales entr'elles , de même
que le font les autres côtez AČ, AF, des triangles ACG,
AFH( constr.) semblables on voit que les tangentes des

deux

en G

ز

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deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits , sont toûjours égales entr'elles , de même que leurs sinus le sont toûjours ( Déf. 9. Corol. 2.) entr'eux ; c'est-àdire, que deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits, ont toûjours la même tangente & le même sinus.

Il en est de même de AG, A# , qu'on appelle leurs

Secantes.

DEFINITION XI. Lorsqu'un angle à force de devenir aigu, s'évanouit en parallelisme de ses côtez entr'eux , soit qu'ils soient ou non confondus en un , on l'appelle infiniment aigui & lorsqu'à force de devenir obtus, ses deux côtez deviennent (comme bont à bout ) en ligne droite , on l'appelle infiniment obtus.

CORO L 'L AI R E. On voit de-là qu'un angle infiniment aigu en a toû. ours un infiniment obtus pour complement à deux droits; & reciproquement.

LEM ME IV. A l'instant qu'un angle rectiligne s'évanouit à force de diminuer, ses côtez deviennent paralleles entr'eux.

DEMONSTRATION. Car le parallelisme de ces deux lignes entr'elles (dont la réduction de ces mêmes lignes en une , eit une espece) naissant de l'évanouissement du dernier, c'est-à-dire, du plus petit des angles qu'elles puissent faire entreelles, la fin de ce dernier angle doit être le commencement de ce parallelisme , & comme le terme où ils se touchent , pour ainsi dire ; par consequent à l'instant de cet évanouissement il doit y avoir tout à la fois entre ces deux lignes & angle finissant, & parallelisme naisfant. Donc à l'instant que leur angle s'évanouit à force de dintinuer , elles deviennent paralleles entr'elles. Ce qu'il falloit démontrer.

G

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COROLIAI R E I. Cet angle finissant ainsi ( Définit. 11.) par l'infiniment aigu , il s'enfuit que deux lignes droites arrivées à ce rerme, le font aussi à leur parallelisine , & confequemment que lorsqu'elles ne font plus entr'elles qu’un angle infiniment aigu , elles peuvent à la rigueur passer pour paralleles , & reciproquement puisqu'elles n'ont plas de chemin à faire pour passer de cet angle au parallelisme.

COROLLAIRE II.

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ز

Si de deux points fixes partent deux lignes droites mobiles chacune autour du sien, lefquelles fassent entr'elles un angle qui devienne aigu de plus en plus par l'éloignement continuel de son sommet ; ces deux lignes feroi (Corol. 1.) paralleles entr'elles lorsque ce sommet se trouvera infiniinene éloigné de leurs points fixes , l'angle qu'elles feront entr'elles, le trouvant alors infiniment aigu.

COROLLA IRE III. Si au contraire d'un même point fixe partent deux lignes droites dont l'angle compris entr'elles , devienne enfin infiniinent aigu; alors ces deux lignes devenuës (Corol. 1. ) paralleles entr'elles, passant | Hyp.) par un même point, se confondront en une seule & même ligne droite , & la base de l'angle fini qu'elles faisoient aupan ravant entr'elles, se tronvera alors anéantie ou réduite en un point , fi ces deux lignes étoient égales, ou égale à leur difference pareillement confondue avec elles, fi elles étoient inégales ; reciproquement ces deux lignes feront égales ou inégales entr'elles , selon que

leur angle infiniment aigu rendra cette base nulle ou non.

COROLLAIRE I V. Deux lignes droites qui font entr'elles un angle infiniment aigu d'un côté, en faisant toûjours un(Corol. Déf. 1 1.)

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