même plan deux d'un côté, & deux de l'autre de la direction commune AO, comme elles paroiffent ici, l'on y auroit FC+HB GM-+EN; puifque FC, HB, GM, EN, feroient entr'elles ( Lem. 3. part. 1.) comme les efforts des puiffances C, B, M, N, en ces deux fens, & que les deux premiers feroient ainsi diamétralement oppofez aux deux

autres.

DEFINITION XII.

Pour éviter les équivoques dans la fuite nous appellerons puissances libres celles qui par leur concours d'action fur un corps ou fur un point, le meuvroient effectivement comme dans le principe general, & dans les Lem. 1. 2. 3. Et lorfqu'elles en feront empêchées par quelque obftacle, ou par quelqu'autre puiffance qui, égale & directement oppofée à leur concours d'action, les arrête toutes en équilibre avec elle fur ce corps ou fur ce point ; nous les appellerons toutes puiffances forcées ou retenues. Suivant cela en appellant (comme nous ferons toûjours dans la fuite) » le nombre des puiffances libres, & m celui des forcées, nous aurons toûjours alors m=n+1.

LEMME X I.

Soient encore (comme dans le Cor. 1. du précedent Lem.10.) F1 025) par le point A dans des plans quelconques tant de parallelogrammes auffi quelconques qu'on voudra, dont le premier foit ACDB, de qui la diagonale AD foit un des côtez du fecond ADLM, de qui la diagonale AL foit aussi un des côtez du troifiéme ALPN, de qui la diagonale AP foit pareillement un des côtez d'un quatrième, & ainfi à l'infini. Par les extrémitez C, B, des côtez AC, AB, du premier ACD B-de parallelogrammes foit une feconde diagonale CB, qui rencontre la premiere AD en 2; de ce point par l'extrémité M du côté AM du fecond parallelogramme ADLM, foit QM qui rencontre fa diagonale AL en R de ce point R par Pextrémité N du côté AN du troifiéme parallelogramme ALPN, foit RN qui rencontre fa diagonale AP en 8, &

ces

toûjours de même jusqu'à la derniere, laquelle foit ici Ap,, pour ne pas aller à l'infini..

Cela fait, je dis que la partie AS de cette derniere diagonale fera à cette diagonale entiere AP, comme l'unité est au nombre des côtez non diagonaux AC, AB, AM, AN, des parallelogrammes fuppofez, ou (ce qui revient au même ) comme l'unité eft au nombre de ces parallelogrammes plus c'est-à-dire ici, AS. AP:: 1. 4.

DEMONSTRATION.

Les parallelogrammes ALPN, ADLM, ACDB, donnant NP=AL, ML=AD=2×AQ, les triangles femblables ASR, PSN, & ARQ, LRM, donneront AS. SP:: AR. NP:: AR. AL:: AR: ARRL:: AQ. AQ+ML ::AQ.AQ+AD: : AQ AQ+2×AQ ::AQ. 3×AQ:: 1. 3. Donc auffi AS. AS+SP:: 1. 1➡+3. c'est-à-dire, AS. AP:: 1.4. Et ainfi dans le dernier de tout ce qu'on peut ajoûter d'autres parallelogrammes à ceux-ci de la maniere précedente: la derniere diagonale s'y trouvera toûjours divifée de la maniere précedente en deux parties, dont la plus proche du point A fera à cette diagonale entiere, comme l'unité fera au nombre des côtez non diagonaux de tous ces parallelogrammes, ou (ce qui revient au même ) comme l'unité fera au nombre de ces parallelogrammes plus un. De forte que file nombre des côtez non diagonaux étonn, & que confequemment le nombre de ces parallelogrammes fùt 2-1. la partie plus proche de A de la derniere diagonale divifée en deux comme ci-deffus, feroit à cette diagonale entiere 1.n. Ce qu'il falloit démontrer.

C'eft M. Leibrutz qui m'a fait penser à ce Lemme, dont il n'a donné que l'énoncé, avec quelques explications dans le Journal des Sçavans de 16.9.3. pag. 417. L'usage qu'il me parut pouvoir avoir dans mon Projet d'une nouvelle Mécanique de 1.687. me fit en chercher la démonstration, que je trouvai auffi-tot telle qu'on la voit ici : cetusage paroîtra dans La fuite, COROLLAIRE

COROLLAIRE I.

Si donc le point A, ou un corps (fans pefanteur) exprimé par A, étoit pouffé ou tiré à la fois fuivant AC, AB, AM, AN, &c. par autant de forces ou puiffances proportionnelles à ces côtez de parallelogrammes, & dirigées fuivant ces lignes; non feulement il feroit poussé ou tiré (Lem. 3. Corol. 10.) par le concours de toutes ces puiffances ensemble fuivant la derniere diagonale AP, d'une force qui feroit à celles-là comme cette derniere diagonale aux côtez AC, AB, AM, AN, qui leur font (Hyp.) proportionnels; mais encore cette derniere diagonale AP feroit à fa partie AS, comme le nombre des puiffances à l'unité; puifque (Hyp.) le nombre de ces puiffances feroit celui de ces côtez non diagonaux, ou celui des parallelogrammes plus un.

COROLLAIRE II.

