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La diagonale AD prise de grandeur arbitraire, lon'ima gine un parallelogramme ABDC, dont les côtez DB, DC, soient sur ceux de l'angle fuppofé BDC; on verra que plus cet angle diminuera , plus cette diagonale AD augmentera , les côtez DB, DC, du parallelogramme ABDC demeurant toûjours les mêmes, & plus au contraire cet angle BDC auginentera , plus cette diagonale AD diminuera. Donc dans tous ces changemens du paralelogramme ABDC, çetre diagonale AD se trouvant toûjours ( Corol. 4.) à ses côtez BD, DC, comme le sinus de l'angle total BDC sera aux sinus des angles partiaux ADC, ADB.

1°. Plus cet angle total BDC diminuera , plus au contraire le rapport de son liņus à chacun des linus de deux angles partiaux ADC , ADB, augimentera jusqu'à se trouver le plus grand qu'il puisse être, lorsque cet angle BDC sera infiniment aigu.

2°. Reciproquement plus ce même angle rotal.BDC augınentera, plus au contraire le rapport de son sinusa chacun des sinus des deux angles partiaux ADC,ADB, diminuera , jusqu'à se trouver le plus petit qu'il puisse être lorsque cet angle BDC sera infiniment obtus.

COROLLAIR E. VII. Il·luit de plus du Corol. 4. qu'en quelque rapport fini qu’un angle rectiligne fini quelconque BDC, foit divisé par

la droite AD, chacun des siņus de cet angle total , & des deux partiaux ADC, ADB, sera toûjours moindre que la foinme des deux autres sinus. Car si sur AD de longueur prise à volonté, & de côtez pris sur DC, DB, on fait ( comme dans-le precedent Corol. 6.) le parallelogramme ABDC ; le Corol. 4. fait voir que les finus de ces trois angles BDC, ADC, ADB, sønt entr'eux comme AD, BD, CD, ou:(à cause de ACEBD ) comme les trois côtez" AD, AC, CD, du triangle ACD. Or on Içait que chacun de ces trois côtez est moindre que la fomne des deux autres. Donc ausli chacun des sinus des

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trois angles finis BDC, ADC, ADB,est muindre que la Comme des deux autres sinus.

COROLLAIR E VIII. Trois lignes droites DE, DC, DA , étant menées dan F16.18 même point D sur un même plan, faisant entr'elles des 18:20. angles quelconques, si par tels points H, L, K, qu'on voudra de ces trois lignes prolongées, ou non , on leur fait autant de perpendiculaires EF, FG, EG; il suit encore du Corol. 2. que ces côtez EF, FG, EG, du triangle EFG, qui en résultera , seront toûjours entr'eux comme les linus des angles ADC, ADB, BDC, à travers desquels, ou des complemens desquels , leurs perpendiculaires DB, DC, DA, prolongées passeroient.

Car si l'on imagine PQ_parallele à BD, avec laquelle, & avec AD prolongée (s'il est necessaire ) elle fasse le triangle PQD, & que l'on prolonge BD, CD, jusqu'à la rencontre de EG (prolongée ) en ŇN: les triangles EHM, DKM , rectangles (Hyp.) en H, K, ayant de plus les angles EMH=DMK, ont aussi leurs troisiémes angles MEH=MDK : de même les triangles GLN, DKN, ređangles ( Hyp. ) en L,K, ayant aussi de plus les angles GNL=DNK, ont pareillement leurs troisiémes angles NGLƏNDK. Mais les angles MEH=GEF, MDK= BDP-DPQ, à cause de På supposée parallele à BD; & les angles NGL=EGF, NDK=PDO. Donc les angles GEF=DPQ, EGF=PDQ, dans les triangles EFG, POD, lesquels en consequence ont leurs troisiémes angles en F, 0, pareillement égaux entr'eux : ce qui rend ces deux triangles semblables entr'eux ; & par consequent les trois côtez EF , FG, EG , du premier EFG, proportionnels aux trois côtez P2, QD , PD , du second FQD de ces deux triangles ; c'elt-à-dire, EF. FG. EG :: PO, QD. PD.

Or ces trois derniers côtez IQ, QD, PD, du triangle FQD, sont entr'eux / Corol.) comme les sinus des angles PDO DPQ, DOP, ou (Déf. 9. Corol. 2.) ou de leurs

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complemens ADC, ADB , BDC. Donc aussi les côtez EF, FG, EG , du triangle EFG, sont entr'eux comme les finus des angles ADC, ADB, BDC, à travers desquels , ou des complemens desquels leurs perpendiculaires ( Hyp. )DB, DC,DA , prolongées passeroient , ainsi qu'on le voit avancé au commencement de ce Corollaire-ci.

COROLLAIRE IX.- Il fuit aussi du present Lem. 8. que de quelque point E d'un des côtez AD d'un parallelogramme

quelconque ADCM., qu'on mene des perpendiculaires EG , EF , sur la diagonale AC, & fur son autre côté AM ; cet autre. côté ĂM,& cette diagonale AC seront coûjours entreeux en raison reciproque de ces deux perpendiculaires EG, EF, sçavoir , EF. EG:: AC..AM.

