mene QM à l'extrêmité M d'une troifiéme proportionnelle aufli quelconque AM, laquelle QM foit divifée en R, de maniere qu'on ait RM. RQ:: 2. 1. Qu'enfuite on mene RN à l'extrêmité N d'une quatriéme proportionnelle encore quelconque AN, laquelle RN foit divisée en S, de maniere qu'on ait SN. SR:: 3. 1. l'on aura AS prolongée vers O pour la pofition de la derniere diagonale AP des parallelogrammes faits comme dans ce Lemme-ci, fans en faire aucun ; & ainfi de quelque autre nombre de puiffances, ou de leurs proportionnelles qu'on puiffe fuppofer. De forte fin étoit le nombre des puiffances, lefquelles prifes dans l'ordre préce-dent euffent QM pour le lieu de toutes, hors de la derniere N; l'analogie SN. SR::.. donneroit AS pour la pofition AO de la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme dans ce Lemme-ci.

que

2o. La pofition AO de la diagonale du dernier de ces parallelogrammes étant ainfi trouvée, ce Lemme-ci donnera la longueur AP de cette derniere diagonale =4× AS, s'il n'y a (comme ici) que trois parallelogrammes que les quatre puiffances C, B, M, N ; & en general cette longueur fera =nXAS, fi le nombre des puiffances eft=n, ou celui des parallelogrammes ——1.

Le Corol. 2. donnera auffi la longueur de cette derniere diagonale AFAH+AG-AE-&c. dans la F1. 28. Fig. 28. fans faire aucun parallelogramme, en laiffant tomber des extrêmitez des directions proportionnelles AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. autant de perpendiculaires CF, BH, MG, NE, &c. fur la pofition AO (de cette diagonale) trouvée dans le nomb. 1.

FIG. 29.

COROLLAIRE V.

Ce dernier Corol. 4. fournit la maniere de déterminer la route ou la direction & la force d'un corps pouffé ou tiré par le concours de plufieurs puiffances données, & de directions données qui partent d'un même point, fans faire aucun parallelogramme. Car puifque ce corps par le con

4.

cours de toutes ces puiffances quelconques, quelles qu'en foient les directions & le nombre, doit (Lem. 3. Corol.10.) être pouffé ou tiré fuivant la diagonale du dernier des parallelogrammes faits (comme ci-deffus) de leurs diretions proportionnelles, & avec une force qui foit à chacune de ces puiffances comme cette diagonale à chacune de leurs proportionnelles ; & que le précedent Corol. donne la pofition & la longueur de cette derniere diagonale, fans faire aucun parallelogramme, il donnera auffi fans en faire aucun, aucun, la route ou la direction & la force du corps pouffé ou tiré par toutes ces puiffances à la fois, c'est-à-dire (Déf. 7. ) la direction commune de toutes ces puiffances, & la force résultante de leur concours fuivant cette direction. De forte que fi ce corps eft pouffé ou F1 6. 30% tiré à la fois, par exemple, par quatre puiffances C, B, M,N, données avec leurs directions particulieres AC, AB, AM, AN, lefquelles foient proportionnellès à ces puiffances, il n'y aura qu'à mener la droite CB; enfuite de fon milieu Q mener la droite QM, laquelle foit divifée en R, de maniere qu'on ait RM.RQ: 2. 1. Après cela mener RN, qui foit auffi divifée en S, mais de maniere qu'on ait SN. SR:: 3.1. Enfin mener AS prolongée vers O, fur laquelle foit prife AP-4×AS: cette droite AP fera (Corol. 3.) de pofition & de grandeur la diagonale du dernier des parallelogrammes qui auroient été faits (comme dans ce Lemme-ci, Fig. 29.) des proportionnelles fuppofées. Donc ( Lem. 3. Corol. 10.) les quatre puillances ici fuppofées C, B, M, N, poufferont ou tireront enfemble le long de cette ligne AP ou AS le corps auquel elles font appliquées, & d'une force qui fera à chacune d'elles comme cette même AP ou fa valeur 4×AS eft à chacune de leurs proportionnelles AC, AB, AM, AN. Et ainfi de tout autre nombre de puiffances à volonté, qu'on fuppoferoit agir à la fois fur ce corps fuivant des directions qui partiffent d'un même point.

a

COROLLAIRE VI.

Les divifions précedentes fuppofées des lignes CB, QM, NR, &c. en Q, R, S, &c. on voit (Corol. 5.) que l'effort réfultant du concours des deux puiffances C,B, fe feroit fuivant AQ; que le réfultant du concours des trois puiffances C, B, M, fe feroit fuivant AR;que le réfultant du concours des quatre puiffances C, B, M, N, fe feroit fuivant AS, & ainfi de tant de puiffances qu'on voudra fuppofer agir toutes à la fois fur un même point A, de quelque maniere que ce foit. Donc fuivant le Corol. 1. du principe general (fi les lieux CB, QM, NR, &c. étoient autant de verges inflexibles & fans pefanteur, aufquelles les puiffances C, B, M, N, &c. fans changer de direction, étoient appliquées comme on le voit ici) il y auroit équilibre entre les deux puiffances C, B, fur un appui placé en Q; entre les trois puiffances C, B, M, fur un appui placé en R; entre les quatre puiffances C, B, M, N, fur un appui placé en S, & ainfi de tel autre nombre de puiffances qu'on voudra, dirigées toutes par A. D'où l'on voit ( Déf. 8.) que Qeft le centre d'équilibre des deux puiffances C, B; que R eft celui des trois puiffances C, B, M; que S eft celui des quatre puiffances C, B, M, N, &c. fur les verges ou lignes CB, QM, RN, &c. fuppofées inflexibles & fans pefanteur.

