tes à la fois ; ils pourront d'abord l'appliquer à chacune fepa rément, en les prenant l'une après l'autre à volonté. Aprè cela ils verront fans peine que cette démonftration convien également à toutes ces cinq Figures, & même à plusieur autres qu'ils imagineront aisément alors, & que j'omets tant pour leur en laisser le plaifir, que pour ne pas multiplier inutilement le nombre de celles-ci. Ils pourront en ufer de même. dans tout ce qu'ils trouveront ici de propofitions à plusieurs cas ou Figures.

COROLLAIRE I..

Soit prefentement par A dans des plans quelconques tant de parallelogrammes auffi quelconques qu'on voudra, dont le premier foit ABCD, de qui la diagonale AD foit un des côtez du fecond ADLM, de qui la diagonale AL foit auffi un des côtez du troifiéme ALPN, de qui la diagonale AP foit pareillement un des côtez du quatriéme, & ainfi à l'infini. Des extrêmitez C, B, M, Ñ, &c. des côtez non diagonaux de ces parallelogrammes foient autant de plans paralleles, & fur eux autant de droites CF, BH, MG, NE, &c. qui rencontrent fous quelque angle que ce foit en F, H, G,E, &c... la diagonale du dernier de ces parallelogrammes, c'està-dire, ici la diagonale AP du parallelogramme ALPN, prolongée vers Ŏ, E, il fuit du prefent Lem. 1o. que cette derniere diagonale AP AFAG+AH-AE.

Car fuivant ce Lemme, fi des extrêmitez D, L, &c. des côtez diagonaux AD, AL, &c. des parallelogrammes précedens, l'on mene auffi des plans paralleles aux paralleles précedens, & fur lefquels foient les droites. DV,LX, &c. lefquelles rencontrent en V, X, &c. la derniere diagonale AP prolongée, dont AD represente ici la droite HP des précedentes Fig. 22. 23. 24. 25. 26. Le premier parallelogramme ACBD donnera A V— AFAH ; le fecond ADLM donnera AX-AVAG, & confequemment AX AFAH+AG; le troifiéme ALPN donnera AP-AX-AE, & confequemment

AP AFAH+AG-AE, ainfi qu'on le vient d'avancer. Ce raifonnement fait voir qu'il en sera de même à l'infini, quelque nombre de parallelogrammes quelconques faits comme ci-deffus, qu'on fuppofe dans des plans auffi quelconques avoir tous le même points A pour un de leurs angles par où paffent les diagonales dont on vient de parler: la derniere de ces diagonales, telle qu'eft ici AP, fera toûjours AFAH+AG-AE+, &c. C'està-dire, égale à la fomme de ce que les côtez non diagonaux AC, AB, AM, AN, &c. y donneront d'abfcilles AF, AH, AG, &c. depuis A vers l'autre extrêmité P de cette derniere diagonale, moins la fomme AE, &c. dece que ces côtez non diagonaux y en donneront au-delà du point A du côté de E.

COROLLAIRE II.

Toutes chofes demeurant les mêmes, fuppofons prefentement que le point A, ou un corps en ce point, foit pouffé ou tiré tout à la fois fuivant AC, AB, AM, AN, &c. par autant de puiffances appellées C, B, M,N, &c. lefquelles foient entr'elles comme ces lignes correfpondantes. Les Corol. 6. 7. du Lem. 2. & le Corol. 10. duLem. 3. font voir que l'impreffion résultante au point A, du concours de toutes ces puiffances, eft toûjours non seulement suivant la derniere diagonale, qui eft ici AP celle du dernier ALPN des parallelogrammes précedens ; mais encore d'une force de A vers P, laquelle eft toujours à chacune des puiffances fuppofées fuivant AC, AB, AM, AN, comme cette derniere diagonale AP est à chacun de ces côtez proportionnels (Hyp.) à ces puiffances C, B, M, N. Mais le précedent Corol. 1. donne ici AF AFAH+AG-AE. Donc auffi la force du point ou corps A fuivant AP, résultante du concours de toutes ces puiffances-là, eft toûjours à chacune d'elles, comme AFAH+AG-AE eft à chacune de leurs proportionnelles AC, AB, AM, AN, & ainsi à l'infini en quelque nombre qu'elles foient.

FIG. 28.

COROLLAIRE III.·

On voit de-là que fi EO eft la direction de la force résultante du concours des puiffances C, B, M, N, c'est-à-dire, la direction fuivant lefquelles ces puiffan-ces tendent ensemble à pouffer le point ou corps A vers O; & confequemment (Lem. 2. Corol. 6.& Lem. 3. Corol. 10.) celle de la derniere diagonale AP des parallelogrammes précedens de la Fig. 27. l'on aura, fans en faire aucun, la longueur de cette derniere diagonale ; & confequemment (Lem. 2.. Coral. 7. & Lem. 3. Corol. 10.) l'on aura auffi la force réfultante du concours de ces puiffances, fuivant cette direction commune AO, fi des extrêmitez C, B, M, N, de leurs proportionnelles & directions particulieres AC, AB, AM, AN, on lui mene feulement les paralleles CF, BH, MG,NE, quelqu'angle qu'elles faffent avec elle; puifque le Corol. I. donne toujours AF+AG+AH-AE AP : c'est-àdire en general, la derniere diagonale de tant de parallelogrammes qu'on voudra, faits comme ci-deffus, toûjours égale à la difference AF-AG-+AH¬AE÷,&c. dont la fomme AF+AG+AH+, &c. des abfciffes AF, AG, AH, &c. faites fur elle de fon côté par rapport à A par des paralleles menées comme ci-deffus, furpaffe la fomme AE, &c. de ce qui s'en fait fur elle prolongée de l'autre côté de ce point A, où concourent Hyp.) les puiffances fuppofées C, B, M, N, &c. Et d'où partent leurs proportionnelles & directions particulieres AC, AB, AM, AN, &c. de l'extrêmité defquelles font menez des plans paralleles quelconques exprimez par CF, BH, MG, NÊ, &c. qui déterminent ces abfciffes AF, AH, AG, AE, &c. par leur rencontre avec EO.

