mene QM à l'extrêmité M d'une 'troifiéme proportion-
nelle aufli quelconque AM, laquelle QM foit divifée
en R, de maniere qu'on ait RM.RQ:: 2. 1. Qu'enfui-
te on mene RN à l'extrêmité N d'une quatriéme pro-
portionnelle encore quelconque AN, laquelle RN foit
divifée en S, de maniere qu'on ait SN. SR:: 3. 1. l'on
aura AS prolongée vers O pour la position de la dernie-
re diagonale AP des parallelogrammes faits comme dans
ce Lemme-ci, fans en faire aucun ; & ainfi de quelque
autre nombre de puiffances, ou de leurs proportionnel-
les qu'on puiffe fuppofer. De forte que fi n étoit le nom-
bre des puiffances, lefquelles prifes dans l'ordre préce
dent euffent QM pour le lieu de toutes, hors de la der-
niere N; l'analogie SN. SR:: 1. 1. donneroit AS pour
la pofition AO de la diagonale du dernier des parallelo-
grammes faits comme dans ce Lemme-ci.

2o. La pofition AO de la diagonale du dernier de ces parallelogrammes étant ainfi trouvée, ce Lemme-ci donnera la longueur AP de cette derniere diagonale =4× AS, s'il n'y a (comme ici) que trois parallelogrammes, que les quatre puiffances C, B, M, N ; & en general cette longueur fera =nXAS, fi le nombre des puillances eft=n, ou celui des parallelogrammes-1.

Le Corol. 2. donnera auffi la longueur de cette derniere diagonale AFAH+AG-AE &c. dans la F1. 28. Fig. 28. fans faire aucun parallelogramme, en laiffant tomber des extrêmitez des directions proportionnelles AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. autant de perpendiculaires CF, BH, MG, NE, &c. fur la pofition AO (de cette diagonale) trouvée dans le nomb. 1.

COROLLAIRE V.

Ce dernier Corol. 4. fournit la maniere de déterminer la route ou la direction & la force d'un corps pouffé ou tiré par le concours de plufieurs puiffances données, & de directions données qui partent d'un même point, fans faire aucun parallelogramme. Car puifque ce corps par le con

FIG. 29.

que

cours de toutes ces puiffances quelconques, quelles qu'en
foient les directions & le nombre, doit (Lem. 3. Corol.10.)
être pouffé ou tiré fuivant la diagonale du dernier des
parallelogrammes faits (comme ci-deffus) de leurs dire-
tions proportionnelles, & avec une force qui foit à cha-
cune de ces puiflances comme cette diagonale à chacune
de leurs proportionnelles ; & que le précedent Corol. 4.
donne la pofition & la longueur de cette derniere diago-
nale, fans faire aucun parallelogramme, il donnera auffi
fans en faire aucun, la route ou la direction & la force
du corps pouffé ou tiré par toutes ces puiffances à la fois,
c'est-à-dire (Def. 7.) la direction commune de toutes ces
puiffances, & la force réfultante de leur concours fuivant
cette direction. De forte
fi ce corps eft pouffé ou
tiré à la fois, par exemple, par quatre puiffances C, B,
M, N, données avec leurs directions particulieres AC,
AB, AM, AN, lefquelles foient proportionnellès à ces
puiffances, il n'y aura qu'à mener la droite CB ; enfuite
de fon milieu Q mener la droite QM, laquelle foit di-
vifée en R, de maniere qu'on ait RM.RQ: 2. 1. Après
cela mener RN, qui foit auffi divifée en S, mais de ma-
niere qu'on ait SN. SR:: 3. 1. Enfin mener AS prolon-
gée vers O, fur laquelle foit prife AP=4×AS: cette
droite AP fera (Corol. 3.) de pofition & de grandeur la
diagonale du dernier des parallelogrammes qui auroient
été faits (comme dans ce Lemme-ci, Fig. 29.) des pro-
portionnelles fuppofées. Donc (Lem. 3. Corol. 10.) les
quatre puiffances ici fuppofées C, B, M, N, poufferont
ou tireront enfemble le long de cette ligne AP ou AS
le corps auquel elles font appliquées, & d'une force quí
fera à chacune d'elles comme cette même AP ou fa va-
leur 4×AS eft à chacune de leurs proportionnelles AC,
AB, AM, AN. Et ainfi de tout autre nombre de puif-
fances à volonté, qu'on fuppoferoit agir à la fois fur ce
corps fuivant des directions qui partiffent d'un même
point.

a

FIG. 301

COROLLAIRE V I.

Les divifions précedentes fuppofées des lignes CB, QM, NR, &c. en Q, R, S, &c. on voit ( Corol. 5.) que l'effort réfultant du concours des deux puiffances C,B, fe feroit fuivant AQ; que le réfultant du concours des trois puiffances C, B, M, fe feroit fuivant AR;que le résultant du concours des quatre puiffances C, B, M, N, fe feroit fuivant AS, & ainfi de tant de puiffances qu'on voudra fuppofer agir toutes à la fois fur un même point A, de quelque maniere que ce foit. Donc fuivant le Corol. 1. du principe general (fi les lieux CB, QM, NR, &c. étoient autant de verges inflexibles & fans pefanteur, aufquelles les puiffances C, B, M, N, &c. fans changer de direction, étoient appliquées comme on le voit ici) il y auroit équilibre entre les deux puiffances C, B, fur un appui placé en Q; entre les trois puiffances C, B, M, fur un appui placé en R; entre les quatre puiffances C, B, M, N, fur un appui placé en S, & ainfi de tel autre nombre de puiffances qu'on voudra, dirigées toutes par A. D'où l'on voit (Déf. 8.) que Qeft le centre d'équilibre des deux puiffances C, B; que R eft celui des trois puiffances C, B, M; que S eft celui des quatre puiffances C, B, M, N, &c. fur les verges ou lignes CB, QM, RN, &c. fuppofées inflexibles & fans pelanteur.