DEFINITION XII.

Ces points Q, R, S, &c. feront appellez dans la fuite centres principaux d'équilibre de ces puiffances C, B, M, N, &c. fçavoir Q, centre principal d'équilibre des puiffances C, B; R, centre principal d'équilibre des puissances C, B, M; S, centre principal d'équilibre des puissances C, B, M, N; & ainfi de tout autre nombre de puiflances libres dirigées toutes par le point A, fuivant quelques plans que ce foit.

DEFINITION XIV.

Les pefanteurs particulieres de toutes les parties d'un

poids quelconque pouvant être regardées (Ax. 2.) comme autant de puiffances qui agiffent enfemble fur lui de haut en bas avec des forces égales à ces pefanteurs, & fuivant les mêmes directions qu'elles ; il fuit du Corol. 10. du Lem. 3. qu'il en doit réfulter à ce corps entier une impreffion ou force totale de haut en bas, qui en faffe la pefantcur totale, & fuivant une ligne qui ( Def. 3.). en foit la direction. Quelle que foit cette ligne de direction de la pefanteur d'un corps, elle s'appellera verticale dans la fuite; & les perpendiculaires à celle-là, feront nommées horisontales. Sien quelque fens qu'on tourne ce poids, la direction de fa pefanteur paffe toûjours par un même point de ce corps, ce point s'appellera à l'ordinaire le centre de gravité de ce même corps.

COROLLA IRE.

Le Corol. r. du principe general fait voir qu'un poids qui auroit un tel point, quelque fituation qu'on lui donnât autour de ce point, il y demeureroit toujours en équilibre & en repos tant que ce point feroit foutenu, ou fixement arrêté, nonobitant la mobilité de ce corps autour de ce même point fixe.

On verra dans la fuite fi un tel centre de gravité eft possible, & en quel fens ; c'est-à-dire, quelles doivent étre pour cela les directions des pefanteurs particulieres de toutes les parties des poids. En attendant nous ne nous fervirons point des centres de gravité, mais feulement des directions de ces poids, lefquelles fe trouvent toûjours (Corol. 2. princip. gener.) étre les lignes fuivant lefquelles ils demeurent fufpendus.

LEMME XII.

Soit un parallelogramme quelconque MDNG, dont les F1 6. 37. deux côtez DM, DN, prolongez ( s'il eft neceffaire) foient 32. rencontrez perpendiculairement en H, K, par les deux côte HR, KR, d'un angle auffi quelconque HRK placé en même plan. Je dis que fi HRXDM-KRXDN, ou ( ce qui revient au méme } fi HR. KR:: DN. DM. La diagonale DG du pa

rallelogramme MDNG, prolongée (s'il eft necessaire) passe rai par l'angle R.

DEMONSTRATION.

Si l'on nie que la diagonale DG paffe par l'angle R, foit menée la droite DR, qui foit prife pour le finus total; foit auffi prife / pour la marque ou la caracteristiq ue des autres finus. Les angles (Hyp.) droits en H, K, donneront /HDR.KDR:: HR. KR(Hyp.):: DN. DM:: MG. DM (Lem.8. Cor.2.) :: MDG./MGD::MDG. ANDG. Cependant fi DG ne fe confondoit pas avec DR, l'on auroit ici HDR à SKDR en moindre raifon que MDG à NDG; & en plus grande, fi DR y étoit de l'autre côté de DG. Donc ces deux lignes DG, DR, doivent fe confondre en une ; & par confequent la diagonale DG ainfi confondue avec DR, & prolongée, s'il eft neceffaire, paffera comme DR par l'angle R. Ce qu'il falLoit démontrer.

LEMME XIII.

Par un point D donné dans un angle donné HAG, mener une ligne droite BC, que ce point D divife en raison donnée de mà n, c'est-à-dire, en forte qu'on ait BD. DC:: m. n.

SOLUTION.

Sur AD prolongée du côté de D, foit prise DE. AD :: n.m. Soit menée EC parallele à AG, & qui rencontre AH en C; de ce point C par le donné D foit menée CD, qui prolongée rencontre AG en B: je dis que CB eft la ligne requife, c'est-à-dire, que non feulement elle paffe par le point donné D, mais encore qu'elle y eft divifée de maniere que BD. DC:: m. n. ainfi qu'il eft ici requis. DEMONSTRATION.

Puifque AB, EC, font (conftr.) paralleles entr'elles, & qu'ainfi les triangles ADB, EDC, font femblables entr'eux, l'on aura ici DC. DB:: DE. DA (constr. ): : n, m,

Donc