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infiniment obrus de l'autre s il suit que puisqu'elles se dilposent parallelement i Corol. 2.) ou le confondent en une ( Corol. 3.) du côté de l'angle infiniment aigu , elles doivent se disposer en sens directement contraires paraltelement, ou en ligne droite bouc à bout du côté de l'angle infiniment obtus.

LEMME V II. De quelque maniere que la ligne droite AD divise l'angle Fse, 14: rectiligne BAC, le sinus de cet angle total B AC se trouvera égal à la somme des finus des angles partiaux BAD, BAC , lorsque ce même angle total sera infiniment aigu.

DEMONSTRATION. Du centre A , & d'un rayon quelconque AE , fort l'arc de cercle EFO, qui rencontre AD, AC, en F, 0; des points E, F, soient EH, FK , perpendiculaires en H, K, Iur AC, la premiere EH rencontrant AD en L, & du point E la droite EG perpendiculaire aussi en G sur AD. Cela fait , fi Pon prend AE, ou son égale AF pour sinus total, l'on aura (Def. 9. Corol. 1.) EH, FK, EG, pour les sinus des angles BAC, DAC, BAD.

Je dis donc que lorsque l'angle total BAC sera devenu infiniment petit, fon sinus ĚH se trouvera égal à la fomme des sinus EG , FK, des angles partiaux BAD, DAC; c'est-à-dire, qu'alors on aura EH=EG-TFK.

Pour le voir, il n'y a qu'à considerer que lorsque langle total BAC sera infiniment aigu, les deux partiaux BAD, DAC, le seront aussi ; & confequemment ( Corol. 1.du Lem. 6.) que les trois droites BA DA, CA, feront alors paralleles entr'elles de l'une ou de l'autre des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3. du Lem. 6.Donc les angles ( Hyp. ) droits en H, K,G, rendront alors EH, FK , EG, perpendiculaires à chacune de ces trois paralleles ; ce qui confondant EL avec EG , & LH avec FK, donne alors EG-+FK=EL-+LH=EH. Donc le finus EH de l'angle coral BAC se trouve alors égal à la fomnie

ز

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des finus EG, FK , des angles partiaux BAD ,DAC. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I. Donc aufli

pour lors le sinus de celui qu'on voudra de ces deux angles partiaux BAD ,DAC, sera égal à la difference dont le linus de l'autre sera surpassé par le sinus EH de l'angle total BAC ; c'est-à-dire , qu'alors EG=EH-FK , & FK=EHEG.

COROLLAIRE I 1.Or en prolongeant DA, CA, vers M; N', l'on aura aulli ( Déf. 9. Corol. 2. ) EG, EM, FN, pour les finus des angles BAM, BAN, MAN; & lorsque l'angle BAC sera infiniment aigu , son complentent ( à deux droits ) BAM fera infiniment obtus , & MAN infiniment aigu. Donc lorsqu'un angle BAM infiniment obtus sera divisé en deux, dont un MAN Loic infiniment aigu, le. sinus de l'angle total BAM sera toûjours égal à la difference dont le sinus du plus grand BÁN des partiaux surpassera le sinus du plus petit MAN ; puisqu'alors ( Corot. 1.) l'on aura toûjours EGZEH-FK.

Quoique dans le Carol. 2, les angles BAM, BAN, infiniment obtus , soient infiniment grands par rapport à l'infiniment aigu MAN ,l'étant ausi par rapport à leurs complemons infiniment aigus BAD, BAC, qui ont ( Déf. 9. Curol. -2. ) les mêmes sinus qu'eux: ; leurs sinus EG, EH, seront infiniment petits, & de même genre que celui EK de l'angle MAN ; & consequemment EG=EH_FK sera ici d'une valeur réelle , quoiqu'infiniment petite. C'est pour rendre de la plus grande universalité poffible les propositions & les Corollaires des sections suivantes, que nous en venons ici juf qu'aux infiniment petits., dont l'idée seule suffira sans en sçavoir le calcul : idée à la portée de tout le monde , avec un peu d'attention. Par infiniment perit, on n'entend qu'une grandeur moindre que quelque asignable

, que ce soit , laquelle, au langage des Anciens , s'appelleroit quantitas minor quavis

.

data.

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Les angles en HyK,G, érant ( Hyp. ) droits, & le Com rol. 1. du Lem. 6. faisant voir que lorsque l'angle BAC eft infiniment aigu , & confequemment aussi les angles BAD, DAC; les trois lignes BA, DA, CA , font para! leles entr'elles de quelqu'une des deux' manieres marquées dans les Corol. 2. 3. de ce Lem. 6. On vient de conclure , suivant la doctrine d'Euclide, que chacune des lignes EH, FK , EG , est perpendiculaire à chacune de ces trois paralleles ; & consequemment qu'alors LH eft égale à FK , ausfi-bien que EG à EL , qui pour lors se confond avec elle comme LH avec FK. Poitr voir tout cela, il faut considerer que lorsque les droites BA, CA, deviennent paralleles entr'elles , tout ce qu'on en peut imaginer d'autres par A dans l'angle BAC, le deviennent aussi entr'elles ( Lem..6. Corol. 1.) & à ces deux-là'; & confequemment que l'arc EFO perpendiculaire à toutes , dégenere pour lors en une ligne droite , qui leur est aussi perpendiculaire, & qui passant par E, F, de même

que EH, EG,FK, perpendiculaire auffi pour 'lors à ces paralleles AC, AD, AB , doit se confondre avec celleslà, desquelles EG se trouve pour lors au bout de FK en ligne droite, avec laquelle EH se confond alors sur cet arc EFO redressé en une ligne EH=EG +FK , conforméinent au present Lem. 7,

LEM ME VIH.