On voit de-là fuivant ce Lemme-ci, que la derniere diagonale AP étant donnée, ou fa partie AS, il eft aisé de trouver l'une par l'autre ayant le nombre des puissances; fçavoir ici AP=4×AS, & AS=AP: mais fi l'une ni l'autre n'étoit donnée que de pofition AO, comme dans la Fig. 30. par rapport aux proportionnelles & directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances appellées C, B, M, N, &c. dont le nombre foit, il faudroit avoir recours au Corol. 3. du Lem. 10. du Lem. 10. lequel fans faire aucun parallelogramme, donneroit la derniere diagonale cherchée AP-AF+AH+AG-AF+, &c. en menant F10. 27. feulement des extrêmitez des proportionnelles préceden- 28. tes les paralleles CF, BH, MG, NE, &c. fous quelque angle qu'elles rencontrent la direction donnée AO de cette diagonale cherchée AP prolongée de part & d'autre: de-là le present Lem. 11. donnant ASAP, l'on auroit auffi AS—AF÷AH+AG¬AE÷&c fans ( dis-je ) fai

K

10. 29.

re aucun parallelogramme. D'où l'on voit fuivant le précedent Corol. I. que l'unité feroit ici au nombre » AF÷AH¬AG¬AE÷&c à la derdes puiffances, comme

n

niere diagonale cherchée AP, qui fe trouvera ainfi dans la Fig 28. fans y faire aucun des parallelogrammes qui l'ont donnée dans la Fig. 27. Corol. I. du Lem. 10.

COROLLARE III.

Mais cela fuppofe qu'on ait la position AO de la derniere diagonale AP, par rapport aux directions données des puiffances. Prefentement pour trouver cette position il faut confiderer,

1o. Que BQ=CQ, ou BQ.CQ :: 1. 1. Puifque BQ CQ:: AB. CD:: I. I.

2o. Que RM. RQ:: 2. 1. Puifque RM. RQ:: LM. AQ :: AD. AQ :: BC. CQ ( nomb. 1 ):: 2. 1.

3°. Que NS. RS :: 3.1. Puifque NS.RS: : NP. AR:: AL. AR :: QM. QR (nomb. 2.):: 3. 1. Et ainsi à l'infini.

D'où l'on voit que les directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M,N, &c. étant données proportionnelles à ces mêmes puiffances, fi par les extrêmitez des deux premieres AC, AB, on mene la droite BC, fon milieu Q avec A donnera la pofition de la premiere diagonale AD. Si l'on mene enfuite de ce point Q la droite QM à l'extrêmité M de la troifiéme proportionnelle AM, laquelle QM foit divifée en R de maniere qu'on ait RM.RQ:: 2.1. ce point R avec A donnera la pofition de la feconde diagonale AL. Si après cela du point R on mene. la droite RN à l'extrêmité N de la quatriéme proportionnelle AN, laquelle RN foit divifée en S de maniere qu'on ait NS.RS:: 3.1. ce point S avec le point A donnera la pofition de la troifiéme diagonale AP; & ainfi à l'infini, en divifant de même en railon reciproque de 1 à 4, la ligne qui de S fe termineroit à l'ex

trêmité d'une cinquième proportionnelle ; la fuivante en
raifon reciproque de 1 à 5 la fuivante encore en raison
reciproque de 1 à 6, & toujours de même les fuivantes,
en raison réciproque de 1 à 7, de 1 à 8, de 1 à 9, de
à Io, &c.

I

I

I

C'est-à-dire en general (en appellant les droites BC, QM, RN, &c. Lieux des puiffances: fçavoir ici BC, Lieu des deux puiffances C, B; QM, Lieu des trois puiffances C, B, M; RN, Lieu des quatre puissances C, B, M, N; &c. qu'en divifant chaque Lieu en raifon reciproque de l'unité de la puiffance, à la proportionnelle de laquelle il fe termine par un bout, au nombre des puiffances du lieu auquel il fe termine par l'autre bout, de même que RN ici divisée en SN. SR:: 3.1. l'eft en raison reciproque de l'unité de la puiffance N au nombre 3. des puiffances C, B, M, du Lieu QM: on voit, dis-je, en general que le point d'une telle divifion de chaque Lieu, donnera toûjours avec A la pofition de la diagonale, fuivant laquelle fe fait le concours d'action de toutes les puiffances de ce Lieu, de même que le point S du Lieu RN ainfi divifé en ce point S, donne avec le point A la position de la diagonale AP, fuivant laquelle fe fait ici (Lem. 3. Corol. 10.) le concours d'action des quatre puiffances C, B, M, N, de ce Lieu RN.

COROLLAIRE IV.

Suivant cela, & le Corol. 2. il fera toûjours aifé de trouver la pofition & la longueur de la derniere diagonale de tant de parallelogrammes qu'on voudra, faits com- F10.30) me dans le prefent Lemme 11. fans en faire aucun, ayant feulement les directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. proportionnelles à ces mêmes lignes: voici comment.

1°. Ces proportionnelles ayant été prifes jufqu'ici dans un ordre arbitraire, le Corol. 3. fait voir que fi par les extrêmitez C, B, de deux quelconques AC, AB, d'entr'elles on mene la droite CB; que de fon milieu Qon