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ou plûtôt restante de la directe contrarieté qui( Lem.G.Corol. 4. ) seroit alors entr'elles , ne feroit plus alors qu'égale à la difference de ces deux puissances , & dirigée Lem. 6. Corol. 4. ) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles ou directement opposées , & en même Tens que la plus forte d'entr'elles , à qui seule leur direde contrarieté ne laisseroit que son excès sur l'autre pour agir sur ce corps ou point B.

Ces deux Corol. 1. 2. s'accordent parfaitement avec les loirs ordinaires du choc des corps , suivant lesquelles deux donnant à la fois sur un en même sens , le pousseroient en ce sens de la fomme de toutes les forces qu'ils lui communiqueroient separément, conformément au Corol. 1. Et deux donnant à la fois sur un en sens directement contraires , ne le pousseroient que de la difference de ces deux forces dans le sens de la plus grande , conformément at Corol. 2.

CORO ĽLAIRE III.

Si l'on imagine, comme dans la démonstrat. de la Part: 2. les côcez BA, BD, du triangle ABD, mobiles autour des points fixes A,D, de la base. AD , laquelle s'allonge à mesure qu'en écrasant ce triangle vers elle, on en approche l'angle B ; cette démonstration de la Part. 2. fáit voir que lorsque ce sommet B sera sur cette base allongée AD, elle sera égale à la somme des deux autres côtez BA,BD , de ce triangle ABD, & chacun de ces côtez égal à la difference dont l'autre est alors surpassé par cette base:& comme ( Déf. 11.) l'angle ABD du triangle de ce nom, se treuye alors infiniment obtus, & chacun des deux autres BAD, BDA, infiniment aigu ; il s'ensuit que dans un triangle réduit à un angle infiniment obtus, & à deux infiniment aigus,

1°. Que le côté opposé à l'angle infiniment obtus, vaut la somme des deux autres côtez.

2.. Que le côté opposé à un angle infiniment aigu, vauz la difference des deux autres côtez.

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SCHOLIE. I. Dans la démonstrat. de la Part. 2. on vient de voir que lorsque deux angles opposez ABD, ACD, du

parallelogramme ABDČ deviennent infiniment obtus par l'arrivée de leurs sommets B, C, sur la diagonale AD.; cette diagonale AD , sur laquelle les deux côtez AB, BD, se couchent alors en Q , de même que les deux autres AC, CD, en P, se trouve alors égale à la somme de ces côrez pris ainsi deux à deux, c'est-à-dire, qu'alors AD=AB-+-BD=AC-+CD. Or lorsque l'angle ABD se trouve infiniment obtus, son complement BÃC.est ( Corol. 11.) infiniment aigu. Donc sursqu'un angle BAC d'un parallelogramıne quelconque ABDC devient infiniment aigu par l'arrivée de ses côtez AB, AC, sur la

diagonale AÐ, cette diagonale se trouve toûjours alors égale à la somme de ces deux mêmes côtez. Ce qui est

encore une nouvelle preuve très-sensible de la Part. I. de ce Lemme-ci, pour le cas où les sommets B, C, des angles ABD, ACD, sont mobiles.

II. Pour avoir aussi de cette Part. 1. une démonstration sensible autant que l'incompréhensibilité de l'infini le peut être , lorsque l'angle BAC devient infiniment aigu, les deux points B, C, demeurant fixes.; imaginons le parallelogramme ABDC fait des parties BA, BD, CA, CD, de quatre régles indéfinies BE, BG, CF, CH, mobiles autour de ces points fixes B, C, & qui dans leur mouvement autour de ces deux points, se coupent coûjours en deux quelconques A, B, de la droite infinie MN, fixe à égales distances des points aussi fixes B, C. On verra qu'à mesure que ces points de concours A, D, s'éloigneront l'un de l'autre le long de cette droite MN, les angles opposez BAC, BDC, deviendront aigus de plus en plus , & les opposez ABD, ACD, obtus de plus en plus ; & que lorsque ces deux points de concours A,

D, seront infiniment éloignez l'un de l'autre , & des points fixes B, C, les angles BAC, BDC, seront infini

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meht aigus, & les deux autres ( Corol. de la Déf. 11.) ABD , ADC, infiniment obtus. Or si du centre D, & des rayons DB, DC, on a conçù deux-arcs circulaires BQ , Cľ, variables comme leurs rayons par l'éloignement continuel de leur centre D, on verra:qu'à mesure que ce centro D s'éloigne , comme le point A, des points fixes B, C, ces deux arcs deviennent moins courbes de plus · en plus, jusqu'à devenir lignes droites perpendiculaires à MN, & aux deux régles de chacun des points B, C, bour à bout en lignes droites paralleles à MN, lorsque les poin is A, D, lont infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, & que les lignes PA-, PD, CA, CD, QA , QD ,BA, BD, ainsi changées en infinies PM, PN, CF, CH, QM,ON, BE, BG, paralleles entr'elles, feront pour lors PAGPM=CF=CA, PD=PN-CH= CD , QAŞQM=BF=BA, & QD=QN=BG=BD.Donc alors la diagonale infinie AD ( PA+PD ) =CA -TCD, & AD ( QA-TQD)=BA--BD ; c'est-à-dire, dans ce cas-ci des points fixes B, C, comme dans celui (art. 1. )de ces deux points mobiles , que la diagonale AD d'un parallelogramıne quelconque ABDC eit toûjours égale à la somme de ses côtez CA, CD, ou BA ,, BD, lorsque l'angle BAC, ou BDC en est aigu..