Puisque ce Lem. 8.donne toûjours EF.EG::DH. DK :: DB. DC:: AC. AM.

Cela peut aussi se démontrer immediatement de cela seul

que EF. EG:: DH. DK:: DB. DC:: AC. AM. On pourra tirer de ceci des consequences semblables à celles qu'on vient de tirer du present Lem. 8. cela est presentement trop facile pour s'j anéter.

Co R 0 LL AIRE X. Il fuit enfin de ce dernier Corol. 9. & du present Lem. &

que de quelque point, soit de la diagonale, ou d'un des côrez d'un parallelogramıne quelconque , qu'on mene des perpendiculaires sur les deux autres de ces trois lignes prolongées, ou non ; ces deux perpendiculaires seront toujours entr'elles en raison reciproque des deux côtez , ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme proposé quelconque, sur lesquelles elles sont à angles droits.

LEM ME IX.

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I. Lorfqu’un angle d'un parallelogramme quelconque dem vient infiniment aigu, la diagonale qui passe par cet angle devient égale à la fomme de ses côtez.

II. Au contraire lorsque cet angle devient infiniment obtus , cette diagonale ne se trouve plus égale qu'à la differen se de ces mêmes côtez.

DEMONSTRATION.

PAR T. I. Suivant le Corol. 3.. du Lem. 8. la diagona- trsi siz le AD d'un parallelogramme quelconque ABDC est toûjours aux côtez AB, AC, de ce parallelogramme comme le sinus de l'angle cotal BAC elt aux finus des angles partiaux DAC, DAB. Mais lorsque cet angle total BAC devient infiniment aigu , son sinus ( Lem.7.) devient égal à la somme des finus des angles partiaux DAC, DAB. Donc aussi pour lors la diagonale AD devient égale à la somme des côtez AB, AČ. Ce qu'il falloit

démontrer. PAR I. II. Imaginons le parallelogramme ABDC fait de quatre régles AB, BD, AC, CD, mobiles autour de quatre clous qui les retiennent ensemble en A,B,D, C, & qu'on l’écrase en pressant les deux points ou clous B, C, l'un vers l'autre jusqu'à fa diagonale AD, qui s'alongera ainsi à mesure que l'autre BC s'acourcira, les côtez du parallelogramme ainsi varié demeurant toûjours les mêmes. On verra qu'à mesure que ses angles ABD, ACD, deviendront ainsi plus obtus, les côtez ĎB, DC, avanceront vers AD en décrivant du centre D les arcs circulaires BQ, CP, jusqu'à ce que les fommets B, C, de ces deux angles soient arrivez en Q,P, & ces côxez DB , DC, en DQ, DP, sur cette diagonale AD, dont l'allongement joint au racourcissement de l'autre BC, permettra aussi aux deux autres côtez AD, AC, d'arriver pour lors fur elle en AQ, AP; auquel instant des angles ABD, ACD, ainsi devenus infiniment obrus, la diagonale BC sera en PQ. Donc alors BC=PQEDP DO=DC-DB=AB-AC. Ce qu'il falloit 2°. démon

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COROLLA I REI. Si l'on suppose presentement qu'un corps op point A soit poussé ou tiré par deux puissances à la fois, dirigées. suivant les côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, lesquels leur soient proportionnels ; les art. 1. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. faisant voir que ce corps ou point A devroit alors tendre de A vers D suivant la diagonale AD de ce parallelogramme,& d'une force qui seroit à chacune deces puissances comme cette diagonale à chacun des côtez AB, AC, qui leur sont ( Hyp. ) proportionnels. La démonstra: tion de la Part. I. de ce Lemme-ci fait consequemment voir que hi l'angle BAC étoit infiniment aigu, la force du corps ou point A suivant AD, résultante du concours des puissances dirigées suivant AB, AC, seroit alors égale à la somme de ces deux puissances , & dirigée (Lem. 6.Corol. I...) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles , & en même sens que ces puissances qui tendroient alors toutes deux de A vers D, & confpireroient ainsi toutes entieres à mouvoir en ce sens ce corps ou point A de la somme entiere de leurs forces.

COROLL AIRE II. Si B étoit le point ou le corps poussé ou tiré à la fois par les deux puissances précedentes dirigées presentement Tuivant les côcez BA, BD, du parallelogramme ABDC, qui leur sont ( Hyp.)

proportionnels ; les art. 1. 2. du Com rol. 1. du Lem. 3. faisant encore voir que ce corps ou point B-tendroit alors de B vers C, suivant l'autre diagonale BC de ce parallelogramme , & d'une force qui servit à chacune de ces puissances comme cette diagonale BC à chacun des côtez BA, BD, de ce même parallelogramme ABDC ; la démonstration de la Part. 2. de ce Lemme-ci fait consequemment voir aussi ( au contraire de la démonstration de la Part. 1.) que si l'angle ABD étoit infiniment obtus, la force du corps ou point B suiyant BC résulcante du concours de ces deux puissances,

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