De quelque point E de la diagonale AD d'un parallelo- 1 16 gramme quelconque ABDC , qu'on mene deux : perpendicu- 17. laires EF, EG , sur ses côtez AB, AC, prolongez avec cette diagonale besoin sera ; ces perpendiculaires seront tonjours entielles en raison reciproque de ces côtez, c'est-à-dire you EF. EG:: AC. AB.

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DEMONSTRATION. Du point D soient DH , DK , perpendiculaires aussi sur les côtez AB, AC, du même parallelogramme ABDC. Le parallelisme de ses deux autres côtez DC,DB, avec .ces deux-là, rendra les angles HBD HAK=KCD, outre les angles EAFƏDAĦ, & EAGEDAK. Donc les angles en H, K, F, G, étant (Hyp.) droits , les triangles DBH, DCK, seront semblables entr'eux, de même

que les triangles EFA, DHA , & que les criangles EGA, DKA. Par consequent DH. DK :: DB. DC:: AC. AB, Et EF. DH ::EA.DA::EG. DK. Ou ( en permutant ) EF. EG :: DH. DK. Donc aussi EF. EG:: AC. AB. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I. Mais si l'on prend AE pour le finus total, l'on aura (Déf

. 9. Corol. 1.) EF , EG, pour les finus des angles EAF, ÉAG , ou de leurs égaux ou complemens DĂB, DAC. Donc les côtez AC , AB , du parallelogramme ABDC font entr'eux comme les sinus des angles DAB, DAC, c'est-à-dire , en raison reciproque des finus des angles que ces deux côcez font avec la diagonale AD: de Torte queles angles DAB, ADC, étant égaux entr'eux, de même que les côtez AB, DC, les côtez AC, DC, du triangle ACD, seront toûjours entr'eux comme les sinus des angles ADC, DAC, qui leur sont opposez dans ce triangle,

COROLLAIRE I 1.

Par la même raison, & l'on acheve le parallelogramme ADCM , dont AC soit la diagonale, l'on aura AM à AD comme le finus de l'angle CAD au linus de l'angle CAM; c'est-à-dire ( à cause de AM=DC, & l'angle CAMS ACD ) les côtez DC, AD, du triangle ACĎ, entr'eux comme les finus des angles CAD, ACD, qui leur sont oppolez dans ce triangle

. Donc ayant déja (Corol. 1.)

les côrez AC, AD, de ce même triangle ACD ener'eux comme les finus des angles ADC, DAC; kon aura les trois côrez AC , DC, AD, de ce triangle quelconque ACD entr'eux comme les finus des angles ADC, DAC, DCA, qui leur font opposez ; & ainfi de tous les autres triangles rectilignes à l'infini, celui-ci ACD noitié d'ern parallelogramıne ( Hyp.) quelconque ABDC, étant aussi quelconque.

COROLLAIRE III.

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Mais le parallelogramme ABDC donne DC=AB , l'angle ADC=DAB, & le sinus de l'angle DCA , égal (Def. 9. Corol. 2. ) à celui de son complemene BAC à deux droits. Donc ( Corol. 2. ) AC, AB, AD, font entr'eux comme les finus des angles, DAB, DAC, BAC.

COROLLAIRE I V. Or le parallelogramme ABDC rend ausli les angles DAB=ADC, DAC-ADB ,BAC-BDC, & leurs corez ACEBD, ABCD. Donc ( Corol. 3. ) l'on aura de mê. me toûjours BD, CD, AD, entr'eux comme le finus des angles ADC, ADB, BDC.

COROL [ AIR E. V. Donc les finus des angles ADC, ADB , étant ( Déf. 9. Corol. 2.) les mêmes que ceux de leurs compleinens CDO, BDO, l'on aura aussi toujours ( Corol. 4.) BD, CD, AD, en raison des finus des angles CDO, BDO, BDC, au travers desquels ces lignes prolongées pafferoient.

COROLLAIR E V I. H suit encore du Corol. 4. qu'un angle rectiligne quelconque BDC étant divisé à volonté par une droite ĐA, plus cet angle total BDC fera perit , plus fera grande la faison de son sinus à chaque finus des angles partiaux ADB, ADC, & plus au contraire ce inême angle total BDC sera grand, plus cette raison fera petite: car fi fur

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