REMARQUE

I. Il eft à remarquer que quoique AF÷AGAH→ AE+, & foit toûjours (Corol. 1.) égale à la diagonale du dernier des parallelogrammes qu'il auroit fallu faire

ne,

comme dans le Corol. 1. pour la trouver, fans fe fervir des lignes précedentes CF, BH, MG, NE, &c. menées fur des plans paralleles, par les extrêmitez des proportionnelles AC, AB, AM, AN, &c. aux puiffances C, B,M,N, &c. qu'on fuppofe agir toutes à la fois fuivant ces directions particulieres, chacune fuivant la fienfur le corps ou point A ; & qu'ainfi (Lem. 2. Cor. 7. & Lem. 3. Corol. 10.) AFAH+AG-AE+, &c. foit. toûjours l'expreffion de la force résultante du concours de toutes ces puiffances fuivant leur direction commune AO; les parties correfpondantes AF, AH, AG, AE, &c. de cette expreffion, n'expriment pourtant pas toûjours ce que chacune de ces puiffances Ĉ, B, M, N, &c. contribue à cette force totale de A vers O fuivant AO, c'està-dire, ce que chacune d'elles y employe de force pour ou contre, mais feulement lorfque (Lem. 3. part. 2.) les lignes droites CF, BH, MG, NE, &c. ou les plans paralleles sur lesquels on les fuppofe, font perpendiculaires à cette direction commune AO prolongée de part & d'autres lorfqu'elles le font, chacune de ces puiffances C, B, M, N, &c. eft toûjours ( Lem. 3. part. 2.) à ce qu'elle fait d'impreffion pour ou contre fuivant cette direction AO, ou AE, fur le point ou corps A, comme celle de leurs proportionnelles AC, AB, AM, AN, &c. qui l'exprime, eft à celle des abfciffes AF, AH, AG, AE, &c. qui lui répond. Par exemple, dans ce cas de perpendicularité des lignes CF, BH, MG, NE, &c. fur AO, la puissance C dirigée fuivant fa proportionnelle AC, eft à ce qu'elle fait d'effort fuivant AO:: AC. AF. & ainfi des autres en quelque nombre qu'elles foient, quelques rapports qu'elles ayent entr'elles, & fuivant quelques directions qu'elles agiffent fur le corps ou point A.

II. De-là il fuit encore que AF+AHAG¬AE÷&c. AP pour ce cas des lignes CF, BH, MG, NE, &c. perpendiculaires fur cette ligne AP prifé pour la derniere diagonale qui (Lem. 2. Corol. 7.& Lem. 3. Corol. 10.) exprime l'effort réfultant au corps ou point A du con

cours des puiffances appellées ici C, B, M, N, &c. Car puifque cet effort total fuivant cette derniere diagonale AP, n'eft fait que des efforts particuliers de ces puiffances fuivant cette ligne, ou plutôt n'eft que la fomme de ce qu'elles en font de A vers P fuivant cette ligne, moins ce qu'elles en font fuivant la même ligne en fens contraire, & que ces efforts particuliers font (Lem. 3. part. 2.) comme les abfciffes AF, AH, AG, AE, &c. dont les premieres AF, AH, AG, &c. expriment ici ces efforts de A vers P fuivant AP, & les dernieres AE, &c. ce qui s'en fait fuivant la même ligne en fens contraire: il fuit, dis-je, du précedent art. 1. que ce cas des lignes CF, BH, MG, NE, &c. perpendiculaires à cette ligne AP prolongée de part & d'autre du point A, l'on aura encore cette derniere diagonale AP AFAH+AG¬AE÷, &c. conformément au précedent Corol. 3. dont ceci n'est qu'un cas, l'angle que les précedens plans paralleles entr'eux, ou que les lignes CF, BH, MG, NE, &c. menez fur eux, font avec cette derniere diagonale AP, y étant indéterminé, & tel qu'on voudra, au lieu que cette derniere preuve le fuppofe droit.

III. Il est auffi à remarquer que puifque l'impreffion résultante du concours de toutes les puiffances C, B, M, N, &c. au point ou corps A, le pouffe (Hyp.) fuivant AO, en forte que libre d'ailleurs il fuivroit cette droite de A vers O; il faut que ce que ces puiffances font chacune d'effort fur lui Lem. 3. part. 1.) suivant chacune 1 des correfpondantes FC, HB, GM, EN, &c. perpendiculaires à AO, pour (art. 1.) le détourner de cette ligne AO, fe trouve en équilibre & détruit, comme l'on voit dans la part. 3. du Lem. 3. par la contrarieté directe de ces efforts collateraux entr'eux; & qu'ainfi ce qui s'en fait de droite à gauche de cette direction commune AO, foit toûjours égal à ce qui s'en fait de gauche à droite ; & de même de tous les autres côtez diamétralement oppofez autour de AO. D'où l'on voit que fi les quatre diretions particulieres AC, AB, AM, AN, étoient dans un