III. Les angles ABD, ACD du parallelogramme ABDC, devenant obtus comme dans le précedent art. 2.par

l'écartement vers M, N, de leurs côtez autour de leurs sommets fixes B, C; on voit que la diagonale BC ne change point pendant que l'autre diagonale AD, & tous les côtez de ce parallelogramme changent comme dans cet art. 2. jusqu'à devenir infinis par cet écartement faitjufqu'au parallelisme de ces lignes entr'elles. D'où l'on voit que ce cas des angles ABD, ACD, devenus infiniment obtus par un tel mouvement de leurs côtez autour de leurs sommets fixes B, C, n'est point compris dans la Part. 2. de ce Lemme-ci ; & qu’ainsi la démonstration qu'on a donnée ci-dessus de cette. Part. 2: en comprend toute l'étendue.

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Quant à la part. 1. elle comprend les deux cas des fommets B, C, fixes ou mobiles des angles ABD, ACD, & outre la démonstration qu'on en a donnée d'abord dans toute cette étendue, les deux précedens art. 1. 2. en fournissent encore une nouvelle plus sensible de la même étendue.

LEM ME X.

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FIG.12.23.

Soit un parallelogramme quelconque GICE , avec une li-
Pag. 25. 26. gne droite HP, posée comme l'on voudra par rapport à lui,

dans le même ou dans differens plans, il n'importe. Si des
quatre angles ou pointes G,1,C,E, de ce parallelogramme
än mene å volonté quatre plans exprimez en profil par GL,
IP, CH, EV, tous paralleles entr'eux.i do que de ces quatre
pointes jusqu'à-HP, on tire le long de ces plans autant de li-
gnes droites GL,IP,CH, EV, lesquelles rencontrent HP en
1, P, H, V, de quelque maniere que ce soit: je dis que la par-
tie de celle-ci , par exemple , HL, comprise entre deux GL,
CH, de celles-, lesquelles partent des points GC, diagona-
lement opposez., est toujours égale à la somme de ses autres
partics HV ,HP , lorsque les points. V, P, se trouvent du même
côté de H, comme dans les Fig.21. 2-2. 04 à la difference de
ces mêmes parties HV, HP , lorsque ces points V, P, se trou-
vent de differens côtez de H, comme dans les Fig. 2 3.24. 252
c'est-à-dire , HL=H1-THP, dans le cas des Fig. 2 1. 2 2.0
HL=H1-HP, comme dans celui des Fig. 23. 24. ou HL
IHP-HV, comme dans la Fig. 25.

DEMONSTRATION.
Menez les diagonales IE, GC, qui se coupent chacune
par la moitié enK; & après avoir conduit par ce point K
un plan encore parallele à ceux qu'on a Tupposé l'être
par les pointes du parallelogramme GICE , faites tomber
de ces quatre pointes ou angles G,1,C,E, quatre lignes
GR , IM, CS, EN, toutes paralleleles à HP , & qui ren-
contrent ce dernier plan en R,M,S, N.Enfin du point Q
où ce dernier plan rencontre HP,menez QK, QR, QM,QS,
ON

Cela

1

Cela fait, soit que ces cinq lignes en fassent plusieurs differentes, soit qu'elles se confondent en une seule, il est clair que puisque GR, IM, CS, EN, HP, sont toutes (constr.) paralleles entr'elles.

Io.IM & PQ_sont dans un même plan avec PI & QM; ainsi puisque PI & QM se trouvent dans des plans (Hyp.) paralleles entr'eux, elles seront aussi paralleles entr'elles, & par consequent MP sera un parallelogramme. On prouvera de même que RL,SH, & VN, sont autant de parallelogrammes

. Donc IM=PQ, GR=LQ, CS=HQ, & EN=VQ.

2!. De ce que IM, EN , sont ( conftr.) paralleles entr'elles , il suit aussi que les angles MIK', NEK , sont égaux entr'eux, & que ces deux lignes sont dans un même plan avec IE. Par consequent li l'on mene KM,KN, ces deux lignes-ci seront aussi dans ce même plan IMEN; ainsi puisqu'elles sont encore (constr.) dans un autre plan qui passe par KQ , elles seront la commune section de ces deux plans; & par consequent elles ne font ensemble qu'une même ligne droite. Ce qui donnant encore les angles IKM, EKŇ, égaux entr'eux, il suit manifestement que les triangles IMX, ENK , sont semblables , & que puisque IKEKE, l'on aura aussi IM=EN. On prouvera de même que les triangles GKR,CKS, sont semblables entr'eux

, & que puisque GK=CK, l'on aura aussi GR=CS.

Or on vient de voir (constr.) que IM=PQ, EN=VQ, GR=LQ,CS=HQ. Donc (nomb. 2.) PQ=VQ, & LO =HQ. Donc aussi LP=HV. Donc enfin HL=HV + HP dans le cas des Fig. 2.2. 23. où V ,P, se trouvent du même côté de H; & dans celui où V, P, se trouvent de differens côtez de H, l'on aura HL=HV-HP comme dans les Fig. 24. 2.5. ou HL=HP-HV, comme dans la Fig. 26. Ce qu'il falloit démontrer.

S'il se trouve des Commençans qui , embarrassez par la multitude des Fig. 21. 22. 23. 24. 25. ausquelles cette démonstration convient, agent de la peine à l'appliquer à tow

I

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