DEFINITION XII.

Ces points Q, R, S, &c. feront appellez dans la fuite centres principaux d'équilibre de ces puiffances C, B, M, N, &c. fçavoir Q, centre principal d'équilibre des puiffances C, B; R, centre principal d'équilibre des puiffances C, B, M; S, centre principal d'équilibre des puissances C, B, M, N; & ainfi de tout autre nombre de puiffances libres dirigées toutes par le point A, fuivant quelques plans que ce foit.

DEFINITION XIV.

Les pefanteurs particulieres de toutes les parties d'un

poids quelconque pouvant être regardées (Ax. 2.) comme autant de puiffances qui agiffent ensemble fur lui de haut en bas avec des forces égales à ces pefanteurs, & fuivant les mêmes directions qu'elles ; il fuit du Corol. 10. du Lem. 3. qu'il en doit réfulter à ce corps entier une impreffion ou force totale de haut en bas, qui en faffle la pefantcur totale, & fuivant une ligne qui (Def. 3.): en foit la direction. Quelle que foit cette ligne de direction de la pefanteur d'un corps, elle s'appellera verticale dans la fuite; & les perpendiculaires à celle-là, seront nommées horisontales. Si en quelque fens qu'on tourne ce poids, la direction de fa pefanteur paffe toûjours par un même point de ce corps, ce point s'appellera à l'ordinaire le centre de gravité de ce même corps.

COROLLAIRE.

Le Corol. r. du principe general fait voir qu'un poids qui auroit un tel point, quelque fituation qu'on lui donnât autour de ce point, il y demeureroit toujours en équilibre & en repos tant que ce point feroit foutenu ou fixement arrêté, nonobitant la mobilité de ce corps autour de ce même point fixe.

2

2

On verra dans la fuite fi un tel centre de gravité eft pofsible, & en quel fens ; c'est-à-dire, quelles doivent être pour cela les directions des pefanteurs particulieres de toutes les parties des poids. En attendant nous ne nous fervirons point des centres de gravité, mais feulement des directions de ces poids, lefquelles fe trouvent toûjours (Corol. 2. princip. gener. ) être les lignes fuivant lefquelles ils demeurent fufpendus.

LEMME XII.

Soit un parallelogramme quelconque MDNG, dont les F16. 37. deux côtez DM, DN, prolongez ( s'il eft necessaire) foient 32. rencontrez perpendiculairement en H, K, par les deux côtez HR, KR, d'un angle auffi quelconque HRK placé en même plan. fe dis que fi HRXDM KRXDN, ou ( ce qui revient au méme } fi HR. KR:: DN. DM. La diagonale DG du pa

FIG. 33.

rallelogramme MDNG, prolongée (s'il eft necessaire) passe-
ra par l'angle R.

DEMONSTRATION.

Si l'on nie que la diagonale DG paffe par l'angle R, foit menée la droite DR, qui foit prife pour le finus total; foit auffi prife / pour la marque ou la caracteristiq ue des autres finus. Les angles (Hyp.) droits en H, K, donneront /HDR.KDR:: HR. KR(Hyp.): : DN. DM: : MG. DM (Lem.8. Cor.2.) :: MDG./MGD::JMDG. ANDG. Cependant fi DG ne fe confondoit pas avec DR, l'on auroit ici HDR à sKDR en moindre raifon que MDG à ЛNDG; & en plus grande, fi DR y étoit de l'autre côté de DG. Donc ces deux lignes DG, DR, doivent fe confondre en une ; & par confequent la diagonale DG ainfi confondue avec DR, & prolongée, s'il eft neceffaire, paffera comme DR par l'angle R. Ce qu'il fal Loit démontrer.

LEMME XIII.

me

Par un point D donné dans un angle donné HAG,
ner une ligne droite BC, que ce point D divife en raison don-
née de mà n, c'est-à-dire, en forte qu'on ait BD.DC:: m. n.

.

SOLUTION.

Sur AD prolongée du côté de D, foit prise DE. AD :: n.m. Soit menée EC parallele à AG, & qui rencontre AH en C; de ce point C par le donné D soit menée CD, qui prolongée rencontre AG en B: je dis que CB eft la ligne requife, c'eft-à-dire, que non feulement elle paffe par le point donné D, mais encore qu'elle y eft divifée de maniere que BD. DC:: m. n. ainfi qu'il eft ici requis. DEMONSTRATION.

Puifque AB, EC, font (conftr.) paralleles entr'elles, & qu'ainfi les triangles ADB, EDC, font femblables entr'eux, l'on aura ici DC. DB:: DE. DA (constr. ) : : n.m.

Donc